三角形ABC中，如何求3sinA+4sinB+18sinC的最大值？

nyy

三角形ABC中，如何求3sinA+4sinB+18sinC的最大值？

https://www.zhihu.com/question/3841757829

凑答案的解答就没必要放上来了，
我需要的是思维过程！

nyy

我只会拉格朗日乘子法。

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*拉格朗日乘子法建立目标函数*)
   
3. f=3*sa+4*sb+18(sa*cb+ca*sb)+m*(sa^2+ca^2-1)+n*(sb^2+cb^2-1)
   
4. (*求偏导数，求解方程组*)
   
5. ans=Solve[D[f,{{sa,ca,sb,cb,m,n}}]==0,{sa,ca,sb,cb,m,n}]//FullSimplify//ToRadicals
   
6. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
   
7. N@%
   
8. (*目标函数值*)
   
9. aaa=(f/.ans)//FullSimplify
   
10. N@%
    

复制代码

方程组求解结果
\[\begin{array}{llllll}
\text{sa}\to -\frac{\sqrt{7}}{4} & \text{ca}\to \frac{3}{4} & \text{sb}\to -\frac{1}{16} \left(5 \sqrt{7}\right) & \text{cb}\to \frac{9}{16} & m\to \frac{15 \sqrt{7}}{4} & n\to 4 \sqrt{7} \\
\text{sa}\to \frac{\sqrt{7}}{4} & \text{ca}\to \frac{3}{4} & \text{sb}\to \frac{5 \sqrt{7}}{16} & \text{cb}\to \frac{9}{16} & m\to -\frac{1}{4} \left(15 \sqrt{7}\right) & n\to -4 \sqrt{7} \\
\text{sa}\to -\sqrt{\frac{256 \sqrt{37}}{81}-\frac{1535}{81}} & \text{ca}\to \frac{4}{9} \left(\sqrt{37}-8\right) & \text{sb}\to \frac{1}{3} (-2) \sqrt{4 \sqrt{37}-23} & \text{cb}\to \frac{1}{3} \left(\sqrt{37}-8\right) & m\to \frac{1}{2} (-3) \sqrt{4 \sqrt{37}+5} & n\to -\sqrt{16 \sqrt{37}-43} \\
\text{sa}\to \frac{1}{9} \sqrt{256 \sqrt{37}-1535} & \text{ca}\to \frac{4}{9} \left(\sqrt{37}-8\right) & \text{sb}\to \frac{2}{3} \sqrt{4 \sqrt{37}-23} & \text{cb}\to \frac{1}{3} \left(\sqrt{37}-8\right) & m\to \frac{3}{2} \sqrt{4 \sqrt{37}+5} & n\to \sqrt{16 \sqrt{37}-43} \\
\text{sa}\to \frac{1}{9} i \sqrt{256 \sqrt{37}+1535} & \text{ca}\to \frac{1}{9} (-4) \left(\sqrt{37}+8\right) & \text{sb}\to \frac{1}{3} (-2) i \sqrt{4 \sqrt{37}+23} & \text{cb}\to \frac{1}{3} \left(-\sqrt{37}-8\right) & m\to \frac{1}{2} (-3) i \sqrt{4 \sqrt{37}-5} & n\to i \sqrt{16 \sqrt{37}+43} \\
\text{sa}\to -\frac{1}{9} i \sqrt{256 \sqrt{37}+1535} & \text{ca}\to \frac{1}{9} (-4) \left(\sqrt{37}+8\right) & \text{sb}\to \frac{2}{3} i \sqrt{4 \sqrt{37}+23} & \text{cb}\to \frac{1}{3} \left(-\sqrt{37}-8\right) & m\to \frac{3}{2} i \sqrt{4 \sqrt{37}-5} & n\to -i \sqrt{16 \sqrt{37}+43} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{llllll}
\text{sa}\to -0.661438 & \text{ca}\to 0.75 & \text{sb}\to -0.826797 & \text{cb}\to 0.5625 & m\to 9.92157 & n\to 10.583 \\
\text{sa}\to 0.661438 & \text{ca}\to 0.75 & \text{sb}\to 0.826797 & \text{cb}\to 0.5625 & m\to -9.92157 & n\to -10.583 \\
\text{sa}\to -0.52337 & \text{ca}\to -0.852106 & \text{sb}\to -0.769141 & \text{cb}\to -0.639079 & m\to -8.12372 & n\to -7.3705 \\
\text{sa}\to 0.52337 & \text{ca}\to -0.852106 & \text{sb}\to 0.769141 & \text{cb}\to -0.639079 & m\to 8.12372 & n\to 7.3705 \\
\text{sa}\to 0.\, +6.1786 i & \text{ca}\to -6.25901 & \text{sb}\to 0.\, -4.5865 i & \text{cb}\to -4.69425 & m\to 0.\, -6.59506 i & n\to 0.\, +11.8459 i \\
\text{sa}\to 0.\, -6.1786 i & \text{ca}\to -6.25901 & \text{sb}\to 0.\, +4.5865 i & \text{cb}\to -4.69425 & m\to 0.\, +6.59506 i & n\to 0.\, -11.8459 i \\
\end{array}\]

