一道三角形的题目

mathematica

看看这个矩阵\[\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & \text{cosC} & \text{cosB} \\
\text{cosC} & -1 & \text{cosA} \\
\text{cosB} & \text{cosA} & -1 \\
\end{array}
\right)\]
行列式展开后为\[\text{cosA}^2+\text{cosB}^2+\text{cosC}^2+2 \text{cosA} \text{cosB} \text{cosC}-1=0\]
找到了一种新的证明这个等式的办法

mathematica

1. (*由cosA:cosB:cosC=12:9:2可知,三个角都是锐角*)
   
2. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
3. tanA=Sqrt[1-(12*k)^2]/(12*k)
   
4. tanB=Sqrt[1-(09*k)^2]/(09*k)
   
5. tanC=Sqrt[1-(02*k)^2]/(02*k)
   
6. Solve[{tanA+tanB+tanC==tanA·tanB·tanC},{k}]
   

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\[\tan A+\tan B+\tan C==\tan A·\tan B·\tan C\]
利用这个恒等式,求解出k的值

\[\left\{\left\{k\to -\frac{1}{16}\right\},\left\{k\to \frac{1}{16}\right\}\right\}\]

至于mathematica如何求解出这个方程的解的,不知道!
不过这次为什么只求解出两个解,而不是上面的三个解呢?不知道为什么

王守恩

基本公式：\(\D\arccos\frac{2}{k}+\arccos\frac{9}{k}+\arccos\frac{12}{k}=\pi\)

说明：2,9,12,换成x≤y≤z，则有k≤y+z，   k≥z，   k≥2(x+y+z)/3

mathematica

1. Solve[Total@Map[ArcCos[#/k]&,{12,9,2}]==Pi,{k}]

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居然忘记了还有这么简单的办法\[
\cos ^{-1}\frac{2}{k}+\cos ^{-1}\frac{9}{k}+\cos ^{-1}\frac{12}{k}=\pi
\]求解结果\[
\{\{k\to 16\}\}
\]

mathematica

由公式\[\text{cosA}^2+\text{cosB}^2+\text{cosC}^2+2 \text{cosA} \text{cosB} \text{cosC}-1=0\]
这个公式是A+B+C=180°的条件下成立
sin(A)=sin(B+C)
我联想到公式(见附件)
附件的公式是在A+B+C=360°的条件下成立,这时候,四面体体积等于零
sin(A)=-sin(-A)=-sin(-A+360)=-sin(B+C)
所以差了一个负号
\[-\text{cosA}^2-\text{cosB}^2-\text{cosC}^2+2 \text{cosA} \text{cosB} \text{cosC}+1=0\]
四面体体积公式

180度的时候,矩阵是这个样子
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
-1 & \text{cosC} & \text{cosB} \\
\text{cosC} & -1 & \text{cosA} \\
\text{cosB} & \text{cosA} & -1 \\
\end{array}
\right)
\]

360度的时候,矩阵是这个样子
\[
\left(
\begin{array}{ccc}
1 & \text{cosC} & \text{cosB} \\
\text{cosC} & 1 & \text{cosA} \\
\text{cosB} & \text{cosA} & 1 \\
\end{array}
\right)
\]

1. (*计算正弦值比例*)
   
2. (*正弦定理sinA:sinB=a : b,剩下类推*)
   
3. (*分子分母都二次齐次多项式,所以可以假设c=6*)
   
4. Clear["Global`*"];(*Clear all variables*)
   
5. c=6;
   
6. cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2*b*c);
   
7. cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2*a*c);
   
8. cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b);
   
9. Solve[cosA/cosB==12/9&&cosB/cosC==9/2&&a>0&&b>0,{a,b}]
   

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求解结果
\[\{\{a\to 4,b\to 5\}\}\]
所以
\[\sin A:\sin B:\sin C=a : b : c=4:5:6\]

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hujunhua 发表于 2017-1-18 17:37
这等价于以下问题：

如图，半圆内接四边形三边长为12，9，2，求半圆的直径长。

利用你的图，下我的面！
利用勾股定理，托勒密定理，来求解这个问题，列方程组解方程！

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*利用圆内接四边形、勾股定理、托勒密定理求解圆的直径*)
   
3. ans=Solve[
   
4.     9^2+x^2==d^2&&(*勾股定理，d为圆的直径*)
   
5.     2^2+y^2==d^2&&(*勾股定理，d为圆的直径*)
   
6.     9*2+12*d==x*y&&(*托勒密定理*)
   
