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[讨论] 一个复杂的四边形面积公式

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发表于 2015-8-8 20:24:10 | 显示全部楼层 |阅读模式

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我今天在刘培杰数学工作室出版的<数学奥林匹克与数学文化>一书中看到一个复杂的四边形公式,设四边形各边长依次为\(a,b,c,d\),且四个角的半外角分别为\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\),四边形的面积为\(s\),则有(下面公式可能是印刷错误?!)

\[s=\frac{(a+b+c+d)^2}{\tan(\alpha_1)+\tan(\alpha_2)+\tan(\alpha_3)+\tan(\alpha_4)}-\frac{(a-b+c-d)^2}{\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3)+\cot(\alpha_4)}\]

对于特殊四边形,即矩形我们可以得到:

\(\alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=\alpha_4=\frac{3\pi}{4}, a=c,b=d,s=ab\)

有修正后的公式:

\[s=\frac{(a+b+c+d)^2}{(\tan(\alpha_1)+\tan(\alpha_2)+\tan(\alpha_3)+\tan(\alpha_4))^2}-\frac{(a-b+c-d)^2}{(\cot(\alpha_1)+\cot(\alpha_2)+\cot(\alpha_3)+\cot(\alpha_4))^2}\]

有谁能证明此公式?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2015-8-9 11:12:57 | 显示全部楼层
应该是知道四个边  加一个角就可以算面积了啊

点评

面积公式形式有N种,关健是要有数学上的对称美!  发表于 2015-8-9 11:45
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-8-16 15:36:28 | 显示全部楼层
修正后的公式是错的,第一个公式等号左边改为4s就对了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-1 19:23:20 | 显示全部楼层
  1. (*假设BD=1;*)
  2. a = Sin[z]/Sin[z + x]; d = Sin[x]/Sin[z + x]; b = Sin[w]/
  3. Sin[y + w]; c = Sin[y]/Sin[y + w];
  4. A = \[Pi] - (z + x); B = x + y; C1 = \[Pi] - (y + w); D1 = z + w;
  5. Simplify[{Sin[A], Sin[B], Sin[C1], Sin[D1]}]
  6. Simplify[{Cot[A], Cot[B], Cot[C1], Cot[D1]}]
  7. Simplify[{Tan[A], Tan[B], Tan[C1], Tan[D1]}]
  8. Simplify[{Tan[A/2], Tan[B/2], Tan[C1/2], Tan[D1/2]}]

  9. S1 = (a + b + c + d)^2/(
  10.   Cot[A/2] + Cot[B/2] + Cot[C1/2] + Cot[D1/2]) - (a - b + c - d)^2/(
  11.   Tan[A/2] + Tan[B/2] + Tan[C1/2] + Tan[D1/2]); S2 =
  12. 2 (a d  Sin[A] + b c Sin[C1]); S3 = 2 (a b Sin[B] + d c Sin[D1]);
  13. Simplify[{S1, S2, S3, , S1 - S2}]
  14. (*Factor[{S1,S2,S1-S2}]*)
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