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[转载] 求证必有一个凸四边形

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发表于 2014-9-21 10:43:39 | 显示全部楼层 |阅读模式

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平面上有5个点,任意3点都不共线。求证:其中必有4个点是一个凸四边形的四顶点。

百度知道的一个问题,那里有2个回复,一个文不对题,一个不够充分但被提问者采纳了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2014-9-21 10:50:24 | 显示全部楼层
百度知道还有一处提出此问,回答也不正确,而且也被采纳了。

看起来证明并不困难,毕竟组合很少,穷举也费不了多少事,居然没人搞对。

证明1:记这5点为ABCDE, 考虑这5点的凸包,有3种可能:
          1) 凸包是一个四边形,则可得到3个凸四边形。
          2) 凸包是一个五边形,则可得到5个凸四边形,任取其中4点皆可。
          3) 凸包是一个三角形,不妨设即ABC,那么DE在三角形ABC内,直线DE只与三角形两边相交,
              不交的那条边不妨设即AB,则ABDE是一个凸四边形的四顶点(为什么?)。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-9-21 12:03:05 | 显示全部楼层
等效一下:
在三角形内选一个点,即可构成一个凹四边形。(充分)
换句更强的话来说,就是凹四边形在结构上等效于三角形及其内部一点构成的集合。(充分必要)

原命题的否命题 等效于在两个共边三角形的图形结构内放置一个点,使得该点同时属于这两个三角形的内部。
而这个是矛盾的。所以命题成立。

点评

这个证明要求“三角形外一点与三形必定构成凸四边形”吧?这可不成立啊!  发表于 2014-9-21 17:47
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-9-21 16:23:18 来自手机 | 显示全部楼层
可先证明一个引理,凸图形被直线划分成的俩部分都是凸的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2014-9-21 16:48:10 | 显示全部楼层
这个引理不錯,正好回答了2楼最后括号中的为什么。

@mathe 貌似手机浏览器可以直接看到白色字吧?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-9-21 17:20:15 来自手机 | 显示全部楼层
非常容易忽略掉,很不清楚。不过全选后就可以看清了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-9-21 18:08:03 | 显示全部楼层
这个叫Happy ending problem,Erdos也做过的:http://en.wikipedia.org/wiki/Happy_Ending_problem

可以推广到更多的点,上下界之间差很多,很有发挥空间。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2014-9-21 22:26:18 | 显示全部楼层
取a、b、c三点构成三角形,设d、e在三角形内,因为没有三点共线,所以abc三点中必有两点在线段de的同一侧,且四点中任意三点不共线,则这两点与de构成凸四边形。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2015-12-6 16:06:41 来自手机 | 显示全部楼层
找到一个简明的表述。
凸四边形与凹四边形可以用对角线是否相交来区分。相交为凸,不交为凹。
问题等价转化为:直边完全图k5画在一个平面上时必有两非邻边相交。
这当然是正确的。别说是直边k5,就是曲边k5也不可避免两边相交,因为k5不是平面图。
证明很简单:k4将平面划分为4个△,第5点必落于其中一个△内,它与该△外的那个顶点的连线必定与△的某条边相交。

点评

正解  发表于 2015-12-6 18:04
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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