求3次曲线y=x³-9/2 x+1的内接正方形的面积

nyy

hujunhua 发表于 2024-9-25 17:26
@nyy 三次曲线的对称中心在原点。来数一数有多少个不以原点为中心的平行四边形。
...

我只会解正方形，且以原点为中心

nyy

hujunhua 发表于 2024-9-26 10:27
我让你先数那九个点所产生的中心不在原点的平行四边形，咋使上软件了呢。应该是16个。
但是你要是认为只有 ...

先搞一个不是水平的，又不以原点为中心的平行四边形

hujunhua

既然中心对称三次曲线上的平行四边的中心`X`不一定在该三次曲线的对称中心`O`，那么`X`的轨迹应是一条平面曲线。

猜想1：`f(x,y)=0`为以原点`O`为对称中心的三次曲线，那么其上平行四边形的中心`X`都在曲线`f(2x,2y)=0`上。

            注：即`X`都在三次曲线的半缩像上，缩放中心为三次曲线的对称中心。

猜想2：`X`必与`O`重合当且仅当三次曲线与无穷远线相切。

mathe

wayne

hujunhua 发表于 2024-9-25 17:26
@nyy 三次曲线的对称中心在原点。来数一数有多少个不以原点为中心的平行四边形。
...

两条边平行且相等就是平行四边形. 所以可以设四个点分别是 ${x_1,y_1},{x_1+t\cos(\theta),y_1+t\sin(\theta)},{x_2,y_2},{x_2+t\cos(\theta),y_2+t\sin(\theta)}$
不过, 这样的消元 Mathematica 没反应.自由度太大, 不过进一步限定,是 矩形, 可能就好了

hujunhua

看来猜想1只对25#这样特定类型的三次曲线成立。
不能搞矩形，矩形有限，构不成轨迹。

wayne

现在遇到了困难. 根据变量个数和 方程的个数, 感觉还缺了一个条件.

1. p1={x1,y1};p2={x2,y2};
   
2. p3=p2+t{c,s};p4=p1+t{c,s};
   
3. func=Function[{x,y},x(x^2-1)+2y(y^2-1)];
   
4. eqs=Flatten[{Thread[func@@@{p1,p2,p3,p4}==0],2x0==x1+x2+t c,2y0==y1+y2+t s,c^2+s^2==1}]
   
5. ans=GroebnerBasis[eqs,{},{t,c,s,x1,x2,y1,y2}]

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hujunhua

差一个约束，说明对于一般平面曲线，其上的平行四边形的中心X的自由度是2，即解空间是一个平面域，而不是一条曲线。
但是对于特定的平面曲线，这个自由度是有可能减少的。
比如对椭圆、双曲线以及1#那样的三次曲线，自由度是0（必在曲线的对称中心）。
对于抛物线，自由度是-1，即不存在。
显然，对于这类特定的曲线，存在1-2个隐含约束。
我觉得对于具有对称中心的一般三次曲线，自由度≤1。也就是至少存在 1 个隐含约束没有找到。

wayne

给定平行四边形的某一边的长度$t$和倾斜角$\theta$，其解是确定的，离散的。 但是对于$t$取任意正数值，选择合适的$\theta$值范围，都有对应的解。
换一种说法，平行四边形中心{x0,y0}的自由度是两个。

1. p1={x1,y1};p2={x2,y2};
   
2. p3=p2+t{Cos[\[Theta]],Sin[\[Theta]]};p4=p1+t{Cos[\[Theta]],Sin[\[Theta]]};
   
3. func=Function[{x,y},x(x^2-1)+2y(y^2-1)];
   
4. eqs=Flatten[{Thread[func@@@{p1,p2,p3,p4}==0],2x0==x1+x2+t Cos[\[Theta]],2y0==y1+y2+t Sin[\[Theta]]}]/.List->And;
   
