一道三角形的题目

mathematica

http://reference.wolfram.com/leg ... Implementation.html

关于内部实现的一些注释

我们这些使用盗版mathematica的人,理应该学好mathematica,否则太对不起这些写代码的人了.

不过不知道mathematica软件是如何盈利的,既然获取盗版这么容易

王守恩

基本公式：cos^(-1)2/k+cos^(-1)9/k+cos^(-1)12/k=180
说明
1，    调整k的值，使等式成立，
2，    2，9，12，可以换成x,y,z
3，有兴趣的网友填一填下面的表格

hujunhua

这等价于以下问题：

如图，半圆内接四边形三边长为12，9，2，求半圆的直径长。

王守恩

让我们一起来，先框定k的取值范围？
基本公式：cos^(-1)x/k+cos^(-1)y/k+cos^(-1)z/k=180
约定x≤y≤z，则有
k≤y+z
k≥z
k≥2（x+y+z）/3

王守恩

hujunhua 发表于 2017-1-18 17:37
这等价于以下问题：

如图，半圆内接四边形三边长为12，9，2，求半圆的直径长。

原题等价于求证：

由12，9，2，k组成的四边形中，以k=16为直径时，半圆内接四边形有最大面积？

mathematica

hujunhua 发表于 2017-1-18 17:37
这等价于以下问题：

如图，半圆内接四边形三边长为12，9，2，求半圆的直径长。

我求出了圆的直径是16,为什么等价呢?

mathematica

1. out={ToRules@Reduce[Cos[a]==(x^2+x^2-9^2)/(2*x*x)&&Cos[b]==(x^2+x^2-12^2)/(2*x*x)&&Cos[c]==(x^2+x^2-2^2)/(2*x*x)&&a+b+c==Pi&&a>0&&b>0&&c>0,{a,b,c,x}]}
   
2. FullSimplify[Cos[#]&/@{a,b,c}/.out[[1]]]
   

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\[\left\{\left\{a\to 2 \tan ^{-1}\left(\frac{9}{5 \sqrt{7}}\right),b\to 2 \tan ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right),c\to \pi -2 \tan ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)-2 \tan ^{-1}\left(\frac{9}{5 \sqrt{7}}\right),x\to -8\right\},\left\{a\to 2 \tan ^{-1}\left(\frac{9}{5 \sqrt{7}}\right),b\to 2 \tan ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right),c\to \pi -2 \tan ^{-1}\left(\frac{3}{\sqrt{7}}\right)-2 \tan ^{-1}\left(\frac{9}{5 \sqrt{7}}\right),x\to 8\right\}\right\}\]

\[{47/128, -(1/8), 31/32}\]

mathe

wayne 发表于 2013-11-18 21:27
sinA=sin(B+C) = sinB·cosC + sinC·cosB  =2/k·sinB +9/k·sinC
sinB=sin(A+C) = sinA·cosC + sinC ...

wayne的方程\[\begin{pmatrix}\sin A \\ \sin B \\ \sin C \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 &\cos C&\cos B\\\cos C&0&\cos A\\\cos B&\cos A&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\sin A \\ \sin B \\ \sin C \end{pmatrix}
\]
表明\(\begin{pmatrix}\sin A \\ \sin B \\ \sin C \end{pmatrix}\)是矩阵\(\begin{pmatrix}0 &\cos C&\cos B\\\cos C&0&\cos A\\\cos B&\cos A&0\end{pmatrix}\)的特征值 1 对应的特征向量。
所以就是矩阵\(\lambda\begin{pmatrix}0 &\cos C&\cos B\\\cos C&0&\cos A\\\cos B&\cos A&0\end{pmatrix}\)的特征值\(\lambda\)对应的特征向量，对于本题就是求矩阵
\(\begin{pmatrix}0 && 2 && 9 \\ 2&&0&&12\\ 9&&12&&0\end{pmatrix}\)的特征值和特征向量即可。

mathe

用pari/gp计算
(19:58) gp > [0,2,9;2,0,12;9,12,0]
%1 =
[0  2  9]
[2  0 12]
[9 12  0]
19:59) gp > mateigen(%1)
%2 =
[2/3 -0.52872911616963385166719292466322156319 -20.804604217163699481666140408670111770]
[5/6 -0.77701670706429291866624566026942274945  15.443683373730959585332912326936089416]
[  1                                         1                                        1]
其中只有第一列全是正数，对应本题的解

mathematica

1. FullSimplify@
   
2.   Eigensystem[{{0, 2, 9}, {2, 0, 12}, {9, 12, 0}}] // MatrixForm

复制代码

运行结果
\[\left(
\begin{array}{ccc}
16 & -\sqrt{37}-8 & \sqrt{37}-8 \\
\{4,5,6\} & \left\{\frac{1}{3} \left(5 \sqrt{37}-32\right),\frac{1}{3} \left(22-4 \sqrt{37}\right),1\right\} & \left\{\frac{1}{3} \left(-5 \sqrt{37}-32\right),\frac{2}{3} \left(2 \sqrt{37}+11\right),1\right\} \\
\end{array}
\right)\]