7.     0<x<y<d,
   
8.     {d,x,y}]//Grid

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\[\begin{array}{lll}
  d\to 16 & x\to 5 \sqrt{7} & y\to 6 \sqrt{7} \\
\end{array}\]

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hujunhua 发表于 2017-1-18 17:37
这等价于以下问题：
如图，半圆内接四边形三边长为12，9，2，求半圆的直径长。

继续拿你的图下面！
建立直角坐标系，求解圆的半径与点的坐标

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*以圆心为原点建立坐标系,{-r,0}直径左端点,{r,0}直径右端点*)
   
3. ans=Solve[{
   
4.     x1^2+y1^2==r^2,(*点在圆上*)
   
5.     x2^2+y2^2==r^2,(*点在圆上*)
   
6.     (x1+r)^2+y1^2==9^2,(*两点距离等于9*)
   
7.     (x1-x2)^2+(y1-y2)^2==12^2,(*两点距离等于12*)
   
8.     (x2-r)^2+y2^2==2^2,(*两点距离等于2*)
   
9.     r>0&&y1>0&&y2>0(*限制变量范围*)
   
10. },{r,x1,y1,x2,y2}]//FullSimplify;
    
11. Grid[ans,Alignment->Left]

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\[\begin{array}{lllll}
r\to 8 & \text{x1}\to -\frac{47}{16} & \text{y1}\to \frac{45 \sqrt{7}}{16} & \text{x2}\to \frac{31}{4} & \text{y2}\to \frac{3 \sqrt{7}}{4} \\
\end{array}\]

mathematica

hujunhua 发表于 2017-1-18 17:37
这等价于以下问题：
如图，半圆内接四边形三边长为12，9，2，求半圆的直径长。

继续下面！
从圆心角出发看问题，三个反正弦的和应该是平角的一半，也就是90°，列方程解方程\[
\sin ^{-1}\left(\frac{2}{d}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{9}{d}\right)+\sin ^{-1}\left(\frac{12}{d}\right)=\frac{\pi }{2}
\]

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. ans=Solve[ArcSin[9/d]+ArcSin[12/d]+ArcSin[2/d]==Pi/2,{d}]

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求解结果
\[\{\{d\to 16\}\}\]

mathematica

wayne 发表于 2013-11-18 22:52
如果  cosA :cosB :cosC =x:y:z , 那么 这个比值k 是一元三次方程  2 xyz k^3 +(x^2+y^2+z^2) k^2 -1 =0 的 ...

1. 
   
2. Eliminate[{a^2+y^2==d^2,x^2+c^2==d^2,a*c+b*d==x*y},{x,y}](*消除变量x与y*)
   

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利用托勒密定理，可以得到与你一样的结论。
方程\[-d \left(d \left(a^2+b^2+c^2\right)+2 a b c-d^3\right)=0\]
你的k相当于此处的1/d，d表示直径

mathematica

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*计算余弦值子函数,利用三边计算余弦值*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=(a^2+b^2-c^2)/(2*a*b)
   
4. (*计算三个角的余弦值*)
   
5. cosA=cs[b,c,a];
   
6. cosB=cs[a,c,b];
   
7. cosC=cs[a,b,c];
   
8. (*假设c=6，求解另外两个边的长度*)
   
9. ans=Solve[{cosA==12/k,cosB==9/k,cosC==2/k,c==6},{a,b,c,k}]
   
10. Grid[ans,Alignment->Left]
    

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进一步优化我的代码，这样更简单易懂

求解结果
\[\begin{array}{llll}
a\to 4 & b\to 5 & c\to 6 & k\to 16 \\
a\to 2 \left(5 \sqrt{37}-32\right) & b\to 4 \left(11-2 \sqrt{37}\right) & c\to 6 & k\to -\sqrt{37}-8 \\
a\to 2 \left(-5 \sqrt{37}-32\right) & b\to 4 \left(2 \sqrt{37}+11\right) & c\to 6 & k\to \sqrt{37}-8 \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{llll}
a\to 4. & b\to 5. & c\to 6. & k\to 16. \\
a\to -3.17237 & b\to -4.6621 & c\to 6. & k\to -14.0828 \\
a\to -124.828 & b\to 92.6621 & c\to 6. & k\to -1.91724 \\
\end{array}\]

很明显只有第一行才是真正的解

aaa=Eliminate[{cosA==12/k,cosB==9/k,cosC==2/k},{a,b,c}]
得到结果
\[k^3-229 k=432\]