求3次曲线y=x³-9/2 x+1的内接正方形的面积

nyy

王守恩 发表于 2024-9-15 13:21
一般地。

3 次曲线 y =Ax³ - Bx + 1 (1可以改,不影响结果)的内接正方形有 2 个。 ( A 是正实数,  B^2 是  ...

你的结论怎么得到的？

nyy

hujunhua 发表于 2024-9-14 23:59
主贴的知乎链接那里断言“平行四边形的中心（对角线交点）与三次曲线的中心重合”，这对于具有对称中心的 ...

能举个反例给我看看吗？

hujunhua

@nyy 三次曲线的对称中心在原点。来数一数有多少个不以原点为中心的平行四边形。

nyy

hujunhua 发表于 2024-9-25 17:26
@nyy 三次曲线的对称中心在原点。来数一数有多少个不以原点为中心的平行四边形。
...

软件算不动

hujunhua

我让你先数那九个点所产生的中心不在原点的平行四边形，咋使上软件了呢。应该是16个。
但是你要是认为只有这16个就错了。事实上任一与这条3次曲线有3个实交点的一般位置水平线都能带来一个3X3点阵，从而产生9个中心不在原点的矩形，如下图所示。

nyy

hujunhua 发表于 2024-9-25 17:26
@nyy 三次曲线的对称中心在原点。来数一数有多少个不以原点为中心的平行四边形。
...

我只会解正方形，且以原点为中心

nyy

hujunhua 发表于 2024-9-26 10:27
我让你先数那九个点所产生的中心不在原点的平行四边形，咋使上软件了呢。应该是16个。
但是你要是认为只有 ...

先搞一个不是水平的，又不以原点为中心的平行四边形

hujunhua

既然中心对称三次曲线上的平行四边的中心`X`不一定在该三次曲线的对称中心`O`，那么`X`的轨迹应是一条平面曲线。

猜想1：`f(x,y)=0`为以原点`O`为对称中心的三次曲线，那么其上平行四边形的中心`X`都在曲线`f(2x,2y)=0`上。

            注：即`X`都在三次曲线的半缩像上，缩放中心为三次曲线的对称中心。

猜想2：`X`必与`O`重合当且仅当三次曲线与无穷远线相切。

mathe

wayne

hujunhua 发表于 2024-9-25 17:26
@nyy 三次曲线的对称中心在原点。来数一数有多少个不以原点为中心的平行四边形。
...

两条边平行且相等就是平行四边形. 所以可以设四个点分别是 ${x_1,y_1},{x_1+t\cos(\theta),y_1+t\sin(\theta)},{x_2,y_2},{x_2+t\cos(\theta),y_2+t\sin(\theta)}$
不过, 这样的消元 Mathematica 没反应.自由度太大, 不过进一步限定,是 矩形, 可能就好了