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[讨论] 一道三角形的题目

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发表于 2013-11-18 20:28:11 | 显示全部楼层 |阅读模式

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△ABC中 , 已知cosA:cosB:cosC=12:9:2, 求 sinA:sinB:sinC

朋友家的高一学生问的,我帮他求出来了,过程太复杂。

有没有巧妙的方法?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-11-18 21:27:04 | 显示全部楼层
sinA=sin(B+C) = sinB*cosC + sinC *cosB  =2k sinB +9k sinC
同理:
sinB=sin(A+C) = sinA*cosC + sinC *cosA  =12k sinC + 2k sinA
sinC=sin(A+B) = sinA*cosB + sinB *cosA  =9k sinA +12k sinB

我倒, 居然还要解 一元三次方程.
-1 + 229 k^2 + 432 k^3 = 0
解得: k有三个值:  {1/16, 1/27 (-8 - Sqrt[37]), 1/27 (-8 + Sqrt[37])}
舍去负值,得到 k=1/16

sinA : sinB : sinC  = 4: 5 : 6

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牛顿迭代法求解三次方程  发表于 2018-3-7 21:27

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northwolves + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 我的解法类似,解一元三次方程不好给孩子解.
KeyTo9_Fans + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 精彩!精彩!

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发表于 2013-11-18 22:36:31 | 显示全部楼层
一元三次方程 应该是该问题的本征特性, 没法绕过去吧.
或许有一种可能,就是利用数的某种巧合性.
但也需要极大的取巧,或者说运气.

我觉得最容易接受的就是教孩子 怎么解这个一元三次方程.
教他如何因式分解(还好出题人留了一手,这个方程有 有理数解)......
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 楼主| 发表于 2013-11-18 22:44:14 | 显示全部楼层
如果 sinA:sinB:sinC=4:5:6,求cosA:cosB:cosC 又过于简单了

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我猜出题人是先用sinA:sinB:sinC=4:5:6求出cosA:cosB:cosC ,然后再利用cosA:cosB:cosC=12/9/2让别人去反过来求解.要不然求得的比值是有理数也是很难的!  发表于 2013-11-19 09:08
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发表于 2013-11-18 22:52:49 | 显示全部楼层
如果  cosA :cosB :cosC =x:y:z , 那么 这个比值k 是一元三次方程  2 xyz k^3 +(x^2+y^2+z^2) k^2 -1 =0 的正根.

出题人 只恨 美中不足啊

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northwolves + 8 + 8 高!

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 楼主| 发表于 2013-11-18 22:55:01 | 显示全部楼层
cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB--------->cosAcosB+cosC=sinAsinB------->cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1------->432k3+229k2−1=0

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还是mathematica牛逼,利用反三角函数内角和等于180度,可以求解方程,mathematica真他妈的牛逼!  发表于 2018-3-8 14:12
https://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=5191&pid=74316&fromuid=865 看看30楼的矩阵对应的行列式,也是这个等式,从二楼得到这个矩阵,然后从矩阵得到行列式,最后的结果是一样的   发表于 2018-3-8 09:22
我觉得可能他们能理解的办法,就是我用的余弦定理的办法,然后求解方程组  发表于 2018-3-7 21:42
更本质的是矩阵对应的行列式等于零,详细见后面的回答  发表于 2018-3-7 21:38
cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1 这个是恒等式吗?  发表于 2013-11-19 08:52

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wayne + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 赞一个!

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发表于 2013-11-19 08:48:33 | 显示全部楼层
只有笨办法,没有巧妙的办法!
  1. (*计算正弦值比例*)
  2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  3. (*正弦定理sinA:sinB=a:b,剩下类推*)
  4. (*分子分母都二次齐次多项式,所以可以假设c=1*)
  5. c=1;
  6. cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c);
  7. cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c);
  8. cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b);
  9. out=Solve[{cosA/cosB==12/9,cosB/cosC==9/2},{a,b}]
  10. N[out]
复制代码


其中利用了正弦定理与余弦定理.
sina:sinb:sinc=a:  b :c

运算结果:
{{a -> 2/3, b -> 5/6}, {a -> 1/3 (-32 - 5 Sqrt[37]),
  b -> 2/3 (11 + 2 Sqrt[37])}, {a -> 1/3 (-32 + 5 Sqrt[37]),
  b -> 2/3 (11 - 2 Sqrt[37])}}
{{a -> 0.666667, b -> 0.833333}, {a -> -20.8046,
  b -> 15.4437}, {a -> -0.528729, b -> -0.777017}}
由此可知只有第一个结果有效.
于是a:  b :c=2/3:5/6:1=4:5:6

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(*计算正弦值比例*) (*正弦定理sinA:sinB=a:b,剩下类推*) (*分子分母都二次齐次多项式,所以可以假设c=6*) Clear["Global`*"];(*Clear all variables*) c=6; cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c); cosB=(a^2+c^2-b^   发表于 2018-3-21 20:13
管理员能这个问题的回答编辑一下吗?我需要latex表达结果  发表于 2018-3-7 21:41
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发表于 2013-11-19 08:50:04 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2013-11-19 08:48
只有笨办法,没有巧妙的办法!

sina:sinb:sinc=a:  b :c=4:5:6
不过估计高中题目不给利用数学软件计算!
具体的计算是弱智的,关键是思路!
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发表于 2013-11-19 09:01:23 | 显示全部楼层
  1. (*计算正弦值比例*)
  2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  3. (*正弦定理sinA:sinB=a:b,剩下类推*)
  4. (*分子分母都二次齐次多项式,所以可以假设c=1*)
  5. c=1;
  6. cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c);
  7. cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c);
  8. cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b);
  9. Reduce[cosA/cosB==12/9&&cosB/cosC==9/2&&a>0&&b>0]
复制代码


这个代码更直接一些
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-11-19 09:12:02 | 显示全部楼层
northwolves 发表于 2013-11-18 22:44
如果 sinA:sinB:sinC=4:5:6,求cosA:cosB:cosC 又过于简单了

△ABC中 , 已知cosA:cosB:cosC=22:17:8  求 sinA:sinB:sinC
我也出一道类似的题目!

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不过这个题目太简单了  发表于 2013-11-19 09:13
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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