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楼主: northwolves

[讨论] 一道三角形的题目

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发表于 2017-1-20 09:20:05 | 显示全部楼层
让我们一起来,先框定k的取值范围?
基本公式:cos^(-1)x/k+cos^(-1)y/k+cos^(-1)z/k=180
约定x≤y≤z,则有
k≤y+z
k≥z
k≥2(x+y+z)/3
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2017-1-30 11:47:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2017-1-30 13:01 编辑
hujunhua 发表于 2017-1-18 17:37
这等价于以下问题:

如图,半圆内接四边形三边长为12,9,2,求半圆的直径长。


原题等价于求证:

由12,9,2,k组成的四边形中,以k=16为直径时,半圆内接四边形有最大面积?
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发表于 2018-3-7 12:37:01 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2017-1-18 17:37
这等价于以下问题:

如图,半圆内接四边形三边长为12,9,2,求半圆的直径长。

我求出了圆的周长是16,为什么等价呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-3-7 12:40:29 | 显示全部楼层
  1. out={ToRules@Reduce[Cos[a]==(x^2+x^2-9^2)/(2*x*x)&&Cos[b]==(x^2+x^2-12^2)/(2*x*x)&&Cos[c]==(x^2+x^2-2^2)/(2*x*x)&&a+b+c==Pi&&a>0&&b>0&&c>0,{a,b,c,x}]}
  2. FullSimplify[Cos[#]&/@{a,b,c}/.out[[1]]]
复制代码


\[\left\{\left\{a\to 2 \tan ^{-1}\left(\frac{9}{5 \sqrt{7}}\right),b\to 2 \tan ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right),c\to \pi -2 \tan ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)-2 \tan ^{-1}\left(\frac{9}{5 \sqrt{7}}\right),x\to -8\right\},\left\{a\to 2 \tan ^{-1}\left(\frac{9}{5 \sqrt{7}}\right),b\to 2 \tan ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right),c\to \pi -2 \tan ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)-2 \tan ^{-1}\left(\frac{9}{5 \sqrt{7}}\right),x\to 8\right\}\right\}\]

\[{47/128, -(1/8), 31/32}\]

点评

直径是16  发表于 2018-3-7 12:41
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-3-7 19:58:30 | 显示全部楼层
wayne 发表于 2013-11-18 21:27
sinA=sin(B+C) = sinB*cosC + sinC *cosB  =2k sinB +9k sinC
同理:
sinB=sin(A+C) = sinA*cosC + sinC ...

根据wayne的方程,可以得出
\(\begin{pmatrix}\sin(A) \\ \sin(B)\\ \sin(C)\end{pmatrix}\)是矩阵\(\begin{pmatrix}0 && \cos(C) && \cos(B) \\ \cos(C)&&0&&\cos(A)\\ \cos(B)&&\cos(A)&&0\end{pmatrix}\)特征值1对应的特征向量
所以就是矩阵\(\lambda\begin{pmatrix}0 && \cos(C) && \cos(B) \\ \cos(C)&&0&&\cos(A)\\ \cos(B)&&\cos(A)&&0\end{pmatrix}\)的特征值\(\lambda\)对应的特征向量,对于本题就是求矩阵
\(\begin{pmatrix}0 && 2 && 9 \\ 2&&0&&12\\ 9&&12&&0\end{pmatrix}\)的特征值和特征向量即可

点评

挖坟挖出好的回答了,给你的回答点一万个赞!  发表于 2018-3-7 20:05

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参与人数 1威望 +5 收起 理由
mathematica + 5 很给力!

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-3-7 20:03:54 | 显示全部楼层
用pari/gp计算
(19:58) gp > [0,2,9;2,0,12;9,12,0]
%1 =
[0  2  9]

[2  0 12]

[9 12  0]
19:59) gp > mateigen(%1)
%2 =
[2/3 -0.52872911616963385166719292466322156319 -20.804604217163699481666140408670111770]

[5/6 -0.77701670706429291866624566026942274945  15.443683373730959585332912326936089416]

[  1                                         1                                        1]
其中只有第一列全是正数,对应本题的解

点评

你的回答太棒了  发表于 2018-3-7 20:10
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-3-7 20:06:14 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-3-7 19:58
根据wayne的方程,可以得出
\(\begin{pmatrix}\sin(A) \\ \sin(B)\\ \sin(C)\end{pmatrix}\)是矩阵\(\be ...
  1. FullSimplify@
  2.   Eigensystem[{{0, 2, 9}, {2, 0, 12}, {9, 12, 0}}] // MatrixForm
复制代码

