四边形的面积

northwolves

任意四边形，边长a,b,c,d，四边形的最大面积有没有简单的公式？

是否圆内接四边形面积最大？

kastin

http://www.docin.com/p-507311667.html，结论是圆内接四边形面积最大。

BeerRabbit

似乎可以用肥皂沫膜实验进行考虑：四个边的张力垂直于对应边向外，力的大小正比于该边边长。

gxqcn

边长依次为 \(a,\ b,\ c,\ d\) 的凸四边形，其面积为 \[S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\alpha}\]
其中 \(p=\frac12 (a+b+c+d)\)；\(\alpha=\frac12(\angle A + \angle C)\text{ or }\alpha=\frac12(\angle B + \angle D)\)
注意到 \(\angle B + \angle D = 2\pi - (\angle A + \angle C)\)，故无论取那组内对角，并不会影响到 \(\cos^2\alpha\) 的计算结果。

显然，当 \(\cos^2\alpha = 0\) 时，即 \(\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = \pi\) 时，面积可取到最大值，此时四边形内接于圆。

wayne

抛砖引玉：

不妨设边长顺次为 $a,b,c,d$,，其他类型只需对结果做符号的轮换即可。
继续 设边$a,b$的夹角为$\alpha$,边 $c,d$的夹角为 $\beta$ ,
则根据对角线的两种计算方式得到:
\[a^2+b^2 -2ab\cos \alpha = c^2+d^2 -2cd\cos \beta \]
则目标式子 \[S =\frac{1}{2}(ab\sin \alpha + cd \sin \beta )\]

变换一下就是  \[(\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2})^2 +4S^2 = (a^2b^2+c^2d^2) - 2 abcd \cos(\alpha+\beta)\]
继续变换，使式子尽可能的对称，就是：

\[\frac{1}{2} (a^2 b^2+a^2 c^2+a^2 d^2+b^2 c^2+b^2 d^2+c^2 d^2)-\frac{1}{4} (a^4+b^4+c^4+d^4) = 4S^2 + 2 abcd \cos(\alpha+\beta)\]

发现 上式两端均是关于$a,b,c,d$的轮换对称，所以面积$S$与对角线的选择无关。

要使$S$尽可能的大，我们只需找出 其中一对相对的两个顶角之和 尽可能的接近 $\pi$ 就行了。
而四边形的内角和为$2\pi$，其中一对顶角和为$\pi$,意味着另一对也是 $\pi$

cn8888

婆罗摩笈多公式
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5 ... A%E5%85%AC%E5%BC%8F
Brahmagupta's Formula
http://mathworld.wolfram.com/BrahmaguptasFormula.html

倪举鹏

算得a,b边的夹角是arctan(((a+b+c-d)*(a+b-c+d)*(a-b+c+d)*(-a+b+c+d))^(1/2)/(a^2+b^2-c^2-d^2))

倪举鹏

看出方程解的眉目了，有几何关系的，问题好像被彻底解决。算得a,b边的夹角是arctan(((-a-b+c-d)*(a-b+c-d)*(a-b-c+d)*(a+b+c+d))^(1/2)/(a^2+b^2-c^2-d^2))有最小面积，这个时候，a,b边的夹角与c,d边夹角相等，且如果将a,b边的对角沿a,b边对应的对角线对称过来，4点共圆
a,b边的夹角是arctan(((a+b+c-d)*(a+b-c+d)*(a-b+c+d)*(-a+b+c+d))^(1/2)/(a^2+b^2-c^2-d^2))这个时候，a,b边的夹角与c,d边夹角相等，且如果将a,b边的对角沿a,b边对应的对角线对称过来，4点共圆

倪举鹏

感觉多边形也是内接于圆有最大面积……

hujunhua

给定边长的诸 n 边形中以内接于圆者面积最大，可以这样理解：

给定边长的诸多形边中，必定存在一个内接于圆者, 它和它的面积都记为A, 外接圆及其面积都记为 C。（以下相类）
把外接圆 C 与多边形之间的 n 个弓形固定在多边形的边上，随着多边形一起移变。这些弓形的总面积记为 B。
当A移变成非内接于圆的其它多边形 A* 时，固定在边上的各圆弧段缀成了一个非圆封闭曲线C*。
C*=A*+B
C=A+B
由等周定理知 C*≤C, 故 A*≤A， 即内接于圆者面积最大。

这是斯坦纳用过的方法。