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[提问] 三角形中的几何不等式

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发表于 2015-5-18 17:49:34 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图,三角形DEF在三角形ABC内部,`AD=BE=CF=:r`,D,E, F分别在线段AF,BD,CE上。
求证:`r<R`(三角形ABC的外径)
无标题.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2015-5-18 18:57:13 | 显示全部楼层
“D,E, F分别在线段AF,BD,CE上”很必要,D、E、F是对应线段的内点,这才会成立。这个题目和我的那题在构图上有几分相似,值得认真思考。

点评

从只言片语能看出ccmmjj的数学功底!  发表于 2023-3-25 21:12
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发表于 2015-5-19 07:32:44 | 显示全部楼层
题目比我想象的要简单。引理如图,钝角三角形ABC的角A为钝角,以锐角顶点B、C为圆心,以不超出至顶点A的距离为半径的两圆重合部分(图中阴影部分)必在钝角A内(可能包含钝角顶点)。证明极易,不必说了。
现在看楼主的图,三角形ACF、BCE、ABD中至少有两个是以D、E、F为钝角顶点的钝角三角形,不妨设为三角形ACF、BCE。分别以A、B、C为圆心,r为半径作圆,若r>=R,则此三圆必皆包含其外心(r=R时外心在圆上,r>R时外心在圆内)。即此三圆必有交。外心当在任两圆之交内。于是由引理,外心既在钝角AFC内又在钝角BEC内。而如图此二限并无交集即生矛盾。于是假设r>=R必不能于此图成立。证毕。
无标题.png

点评

引理不错,证法简明。  发表于 2015-5-19 15:25
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 楼主| 发表于 2015-5-19 15:47:24 | 显示全部楼层
我得到题目时感觉很直观,应该有简单的证明,但在发帖时还没有找到简明的证明。随后找到一个,很有启发性,但所依赖的几何直观要转化为严格的证明虽然不难,却比较啰嗦,全盘列出会使证明丧失简明性。
如图,由于∠ADB+∠BEC+∠CFA=2π, 所以含此三角的三条弧相交于一点G。
捕获.PNG
可以证明:
1、G位于△DEF内.  因为G位于三个外围三角形之外。
2、比较弧ADB所含两角ADB和AGB,可得AD<AG,同理可得BE<BG, CF<CG. 于是 r<min{AG, BG, CG}.
3、引理:三角形内任一点到其三顶点的距离至少有一个不大于其外径。应用引理即得 min{AG, BG, CG}≤R.
所以,r<R.

点评

@ccmmjj 嗯。若DEF为钝角三角形,过钝角顶点的弧就是优弧,对应线段的比较略有麻烦,但仍成立。  发表于 2015-5-19 19:50
想法也极精妙。只是三对线段的长度比较上有一对线段可能有些麻烦。我的证明固非常规却也有效。请胡兄点评我难题征解的正三角形帖。  发表于 2015-5-19 17:26
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发表于 2015-5-19 19:24:08 | 显示全部楼层
三角形DEF与ABC是否相似,以及三角形ABC的外心是否可能是三角形DEF的某心?

点评

一般不相似,△ABC的外心也不是△DEF的某心  发表于 2023-3-23 19:15
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 楼主| 发表于 2023-3-23 19:30:56 | 显示全部楼层
今天偶尔翻到此贴,想起当年提问时,可能就是因为4#那三条弧共点,想基于它构造一个妙证,结果有点翻车:基于它的证明并不简明。

这个点麻烦,就换个点呗,发现△DEF的内心就很好。容易证明三角形的内角之半加上相补的外角是个钝角。
下图中,G是△DEF的内心,那么∠ADG、∠BEG、∠CFG都是钝角,所以AG>AD=r, BG>BE=r, CG>CF=r.
所以r<min(AG,BG,CG)<R.
屏幕截图 2023-03-23 191300.jpg

事实上,我们也并不需要内心。若△DEF不是钝角三角形,则其内任何一点都行。
若△DEF是钝角三角形,比如∠E为钝角,则作以B为圆心、过E的圆,该圆之外、△DEF之内的点都行。
只不过,用内心的话能简单地满足证明要求,不需要因为一般性再作多余的说明。
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