函数值
\[\left\{-\frac{1}{4} \left(35 \sqrt{7}\right),\frac{35 \sqrt{7}}{4},\frac{1}{3} \sqrt{148 \sqrt{37}+661},-\frac{1}{3} \sqrt{148 \sqrt{37}+661},-\frac{1}{3} i \sqrt{148 \sqrt{37}-661},\frac{1}{3} i \sqrt{148 \sqrt{37}-661}\right\}\]
数值化
{-23.1503, 23.1503, 13.1709, -13.1709, 0. - 5.15589 I, 0. + 5.15589 I}

很显然第二个是最大值。

hujunhua

你给的链接有一个不错的解答。利用sin x在(0,pi)上的单向上凸性。
如图，切线上的点A总是位于正弦曲线上的点X之上，由此导出一个切线不等式：
`\sin x ≤\sin' x_0 (x-x_0)+\sin x_0 `

于是有
`3\sin A≤3\cos A_0(A-A_0)+3\sin A_0\tag{1}`
`4\sin B≤4\cos B_0(B-B_0)+4\sin B_0\tag{2}`
`18\sin C≤18\cos C_0(C-C_0)+18\sin C_0\tag{3}`
如果有`A_0+B_0+C_0=\pi`使得`3\cos A_0=4\cos B_0=18\cos C_0=:k`
那么从(1)+(2)+(3)即得\[3\sin A+4\sin B+18\sin C≤3\sin A_0+4\sin B_0+18\sin C_0\]所以这样的`(A_0,B_0,C_0)`必是最大值驻点。
再由余弦恒等式即可解出`k`.

nyy

hujunhua 发表于 2024-11-13 11:50
你给的链接有一个不错的解答。利用sin x在(0,pi)上的单向上凸性。
如图，切线上的点A总是位于正弦曲线上的 ...

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. ans=Solve[ArcCos[k/3]+ArcCos[k/4]+ArcCos[k/18]==Pi,{k},Method->Reduce]
   
3. aaa=((k/.ans[[1]])/#)&/@{3,4,18}
   

复制代码

列方程，得到\[\cos ^{-1}\left(\frac{k}{3}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{k}{4}\right)+\cos ^{-1}\left(\frac{k}{18}\right)=\pi\]

按照你的思路，求出k值，得到\[\left\{\left\{k\to \frac{9}{4}\right\}\right\}\]

三个角的余弦值为
\[\left\{\frac{3}{4},\frac{9}{16},\frac{1}{8}\right\}\]

nyy

hujunhua 发表于 2024-11-13 11:50
你给的链接有一个不错的解答。利用sin x在(0,pi)上的单向上凸性。
如图，切线上的点A总是位于正弦曲线上的 ...

