求3次曲线y=x³-9/2 x+1的内接正方形的面积

wayne

因为 $f(x)=x^3-9/2 x+1$ 是关于 (0,1)中心对称, 且x>0的时候是凹函数, 所以 正方形的中心一定是(0,1)

nyy

mathe 发表于 2024-9-12 19:37
这个三次函数图像如图先增再减再增

然后对于正方形，必然有一个点（比如A）在最左边，然后根据从左到右四 ...

画一张带三十曲线与正方形的图，我不知道怎么画出来。

mathe

然后可以如下图（沿y轴平移一个单位），做出这个三次曲线和它旋转90°的图，马上看出两个解

王守恩

mathe 发表于 2024-9-13 14:12
然后可以如下图（沿y轴平移一个单位），做出这个三次曲线和它旋转90°的图，马上看出两个解
...

过C作x轴平行线交y轴于W,过E作x轴平行线交y轴于V,则CEVW=直角梯形,三角形CWO全等三角形EVO。直角等腰三角形CEO面积=梯形面积-2*三角形面积。
过D作x轴平行线交y轴于T,过F作x轴平行线交y轴于U,则DFUT=直角梯形,三角形DTO全等三角形FUO。直角等腰三角形DFO面积=梯形面积-2*三角形面积。
N[Solve[{S/2 == CW^2 + EV^2, CW^2 == (EV^3 - 9 EV/2)^2, EV^2 == (CW^3 - 9 CW/2)^2, CW > EV > 0}, {CW, EV, S}], 20]
{CW -> 2.2979939961637008458, EV -> 1.7942194942636156918, S -> 17.000000000000000000},
{DT -> 2.1762508994828215111, FU -> 0.51374314837300779674, S -> 10.000000000000000000},

mathe

利用计算机对$y=x^3-{9x}/2, -x=y^3-{9y}/2$消元，去除y=0情况得到
$(2y^4-17y^2+34)(4y^4-20y^2+5)=0$
于是$2y^4-17y^2+34=0$和$4y^4-20y^2+5=0$分别对应两个不同正方形的解。
由于我们知道每种情况$y_1,y_2,y_3,y_4$4个解中两组互为相反数，所以根据韦达定理，可以得出$y_1^2+y_3^2$正好是二次项系数和四次项系数比例的相反数。
而正方形面积为$2(y_1^2+y_3^2)$所以分别为$2*17/2=17, 2*20/4=10$

王守恩

3 次曲线 y = x³ - k/2 x + 1 的内接正方形有 2 个。 (k = 6, 7, 8, 9, ...)

设这 2 个正方形的面积为 S1, S2。   S1 > S2

\(S1+S2=3k,\ \ \ S1-S2=\sqrt{k^2-32}\)

这是一个有趣的现象。应该如何解释？谢谢！

mathe

平移曲线变为$y=x^3-{kx}/2$不影响结果。
然后类似前面，联合方程$y=x^3-{kx}/2, -x=y^3-{ky}/2$,消去y, 加上x≠0条件，得到
$8*x^8 - 12*k*x^6 + 6*k^2*x^4 + (-k^3 - 4*k)*x^2 + (2*k^2 + 8)=0$
显然这个方程8个解代表两个正方形的4个顶点的横坐标。注意到有两两互为相反数，而且一个顶点横坐标是另外一个纵坐标。
可以假设这个方程8个根为$±x_1,±x_2,±x_3,±x_4$
而且$x_1,x_2$属于一个正方形，$x_3,x_4$属于另一个正方形。
那么$S_1=2(x_1^2+x_2^2), S_2=2(x_3^2+x_4^2)$.
由韦达定理知
$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=(12k)/8$, 也就是$S_1+S_2=3k$

另外我们注意到$y_i=x_i^3-{kx_i}/2$, 而$2(x_i^2+y_i^2)$也对应两个正方形面积。
所以我们可以先计算$z=x^2+(x^3-{kx}/2)^2$满足的最小方程，经计算可以得到
$z^2-{3k}/2 z+k^2/2 +2=0$
于是这就是两个正方形面积一半满足的方程。
由此得到两个正方形面积之和为3k, 差的平方为$4(({3k}/2)^2-4(k^2/2+2))=k^2-32$

王守恩

谢谢mathe!  这道理我是说不上来。谢谢mathe!

3 次曲线 y = x³ - (k/w) x + 1 (1可以改,不影响结果)的内接正方形有 2 个。 ((k/w) 是个分数,  (k/w)^2 是个 > 8的分数。)

设这 2 个正方形的面积为 S1, S2。   S1 > S2

\(S1+S2=6(k/w),\ \ \ S1-S2=2\sqrt{(k/w)^2-8}\)

hujunhua

主贴的知乎链接那里断言“平行四边形的中心（对角线交点）与三次曲线的中心重合”，这对于具有对称中心的一般三次曲线并不普通成立。
即使将平行四边形换成正方形都不行。

王守恩

一般地。

3 次曲线 y =Ax³ - Bx + 1 (1可以改,不影响结果)的内接正方形有 2 个。 ( A 是正实数,  B^2 是 > 8 的正实数。)

设这 2 个正方形的面积为 S1, S2。   S1 > S2

\(S1+S2=6B/A,\ \ S1-S2=2\sqrt{B^2-8}/A\)