半球面的量子化

hujunhua

赶个时髦，标题党一回，其实与空间的量子化是两码事。

问：将一个半球面划分为12个全等的多边形，共有多少种图案？（两个可通过旋转重合的图案视为同一种）

我原本想问的是“将一个球面划分成24个全等的多边形，共有多少种图案”。
结果初步一列举就有无穷多种。我们不喜欢发散的结果，只好改成半球面了。

hujunhua

对于球面的24等分，我能想到的图案都是以正多面体网为母本进一步划分的结果。

比如将正八面体网的每个三角面再用相同的方式划分成 3个 全等的三角形或者四边形。
八面体网由三个互相垂直的大圆构成，每一个都将球面剖成两个半球面。
两半球面可以沿着大圆发生相对滑动（旋转）而不破坏八面体网的三角面。
滑过的角度不同，就得到不同的八等分图案，故有无穷多种八等分图案。
以此为母本，就可衍生出无穷多的球面24等分图案。

又比如，以正方体网为母本，将其每个“正方形”在中心划一个十字而四等分，就可以将球面24等分。
这个十字可以绕十字中心交点任意旋转，不同的角度就得到不同的24分图案。故也是无穷多解。

为了消除这样产生的无穷性，我们的问题就变成半球面上的了。但愿这样真的可以消除发散！

mathe

还是无穷多解。从北极到赤道12等分点做经线可以得到12个全等三角形。将每条经线中点用图钉固定，而再将赤道上点同侧移动相同距离（是橡皮线，可以任意拉伸），于是得到12个全等五边形

hujunhua

问题起源于球面的三角化，约束一旦宽化为多边形，拜@mathe所赐 ，就顿时发散不可收拾了。

咳，老老实实还原罢。

但是，“将一个球面划分为24个全等的三角形”的图案数，因两个半球可相对滑动（旋转）任意角度，仍然是发散的。
所以，问题还得限制在半球面上。

问：将一个半球面划分为12个全等的三角形，共有多少种图案？

不过，半球面也有两种！！！

半球面A  就是简单的将球面一剖两半，取其上半。
半球面B  即射影平面模型：对径点被视为同一点的球面。（发生了量子隧穿）

对于两种不同的半球面，答案显然是不同的（真的吗 ）。它们各是怎样的，都是有限的吗？

mathe

看来你要的是24个中心对称分布的全等三角形。假设三个角分别为A,B,C.那么A+B+C=7/6 Pi
另外查看各个顶点上角度分布情况，可以得出顶点处有若干个A,B,C和为2Pi.而且可以看出不是所有顶点处分布相同的。穷举两个分布不同的顶点处的情况，再加上前面一个约束可以确定三个角度。
当然这种方法不包含一个三角形的顶点在另一个三角形边上的情况

hujunhua

对于半球面B（一种射影平面模型），确实相当于在球面上24个中心对称分布的全等三角形。
显然，半球面A上的一个12等分图案可以映射为半球面B上的一个12等分图案。
反之，如果半球面B上的一个图案包括一个完整大圆，就可从此大圆剖开，退化为半球面A上的1个图案。
如果有多个完整大圆，则可能可以退化为半球面A的多个图案。
若不包含完整大圆，则不可退化为半球面A上的任何图案。

所以，我们先研究半球面B的划分。

像楼上那样做一些一般性分析是有必要的，但是我们先在正多面体网的基础上构造一些实例出来，有利于提供启示，增加信心。

hujunhua

1、正四面体网不是中心对称的，不用去管它。虽然它可以对称化，但有关结果应可由正方体网或正八面体网导出。
2、正方体网6个面，每个面需要划分成4个全等三角形，显然只有一种方法，就是连接对角线。
3、正八面体网每个面需要划分为3个全等三角形，有多种划分方法，衍生的图案最多。
4、正12面体网，需要把每个面划分成2个全等三角形（不可能），或者把每个面先划分为10个全等三角形后，再五五合成24个全等三角形，应该不行吧。
5、正20面体网，需要把每个面先划分为6个全等三角形后，再将五五合成24个全等三角形，与4一样的。

所以问题首先集中到正八面体网的划分。

hujunhua

正八面体网，这个称谓是球面上的，就是一个球面被三维坐标面截为8个卦限。
在球面上共是8个面，6个顶点，12条边。
但在半球面B上，点、线、面的数量都要折半，所以实际上只有4个面，3个顶点、6条边。
这4个面是两两相邻的，好怪吧。它的投影见本帖图中左1（4个面都见到了）。

把它的一个卦面再分成 3 个全等三角形，有两种方法。
一种从中心爆破，如图中左2。
另外三种是从顶点瓜分，有3个顶点可选，故为3种方法。如图中左3，左4，右1.

这4种方法，分别标为c, o, x, y

4个卦面，每个4种划分方法，故总的划分方法不会超过64种。
64种投影图，依第1象限至第4象限的划分标记进行编号，然后再按对称等价分组，即可穷举无遗。