hujunhua 发表于 2024-11-13 11:50
你给的链接有一个不错的解答。利用sin x在(0,pi)上的单向上凸性。
如图，切线上的点A总是位于正弦曲线上的 ...
关于正弦值根号7的问题，
会不会是因为由
cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1
这个导出的三次方程，只要都是有理根，
然后正弦值都有相同的根号？
求最值嘛，一般来说，妙解皆出于凑答案。
否则，求个导，一切搞定，那才叫没意思。
答案暗示本题也许可以由恒等式$(sin A)/(cos A)+(sin B)/(cos B)+(sin C)/(cos C)=(sin A)/(cos A)*(sin B)/(cos B)*(sin C)/(cos C)$凑一个特殊解法。
即试试可否由上述恒等式得到最值驻点条件 3:4:18=1/cosA:1/cosB:1/cosC。
套几何不等式就行了，我之前写的文章里面的第一个不等式变形就行，https://bbs.emath.ac.cn/thread-19599-1-1.html，取n=2，然后用幂平均不等式把正弦平方变形成正弦，3、4、18作为参数代入到x
hujunhua 发表于 2024-11-13 11:50
你给的链接有一个不错的解答。利用sin x在(0,pi)上的单向上凸性。
如图，切线上的点A总是位于正弦曲线上的 ...
直接用角度的拉格朗日乘子法，
很容易得到取极值的条件，
nyy 发表于 2024-11-17 15:18
直接用角度的拉格朗日乘子法，
很容易得到取极值的条件，
f=3sinA+4sinB+18sinC-t*(A+B+C-Pi)
则对A求导数，得到
fA=3cosA-t=0
同理
fB=4cosB-t=0
fC=18cosC-t=0
由上面的三个方程得到取极值条件
3cosA=4cosB=18cosC=t，
再利用反三角函数以及A+B+C=180°，求得t=9/4,
剩下的见
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=19767&pid=102616
王守恩 发表于 2024-11-15 10:07
Solve[{ArcSin + ArcSin == ArcCos, Sqrt + Sqrt + Sqrt
(1)。Solve[{ArcSin + ArcSin + ArcSin == Pi/2, Sqrt + Sqrt + Sqrt == p}, {k, p}]
(2)。Solve[{ArcCos + ArcCos + ArcCos == Pi, Sqrt + Sqrt + Sqrt == p, k > 0}, {k, p}]
3,4,18 可以随意换。(1)比(2)好一些。
一,倒回去。
(1)。Solve[{ArcSin + ArcSin + ArcSin == Pi/2, Sqrt + Sqrt + Sqrt == p}, {k, p}]
等同(1)。Solve[{ArcSin + ArcSin + ArcSin == \/2, 3 Sin] + 4 Sin] + 18 Sin] == p}, {k, p}]
等同(1)。Solve[{ArcSin + ArcSin + ArcSin == \/2, 3 Cos] + 4 Cos] + 18 Cos] == p}, {k, p}]
解题思路来自——10楼——一道三角形的题目——13楼。谢谢hujunhua！
二,“7”是这样来的。参考——一道三角形的题目——32楼
(1)。Solve[{ArcSin + ArcSin + ArcSin == Pi/2, Sqrt + Sqrt + Sqrt == p}, {k, p}]
p=Sqrt[(3*4)^2 - 9^2] + Sqrt[(4*4)^2 - 9^2] + Sqrt[(18*4)^2 - 9^2]
=Sqrt[(3*4 -9)(3*4 +9)] + Sqrt[(4*4 -9)(4*4 +9)] + Sqrt[(18*4 -9)(18*4 +9)]
=Sqrt + Sqrt + Sqrt
=Sqrt + Sqrt + Sqrt
三,替6楼喊点屈。
有这公式——有这答案——还找不到思路，只能怪自己笨了！
如何求3sinA+4sinB+18sinC的最大值？ - 予一人的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/3841757829/answer/29197001327
谁能仿造这个回答，把角A替换掉？
nyy 发表于 2024-11-27 09:00
如何求3sinA+4sinB+18sinC的最大值？ - 予一人的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/3841757829/answer/29197001327 ...
{Cos[#], Sin[#], Tan[#]} & /@ (ArcCos[#] & /@ {3/4, 9/16, 1/8})
输出结果
\[\left(
\begin{array}{ccc}
\frac{3}{4} & \frac{\sqrt{7}}{4} & \frac{\sqrt{7}}{3} \\
\frac{9}{16} & \frac{5 \sqrt{7}}{16} & \frac{5 \sqrt{7}}{9} \\
\frac{1}{8} & \frac{3 \sqrt{7}}{8} & 3 \sqrt{7} \\
\end{array}
\right)\]
第一列余弦，第二列正弦，第三列正切，
第一行A，第二行B，第三行C
$3SinA+4SinB+18SinC$
$=3SinA+(4+18CosA)SinB+18CosBSinA$
$<=3SinA+\sqrt{(4+18CosA)^2+(18SinA)^2}$
$=3SinA+\sqrt{340+144CosA}$
$<=\sqrt{((340 + 144 CosA)^2 + \frac{32}{3}(3SinA)^2)(1+\frac{3}{32})}$
$=\sqrt{\frac{8575}{16}-\frac{945}{16} \left(\frac{4 }{3}CosA-1\right)^2}$
$<=\sqrt{\frac{8575}{16}}$
$=\frac{35\sqrt7}{4}$