运行结果
\[\left(
\begin{array}{ccc}
16 & -\sqrt{37}-8 & \sqrt{37}-8 \\
\{4,5,6\} & \left\{\frac{1}{3} \left(5 \sqrt{37}-32\right),\frac{1}{3} \left(22-4 \sqrt{37}\right),1\right\} & \left\{\frac{1}{3} \left(-5 \sqrt{37}-32\right),\frac{2}{3} \left(2 \sqrt{37}+11\right),1\right\} \\
\end{array}
\right)\]
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发表于 2018-3-7 21:10:53 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2018-3-7 21:21 编辑
mathe 发表于 2018-3-7 20:03
用pari/gp计算
(19:58) gp > [0,2,9;2,0,12;9,12,0]
%1 =


根据2楼的回答的三个线性方程
  1. Solve[Det[{{-1,2*k,9*k},{2*k,-1,12*k},{9*k,12*k,-1}}]==0]
复制代码

矩阵
\[\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & 2 k & 9 k \\
2 k & -1 & 12 k \\
9 k & 12 k & -1 \\
\end{array}
\right)\]
这个矩阵乘以列向量sinA sinB sinC 等于零向量
而列向量sinA sinB sinC是非零向量,
所以矩阵对应的行列式等于零
所以可以求解出k值
结果是
\[\left\{\left\{k\to \frac{1}{16}\right\},\left\{k\to \frac{1}{27} \left(-\sqrt{37}-8\right)\right\},\left\{k\to \frac{1}{27} \left(\sqrt{37}-8\right)\right\}\right\}\]
然后求解出这个解的空间就可以了,得到的就是sinA sinB sinC的比值

全部代码
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. mat={{-1,2*k,9*k},{2*k,-1,12*k},{9*k,12*k,-1}}(*定义矩阵*)
  3. out=Solve[Det[mat]==0](*矩阵对应的行列式值等于零,求解出k值*)
  4. new=mat/.out(*代入k值,获得矩阵*)
  5. FullSimplify[NullSpace[#]&/@new](*求解矩阵的解空间*)
复制代码


\[\left\{\left\{k\to \frac{1}{16}\right\},\left\{k\to \frac{1}{27} \left(-\sqrt{37}-8\right)\right\},\left\{k\to \frac{1}{27} \left(\sqrt{37}-8\right)\right\}\right\}\]

\[\left(
\begin{array}{ccc}
\left\{-1,\frac{1}{8},\frac{9}{16}\right\} & \left\{\frac{1}{8},-1,\frac{3}{4}\right\} & \left\{\frac{9}{16},\frac{3}{4},-1\right\} \\
\left\{-1,\frac{2}{27} \left(-\sqrt{37}-8\right),\frac{1}{3} \left(-\sqrt{37}-8\right)\right\} & \left\{\frac{2}{27} \left(-\sqrt{37}-8\right),-1,\frac{4}{9} \left(-\sqrt{37}-8\right)\right\} & \left\{\frac{1}{3} \left(-\sqrt{37}-8\right),\frac{4}{9} \left(-\sqrt{37}-8\right),-1\right\} \\
\left\{-1,\frac{2}{27} \left(\sqrt{37}-8\right),\frac{1}{3} \left(\sqrt{37}-8\right)\right\} & \left\{\frac{2}{27} \left(\sqrt{37}-8\right),-1,\frac{4}{9} \left(\sqrt{37}-8\right)\right\} & \left\{\frac{1}{3} \left(\sqrt{37}-8\right),\frac{4}{9} \left(\sqrt{37}-8\right),-1\right\} \\
\end{array}
\right)\]

\[\left(
\begin{array}{c}
\left\{\frac{2}{3},\frac{5}{6},1\right\} \\
\left\{\frac{1}{3} \left(-5 \sqrt{37}-32\right),\frac{2}{3} \left(2 \sqrt{37}+11\right),1\right\} \\
\left\{\frac{1}{3} \left(5 \sqrt{37}-32\right),\frac{1}{3} \left(22-4 \sqrt{37}\right),1\right\} \\
\end{array}
\right)\]
对应的符号一致的那组列列向量就是sinA sinB sinC的比值
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-3-7 21:31:22 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2018-3-7 21:10
根据2楼的回答的三个线性方程

矩阵
  1. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
  2. mat={{-1,2*k,9*k},{2*k,-1,12*k},{9*k,12*k,-1}}(*定义矩阵*)
  3. Det[mat]
复制代码


还是这个方程
\[432 k^3+229 k^2-1=0\]
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发表于 2018-3-7 21:46:30 | 显示全部楼层
mathematica 发表于 2018-3-7 21:10
根据2楼的回答的三个线性方程

矩阵

这种线性方程组的方法所有系数除以k,然后将$1/k$看成$\lambda$就变成特征值形式了

点评

我觉得不论是二楼的办法,还是三角恒等式,还是你的矩阵特征值,还是矩阵的零空间的办法,最后都是解一个一元三次方程,殊途同归  发表于 2018-3-8 09:33
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