四边形的面积

cn8888

Bretschneider's Formula
http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html
Quadrilateral
http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html
Cyclic Quadrilateral
http://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html
Bicentric Quadrilateral
http://mathworld.wolfram.com/BicentricQuadrilateral.html

gxqcn

hujunhua 发表于 2014-9-12 09:14
给定边长的诸 n 边形中以内接于圆者面积最大，可以这样理解：

给定边长的诸多形边中，必定存在一个内接 ...

这个思路非常巧妙，解决了任意 n 边形面积最大的问题。

现在有如下问题：已知该 n 边形边长的序列，是否一定可通过适当调整顶角，使之内接于一圆？外接圆大小是否唯一？如何求取半径？

hujunhua

@gxqcn 已知该 n 边形边长的序列，是否一定可通过适当调整顶角，使之内接于一圆？外接圆大小是否唯一？如何求取半径？

斯坦纳曰：是的。不仅可以内接于一圆，而且可以内接于任意一种给定形状的凸曲线（比如一个给定离心率的椭圆），只不过对于圆确定有唯一解，其它形状的曲线一般不唯一。

设想一下这样的过程：先给一个较大的圆，随便选一个起点，按多边形的边长序列在圆上沿正向连续取 n 条弦。由于圆较大，所以这些弦不能合围成一个多边形，即终点会离起点有一段距离（用角度表示）。当圆连续收缩时，除了起点不动，各弦在圆上连续滑动，并使终点连续靠近起点，直到相接。继续收缩的话，终点越过起点，终点到起点的距离变成负值。终点到起点的距离是圆半径的单调连续函数，并且有正有负，由连续函数的理论可知，大小适当 的外接圆是存在而且唯一的。

斯坦纳的推理方法是这样的：

1、n=4时，结论是成立的.
2、当n>4时，可以肯定存在一个面积最大的 n 边形 (为什么？)，由1知这个最大 n 边形的任意4个顶点必定共圆，从而全部n个顶点都共圆。

至于求半径 R的代数公式，R满足一个由诸边长决定系数的代数方程，当 n >4时没有根式形式的公式解。

hujunhua

BeerRabbit 发表于 2014-9-11 09:15
似乎可以用肥皂沫膜实验进行考虑：四个边的张力垂直于对应边向外，力的大小正比于该边边长。

肥皂膜实验结果的解释：

1、按最小作用原理，肥皂膜实验所导致的四边形正是面积最大的四边形（外部面积最小）。
2、各边所受的力是垂直于边的均布力，一条边上的均布力的合力作用线是该边中垂线。
3、达到最小作用状态时，整个四边形处于静力平衡状态，所以四条边的四个合力是共点力，即四边的中垂线共点。也就是说，四个顶点共圆。

注： 在达到平衡状态的过程中，合力一直都是零，只是由于作用线不共点，合力矩不为零。达到平衡的过程是释放力矩的过程，最终达到力矩为零。

wayne

hujunhua 发表于 2014-9-13 09:49
肥皂膜实验结果的解释：

1、按最小作用原理，肥皂膜实验所导致的四边形正是面积最大的四边形（外部 ...

赞~ 每个边所受的分布力（是否均匀不能确定，但可以确定的是对称的）的作用效果 等效于垂直该边，并通过该边中点的集中力，即边的中垂线。
静力平衡时，合力为0，即各个边的中垂线交于一个点。 换句话就是说内接于某圆。 妙哉，喵~

倪举鹏

要求4边围成面积最小就是个头疼问题啦   允许边交叉出现

hujunhua

@倪举鹏
唧唧复唧唧，最小面积事。
为君略解释，再三勿再四。

最小值显然不是一个极值，而是一个边值，比较一下两种交叉四边形的面积就得了，不值得过多关注。
所以你前面关于此议的两帖都被删掉了，上帖是第三次复提此议了，愿就此打住。

愿提醒你注意的是，若论最小面积，要分有向面积还是无符号面积。若是前者，交叉四边形的两个对顶三角形面积的符号相反，计算四边形的面积时是两者无符号面积的差。若是后者，则是两者无符号面积的和。前者便于代数处理，因为不涉及绝对值，目标函数有简明一致的代数式（一个行列式），后者在代数上就难看了，而且需要考虑更多的形状，比如a+b=c+d时，缩成一条二重线段得最小面积0。

葡萄糖

cn8888 发表于 2014-9-11 14:46
婆罗摩笈多公式
http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5 ... A%E5%85%AC%E5%BC%8F
Brahmagupta's Formula
http://mathworld.wolfram.com/BrahmaguptasFormula.html

