一道三角形的题目

northwolves

△ABC中 , 已知cosA:cosB:cosC=12:9:2, 求 sinA:sinB:sinC

朋友家的高一学生问的，我帮他求出来了，过程太复杂。

有没有巧妙的方法？

wayne

sinA=sin(B+C) = sinB*cosC + sinC *cosB  =2k sinB +9k sinC
同理:
sinB=sin(A+C) = sinA*cosC + sinC *cosA  =12k sinC + 2k sinA
sinC=sin(A+B) = sinA*cosB + sinB *cosA  =9k sinA +12k sinB

我倒, 居然还要解 一元三次方程.
-1 + 229 k^2 + 432 k^3 = 0
解得: k有三个值:  {1/16, 1/27 (-8 - Sqrt[37]), 1/27 (-8 + Sqrt[37])}
舍去负值,得到 k=1/16

sinA : sinB : sinC  = 4: 5 : 6

wayne

一元三次方程 应该是该问题的本征特性, 没法绕过去吧.
或许有一种可能,就是利用数的某种巧合性.
但也需要极大的取巧,或者说运气.

我觉得最容易接受的就是教孩子 怎么解这个一元三次方程.
教他如何因式分解(还好出题人留了一手,这个方程有 有理数解)......

northwolves

如果 sinA:sinB:sinC=4：5：6，求cosA:cosB:cosC 又过于简单了

wayne

如果  cosA :cosB :cosC =x:y:z , 那么 这个比值k 是一元三次方程  2 xyz k^3 +(x^2+y^2+z^2) k^2 -1 =0 的正根.

出题人 只恨 美中不足啊

northwolves

cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB--------->cosAcosB+cosC=sinAsinB------->cos²A+cos²B+cos²C+2cosAcosBcosC=1------->432k³+229k²−1=0

mathematica

只有笨办法,没有巧妙的办法!

1. (*计算正弦值比例*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. (*正弦定理sinA:sinB=a:b,剩下类推*)
   
4. (*分子分母都二次齐次多项式,所以可以假设c=1*)
   
5. c=1;
   
6. cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c);
   
7. cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c);
   
8. cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b);
   
9. out=Solve[{cosA/cosB==12/9,cosB/cosC==9/2},{a,b}]
   
10. N[out]
    

复制代码

其中利用了正弦定理与余弦定理.
sina:sinb:sinc=a:  b :c

运算结果:
{{a -> 2/3, b -> 5/6}, {a -> 1/3 (-32 - 5 Sqrt[37]),
  b -> 2/3 (11 + 2 Sqrt[37])}, {a -> 1/3 (-32 + 5 Sqrt[37]),
  b -> 2/3 (11 - 2 Sqrt[37])}}
{{a -> 0.666667, b -> 0.833333}, {a -> -20.8046,
  b -> 15.4437}, {a -> -0.528729, b -> -0.777017}}
由此可知只有第一个结果有效.
于是a:  b :c=2/3:5/6:1=4:5:6

mathematica

mathematica 发表于 2013-11-19 08:48
只有笨办法,没有巧妙的办法!

sina:sinb:sinc=a:  b :c=4:5:6
不过估计高中题目不给利用数学软件计算!
具体的计算是弱智的,关键是思路!

mathematica

1. (*计算正弦值比例*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. (*正弦定理sinA:sinB=a:b,剩下类推*)
   
4. (*分子分母都二次齐次多项式,所以可以假设c=1*)
   
5. c=1;
   
6. cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c);
   
7. cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c);
   
8. cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b);
   
9. Reduce[cosA/cosB==12/9&&cosB/cosC==9/2&&a>0&&b>0]
   

复制代码

这个代码更直接一些

mathematica

northwolves 发表于 2013-11-18 22:44
如果 sinA:sinB:sinC=4：5：6，求cosA:cosB:cosC 又过于简单了

△ABC中 , 已知cosA:cosB:cosC=22:17:8  求 sinA:sinB:sinC
我也出一道类似的题目!