三个角的正弦值都含有根号7，
这个是偶然的吗？
还有，现在知道答案了，
如果让你去凑解答，
你会凑出什么样的解答！
知道答案凑解答也是一种本事。
我只会拉格朗日乘子法

Jack315

代码：

1. max = Maximize[{3 Sin[x] + 4 Sin[y] + 18 Sin[z], x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z == \[Pi]}, {x, y, z}]

复制代码

答案：
\(x=\pi-2tan^{-1}(\frac{\sqrt{7}}{5})-2tan^{-1}(\frac{\sqrt{7}}{3})\)
\(y=2tan^{-1}(\frac{\sqrt{7}}{5})\)
\(z=2tan^{-1}(\frac{\sqrt{7}}{3})\)
\(3\sin(x)+4\sin(y)+18\sin(z)=\frac{35\sqrt{7}}{4}\)

王守恩

Solve[{ArcSin[k/3] + ArcSin[k/4] == ArcCos[k/18], Sqrt[3^2 - k^2] + Sqrt[4^2 - k^2] + Sqrt[18^2 - k^2] == p}, {k, p}]

nyy

利用余弦定理，与正弦定理，这个问题本质上就是求解
\[-\frac{(a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c) (3 a+4 b+18 c)^2}{4 a^2 b^2 c^2}\]
的最值的平方根

nyy

nyy 发表于 2024-11-15 10:31
利用余弦定理，与正弦定理，这个问题本质上就是求解
\[-\frac{(a-b-c) (a+b-c) (a-b+c) (a+b+c) (3 a+4 b+1 ...

按照上面的思路来求解问题。
把详细思路写在注释里面。

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. c=1;(*把c这边赋值为1*)
   
5. (*利用余弦定理先求出角C的余弦值,再计算出正弦值,再利用正弦定理化简问题*)
   
6. f=Sqrt[1-cs[a,b,c]^2]*(3*a/c+4*b/c+18)
   
7. g=f^2//FullSimplify(*为了求导方便,两边平方*)
   
8. ans=Solve[D[g,{{a,b}}]==0,{a,b}](*对ab求解偏导数,再求解方程组*)
   
9. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
   
10. aaa=Select[ans,(And[a>=0,b>=0]/.#)&](*选出ab的非负数解*)
    
11. bbb=f/.aaa[[1]](*把ab的值代入到目标函数里面求值*)
    

复制代码

f等于\[(3 a+4 b+18) \sqrt{1-\frac{\left(a^2+b^2-1\right)^2}{4 a^2 b^2}}\]

方程组的求解结果
\[\begin{array}{ll}
b\to -\frac{3 a}{4}-\frac{9}{2} & \text{} \\
a\to 22 & b\to -21 \\
a\to 14 & b\to -15 \\
a\to -2 & b\to -3 \\
a\to -\frac{22}{7} & b\to -\frac{15}{7} \\
a\to \frac{2}{3} & b\to \frac{5}{6} \\
a\to \frac{1}{3} \left(5 \sqrt{37}-32\right) & b\to \frac{2}{3} \left(11-2 \sqrt{37}\right) \\
a\to \frac{1}{3} \left(-5 \sqrt{37}-32\right) & b\to \frac{2}{3} \left(2 \sqrt{37}+11\right) \\
\end{array}\]

非负数解为
\[\left\{\left\{a\to \frac{2}{3},b\to \frac{5}{6}\right\}\right\}\]
c的结果等于1
三边的比值是4:5:6
目标函数值等于\(\frac{35 \sqrt{7}}{4}\)

nyy

nyy 发表于 2024-11-15 10:40
按照上面的思路来求解问题。
把详细思路写在注释里面。

一道三角形的题目
https://bbs.emath.ac.cn/thread-5191-1-1.html
(出处: 数学研发论坛)

这边的三边之比也是4：5：6