三角形ABC中，如何求3sinA+4sinB+18sinC的最大值？

nyy

hujunhua 发表于 2024-11-13 11:50
你给的链接有一个不错的解答。利用sin x在(0,pi)上的单向上凸性。
如图，切线上的点A总是位于正弦曲线上的 ...

关于正弦值根号7的问题，
会不会是因为由
cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1
这个导出的三次方程，只要都是有理根，
然后正弦值都有相同的根号？

hujunhua

求最值嘛，一般来说，妙解皆出于凑答案。
否则，求个导，一切搞定，那才叫没意思。

答案暗示本题也许可以由恒等式$(sin A)/(cos A)+(sin B)/(cos B)+(sin C)/(cos C)=(sin A)/(cos A)*(sin B)/(cos B)*(sin C)/(cos C)$凑一个特殊解法。

即试试可否由上述恒等式得到最值驻点条件 3:4:18=1/cosA:1/cosB:1/cosC。

lihpb00

套几何不等式就行了，我之前写的文章里面的第一个不等式变形就行，https://bbs.emath.ac.cn/thread-19599-1-1.html，取n=2，然后用幂平均不等式把正弦平方变形成正弦，3、4、18作为参数代入到x

nyy

hujunhua 发表于 2024-11-13 11:50
你给的链接有一个不错的解答。利用sin x在(0,pi)上的单向上凸性。
如图，切线上的点A总是位于正弦曲线上的 ...

直接用角度的拉格朗日乘子法，
很容易得到取极值的条件，

nyy

nyy 发表于 2024-11-17 15:18
直接用角度的拉格朗日乘子法，
很容易得到取极值的条件，

f=3sinA+4sinB+18sinC-t*(A+B+C-Pi)
则对A求导数，得到
fA=3cosA-t=0
同理
fB=4cosB-t=0
fC=18cosC-t=0
由上面的三个方程得到取极值条件
3cosA=4cosB=18cosC=t，
再利用反三角函数以及A+B+C=180°，求得t=9/4,
剩下的见
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 9767&pid=102616

王守恩

王守恩 发表于 2024-11-15 10:07
Solve[{ArcSin[k/3] + ArcSin[k/4] == ArcCos[k/18], Sqrt[3^2 - k^2] + Sqrt[4^2 - k^2] + Sqrt[18^2 - k^ ...

(1)。Solve[{ArcSin[k/3] + ArcSin[k/4] + ArcSin[k/18] == Pi/2, Sqrt[3^2 - k^2] + Sqrt[4^2 - k^2] + Sqrt[18^2 - k^2] == p}, {k, p}]

(2)。Solve[{ArcCos[k/3] + ArcCos[k/4] + ArcCos[k/18] == Pi, Sqrt[3^2 - k^2] + Sqrt[4^2 - k^2] + Sqrt[18^2 - k^2] == p, k > 0}, {k, p}]

3,4,18 可以随意换。(1)比(2)好一些。

王守恩

一,  倒回去。

(1)。Solve[{ArcSin[k/3] + ArcSin[k/4] + ArcSin[k/18] == Pi/2, Sqrt[3^2 - k^2] + Sqrt[4^2 - k^2] + Sqrt[18^2 - k^2] == p}, {k, p}]

等同(1)。Solve[{ArcSin[k/3] + ArcSin[k/4] + ArcSin[k/18] == \[Pi]/2, 3 Sin[ArcCos[k/3]] + 4 Sin[ArcCos[k/4]] + 18 Sin[ArcCos[k/18]] == p}, {k, p}]

等同(1)。Solve[{ArcSin[k/3] + ArcSin[k/4] + ArcSin[k/18] == \[Pi]/2, 3 Cos[ArcSin[k/3]] + 4 Cos[ArcSin[k/4]] + 18 Cos[ArcSin[k/18]] == p}, {k, p}]

解题思路来自——10楼——一道三角形的题目——13楼。谢谢hujunhua！

二,  “7”是这样来的。参考——一道三角形的题目——32楼

(1)。Solve[{ArcSin[k/3] + ArcSin[k/4] + ArcSin[k/18] == Pi/2, Sqrt[3^2 - k^2] + Sqrt[4^2 - k^2] + Sqrt[18^2 - k^2] == p}, {k, p}]

p=Sqrt[(3*4)^2 - 9^2] + Sqrt[(4*4)^2 - 9^2] + Sqrt[(18*4)^2 - 9^2]

=Sqrt[(3*4 -9)(3*4 +9)] + Sqrt[(4*4 -9)(4*4 +9)] + Sqrt[(18*4 -9)(18*4 +9)]

=Sqrt[3*21] + Sqrt[7*25] + Sqrt[63*81]

=Sqrt[7*3^2] + Sqrt[7*5^2] + Sqrt[7*27^2]

三,替6楼喊点屈。

有这公式——有这答案——还找不到思路，只能怪自己笨了！