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[提问] 轻便、省线的蜂窝型渔网

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发表于 2014-9-19 16:05:35 | 显示全部楼层 |阅读模式

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渔网的网眼一般是正方形,当然,得拉正了看,否则你只看到棱形。
有人研发了一种专门织网眼为正六边形的渔网的机器,因为据数学家说这种渔网比普通方眼渔网省线13%,相应地轻便13%。

这是真的吗,怎么算的呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-9-19 19:25:33 | 显示全部楼层
渔网是软的,网眼应当看作软绳圈,要这个绳圈能挡住鱼。

等周长的正六边形比正方形面积大,相应等面积渔网需要的正六边形网眼比正方形面网眼少。
但我算的是$1/sqrt(3)$ 0.57735
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发表于 2014-9-19 21:21:44 | 显示全部楼层
要想挡住多大尺寸的鱼,取决于网眼的最大直径,即该网眼周长的一半。

假设每个网眼的周长是定值 \(\ell\),则:
\(S_4=a_4^2=\left(\frac\ell4\right)^2=\frac1{16}\ell^2\)
\(S_6=6*\frac{\sqrt3}4 a_6^2=\frac{3\sqrt3}2\left(\frac\ell6\right)^2=\frac{\sqrt3}{24}\ell^2\)
\(S_4:S_6=\frac1{16}:\frac{\sqrt3}{24}=\sqrt3:2=0.8660:1 \implies \text{正六边形比正方形的渔网省线13%(基于相等的网眼周长及渔网总面积)}\)

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发表于 2014-9-20 08:20:06 | 显示全部楼层
主要问题是  六边形所有节点是奇数线连接,不能“一笔画”,也就是要织网就必须要将线剪断成一小段一小段。而正方形就可以用整根线织了,比如网破了,可以人工补,六边形网破了  就不好补了
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发表于 2014-9-20 10:06:09 | 显示全部楼层
虽然不是渔网,但从这些钢丝网的图中可以了解





三个方向有一个方向是双绞的。所以用料应当是线段和的$4/3$

点评

这样反而比单丝方眼网还费线一些。  发表于 2014-9-20 11:15
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发表于 2014-9-20 10:57:36 | 显示全部楼层
楼主的问题是渔网,网眼可变形的。

现在换成挡蚊虫的纱窗,假设装好后不变形,屏蔽蚊虫的能力取决于网眼的最大直径,
请问采用正方形网眼与正六边形的网眼哪种省材料?

设网眼的最大直径均为 \(d\),两种方案的网眼周长与面积分别为 \(\ell_4,\ell_6,S_4,S_6\),则:
\(\ell_4=2\sqrt2d,\ \ell_6=3d\)
\(S_4=\frac1{16}\ell_4^2=\frac12d^2,\ S_6=\frac{\sqrt3}{24}\ell_6^2=\frac{3\sqrt3}8d^2\)

针对相同的纱窗面积 \(S\),两只方案的需要的纱线总长分别为 \(L_4,L_6\),则:
\[L_4 : L_6=\left(\frac{S}{S_4}\ell_4\right):\left(\frac{S}{S_6}\ell_6\right)=\frac{\ell_4}{S_4}:\frac{\ell_6}{S_6}=\sqrt6:2=1.2247:1\]
当然,线段间是基于“点焊”的,而非“双绞”的,否则不能用上述推导过程。
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 楼主| 发表于 2014-9-20 11:18:19 | 显示全部楼层
@zeroieme \(\sqrt3/2\times4/3=2/\sqrt3\), 反过来了,单丝方眼网反而省料13%。

点评

帮我删了那些点评吧。事实证明饭后不能思考。  发表于 2014-9-20 13:47
依然省  发表于 2014-9-20 13:30
$(4/3 )* (1/sqrt(3))$ 0.76980  发表于 2014-9-20 13:28
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