一道初中平几证明题

gxqcn

已知：在 \(\triangle ABC\)（\(AB\neq AC\)） 中，\(AD, AE, AF\) 依次为该三角形的 中线、角平分线和高，\(\angle DAE = \angle EAF\)
试证：\(AB \perp AC\)

注：
这是一个初中生发过来的题，我琢磨了好一会无法证明（当时没有“\(AB\neq AC\)”）；
后来，发现一个“反例”：当点 \(D,E,F\) 重合时，满足题设，此时只需 \(AB=AC\) 即可，无须垂直。
现在将“\(AB\neq AC\)”补充进去，看看能否再找到反例。。。

zhouguang

嗯，设点X是点A关于点D的对称点，设点Y是点A关于线BC的对称点，则角AXC等于角AYC，故ACXY四点共圆。因为BC垂直平分弦AY，所以BC落在圆的直径上（此时不知道点B是否在圆上）。因为弦AX也被BC平分，故AX要么垂直于BC，要么是直径，因此D一定是圆心了，这样A就是直角了。

gxqcn

楼上的辅助线添加得非常妙！

借用该辅助线，得另一思路：
当点 \(X,Y\) 不重合时，前已证得 \(A,X,Y,C\) 四点共圆，
\(\therefore XY \varparallel BC \implies XY\perp AY \implies \angle ACX = \angle AYX = 90\degree \implies AB \varparallel CX \perp AC\)
得证。