5. pts=Block[{t=1,\[Theta]=70Pi/180,ans,sol},ans=NSolve[eqs&&x1>=x2&&(x1-x2)^2+(y1-y2)^2>0&&(x1-x2-t Cos[\[Theta]])^2+(y1-y2-t Sin[\[Theta]])^2>0&&(x1-x2+t Cos[\[Theta]])^2+(y1-y2+t Sin[\[Theta]])^2>0,{x0,y0,x1,x2,y1,y2},Reals,WorkingPrecision->100];Table[RootReduce[{{x0,y0},p1,p2,p3,p4}/.p],{p,ans}]];Length[pts]
   
6. With[{n=2},Table[ContourPlot[func[x,y]==0,{x,-n,n},{y,-n,n},ContourStyle->{Thickness[.01]},Prolog->{Opacity[.6],Hue[Norm[p]],Polygon[Rest@p],Opacity[1],PointSize[0.03],Red,Point[p]},Axes->True,Frame->False],{p,pts}]]
   

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比如，这个是平行四边形的一边是70°，长度为1的时候的解

wayne

竟然无意间发现了 消元的捷径。先化简消去角度和长度， 再化简消去两个坐标点的三个变量，得到出来的表达式还非常简单。
x1是平行四边形的其中一个顶点的x坐标。

1. -x^3+12 x^5-48 x^7+64 x^9-18 x^4 x1+144 x^6 x1-288 x^8 x1+9 x^3 x1^2-180 x^5 x1^2+576 x^7 x1^2+108 x^4 x1^3-648 x^6 x1^3-27 x^3 x1^4+432 x^5 x1^4-162 x^4 x1^5+27 x^3 x1^6+6 x^2 y-48 x^4 y+96 x^6 y+72 x^3 x1 y-288 x^5 x1 y-36 x^2 x1^2 y+360 x^4 x1^2 y-216 x^3 x1^3 y+54 x^2 x1^4 y-32 y^3+24 x^2 y^3-192 x^4 y^3+384 x^6 y^3-108 x x1 y^3+720 x^3 x1 y^3-1152 x^5 x1 y^3+54 x1^2 y^3-792 x^2 x1^2 y^3+1440 x^4 x1^2 y^3+432 x x1^3 y^3-1296 x^3 x1^3 y^3-108 x1^4 y^3+864 x^2 x1^4 y^3-324 x x1^5 y^3+54 x1^6 y^3+48 x y^4-192 x^3 y^4+288 x^2 x1 y^4-144 x x1^2 y^4+288 y^5-192 x y^6+768 x^3 y^6-1152 x^2 x1 y^6+576 x x1^2 y^6-768 y^7+512 y^9=0

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1. Block[{n=3},ContourPlot3D[-x^3+12 x^5-48 x^7+64 x^9-18 x^4 x1+144 x^6 x1-288 x^8 x1+9 x^3 x1^2-180 x^5 x1^2+576 x^7 x1^2+108 x^4 x1^3-648 x^6 x1^3-27 x^3 x1^4+432 x^5 x1^4-162 x^4 x1^5+27 x^3 x1^6+6 x^2 y-48 x^4 y+96 x^6 y+72 x^3 x1 y-288 x^5 x1 y-36 x^2 x1^2 y+360 x^4 x1^2 y-216 x^3 x1^3 y+54 x^2 x1^4 y-32 y^3+24 x^2 y^3-192 x^4 y^3+384 x^6 y^3-108 x x1 y^3+720 x^3 x1 y^3-1152 x^5 x1 y^3+54 x1^2 y^3-792 x^2 x1^2 y^3+1440 x^4 x1^2 y^3+432 x x1^3 y^3-1296 x^3 x1^3 y^3-108 x1^4 y^3+864 x^2 x1^4 y^3-324 x x1^5 y^3+54 x1^6 y^3+48 x y^4-192 x^3 y^4+288 x^2 x1 y^4-144 x x1^2 y^4+288 y^5-192 x y^6+768 x^3 y^6-1152 x^2 x1 y^6+576 x x1^2 y^6-768 y^7+512 y^9==0,{x,-n,n},{y,-n,n},{x1,-8n,8n},PlotPoints->200]]

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