Brahmagupta's Formula(婆罗摩笈多公式):
http://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta%27s_formula

cn8888 发表于 2014-9-12 12:42
Bretschneider's Formula
http://mathworld.wolfram.com/BretschneidersFormula.html
Quadrilateral
http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html
Cyclic Quadrilateral
http://mathworld.wolfram.com/CyclicQuadrilateral.html
Tangential Quadrilateral
http://mathworld.wolfram.com/TangentialQuadrilateral.html
Bicentric Quadrilateral
http://mathworld.wolfram.com/BicentricQuadrilateral.html

Bretschneider's Formula(贝利契纳德公式):
http://en.wikipedia.org/wiki/Bretschneider%27s_formula
Quadrilateral(四边形):
http://en.wikipedia.org/wiki/Quadrilateral
Cyclic Quadrilateral(圆内接四边形):
http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral
Tangential_quadrilateral(圆外切四边形):
http://en.wikipedia.org/wiki/Tangential_quadrilateral
Bicentric Quadrilateral(双心四边形):
http://en.wikipedia.org/wiki/Bicentric_quadrilateral
四边形面积公式：
\[S=\frac{1}{2}mn\sin\varphi\](\(m\),\(n\)分别为两条对角线的长,\(\varphi\)为两条对角线的夹角)
贝利契纳德(Bretschneider,1808--1878年)四边形面积公式：
\[ S=\frac{1}{4}\sqrt{4m^2n^2-(a^2-b^2+c^2-d^2)^2}\](\(a\),\(b\),\(c\),\(d\)为四条边的长,\(m\),\(n\)分别为两条对角线的长)
贝利契纳德(Bretschneider,1808--1878年)关于四边形的余弦定理：
\[m^2n^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd\cos(A+C)\] (\(a\),\(b\),\(c\),\(d\)为四条边的长,\(m\),\(n\)分别为两条对角线的长,\(A\),\(C\)分别为\(\angle BAC\), \(\angle BCD\))
贝利契纳德四边形面积公式变形Ⅰ：
\[ S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-\frac{1}{4}(ac+bd+mn)(ac+bd-mn)}\] (\(a\),\(b\),\(c\),\(d\)为四条边的长,\(m\),\(n\)分别为两条对角线的长,\(p\)为半周长)
贝利契纳德四边形面积公式变形Ⅱ：
\[S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos^2\left(\frac{A+C}{2}\right)}\](\(a\),\(b\),\(c\),\(d\)为四条边的长,\(p\)为半周长,\(A\),\(C\)分别为\(\angle BAC\), \(\angle BCD\))
婆罗摩笈多(Brahmagupta,约598～约660年)圆内接四边形面积公式：
\[S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}\](\(a\),\(b\),\(c\),\(d\)为四条边的长,\(p\)为半周长)
婆罗摩笈多(Brahmagupta,约598～约660年)圆内接四边形面积公式变形：
\[S=\frac{1}{4}\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)^2+8abcd-2(a^4+b^4+c^4+d^4)}\](\(a\),\(b\),\(c\),\(d\)为四条边的长)
圆内接四边形面积公式变形：
\[S=\frac{\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}{R}\](\(a\),\(b\),\(c\),\(d\)为四条边的长,\(R\)为外接圆半径)
圆外切四边形(Cyclic Quadrilateral)面积公式：
\[S=\sqrt{abcd\sin\frac{A+C}{2}}\](\(a\),\(b\),\(c\),\(d\)为四条边的长,\(A\),\(C\)分别为\(\angle BAC\), \(\angle BCD\))
双心四边形(Bicentric Quadrilateral)面积公式：
\[S=\sqrt{abcd}=\sqrt{m^2n^2-(ac-bd)^2}\](\(a\),\(b\),\(c\),\(d\)为四条边的长,\(m\),\(n\)分别为两条对角线的长)

数学星空

gxqcn 发表于 2014-9-12 21:18
这个思路非常巧妙，解决了任意 n 边形面积最大的问题。

现在有如下问题：已知该 n 边形边长的序列， ...

有关内接\(N\)边形的圆半径\(R\)的计算可见：

N边形外接与内切圆半径问题
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php ... 58&fromuid=1455
(出处: 数学研发论坛)

设内接\(N\)边形各顶点为\(A_i\),且各边长\(A_i A_{i+1}=a_i\),则

\[\angle A_{i-1} A_i A_{i+1}=\arccos\left(\frac{a_{i-1}}{2R}\right)+\arccos\left(\frac{a_i}{2R}\right)\]

chinahouse

hujunhua 发表于 2014-9-12 09:14
给定边长的诸 n 边形中以内接于圆者面积最大，可以这样理解：

给定边长的诸多形边中，必定存在一个内接 ...

固定在边上的各圆弧段缀成了……都不内接了，还有边上的各圆弧？

steiner用一个直角调整一个图形得到更大不假（此时不敢说最大），但还有其他调整方法也不假（可能更大，可能把他的直角抹掉）。第二点更重要，他的方法无法调整圆为更大，但并没有否认或者默认了其他方法使图形不是圆而且更大。