三角形ABC中，如何求3sinA+4sinB+18sinC的最大值？

gxqcn

\(\begin{align*}&\mathrel{\phantom{=}}3\sin A + 4\sin B + 18\sin C \\
&= 3\sin(B+C) + 4\sin B + 18\sin C \\
&= 3\sin B\cos C + 3(6 + \cos B)\sin C + 4\sin B \\
&\leq 3\sqrt{(\sin B)^2+ (6 + \cos B)^2} + 4\sin B \\
&= 3\sqrt{37+12\cos B}+ 4\sin B \\
&= \sqrt{96}\sqrt{\frac{111}{32}+\frac{9}{8}\cos B} + 4\sin B \\
&\leq \sqrt{96+4^2}\sqrt{\left(\frac{111}{32}+\frac{9}{8}\cos B\right) + (1-\cos^2 B)} \\
&= \sqrt{112\left(\left(\frac{35}{16}\right)^2-\left(\frac{9}{16}-\cos B\right)^2\right)} \\
&\leq \frac{35}{4}\sqrt{7}
\end{align*}\)

nyy

gxqcn 发表于 2024-11-27 17:21
\(\begin{align*}&\mathrel{\phantom{=}}3\sin A + 4\sin B + 18\sin C \\
&= 3\sin(B+C) + 4\sin B + 18\s ...

\[3\sqrt{37+12\cos B}+ 4\sin B\\
=\sqrt{96}\sqrt{\frac{111}{32}+\frac{9}{8}\cos B} + 4\sin B\]

如何得到这个函数的极值，这需要好好研究！

先绘图，然后求导数，得到零点，得到函数值，
从绘图上可以看出函数先增加后减少，只有一个驻点，这个驻点就是最大值。

gxqcn

好吧，那就再详细点。

待定系数 \(k\)，则：\[\begin{align*}&\mathrel{\phantom{=}}3\sqrt{37+12\cos B}+ 4\sin B \\
&= \sqrt{k}\sqrt{\frac{333}{k}+\frac{108}{k}\cos B} + 4\sin B \\
&\leqslant \sqrt{k+4^2}\sqrt{1+\frac{333}{k}+\frac{108}{k}\cos B - \cos^2 B} \\
&= \sqrt{k+4^2}\sqrt{1+\frac{333}{k}+\left(\frac{54}{k}\right)^2-\left(\frac{54}{k}-\cos B\right)^2} \\
&\leqslant \sqrt{k+4^2}\sqrt{1+\frac{333}{k}+\left(\frac{54}{k}\right)^2}
\end{align*}\]

其中，两个不等式，同时取得等号的条件为：\[\begin{cases}\dfrac{\sqrt k}{4}&=\dfrac{\sqrt{\frac{333}{k}+\frac{108}{k}\cos B}}{\sin B} \\ \\ \dfrac{54}{k}&=\cos B\end{cases}
\implies \begin{cases} k &=96\\ \cos B &=\dfrac{9}{16}\end{cases}\]

nyy

gxqcn 发表于 2024-11-28 10:50
好吧，那就再详细点。

待定系数 \(k\)，则：\[\begin{align*}&\mathrel{\phantom{=}}3\sqrt{37+12\cos B}+ 4\s ...

我以为你是先对(k + 4^2) (1 + 333/k + (54/k)^2)（你的最后一行）求最小值（先求导数，再得零点，因为不等式是成立的，
所以取f(k)的最小值时，不等式肯定还是成立的），然后得到k的。
求导数，得到

\[\frac{k^3-8244 k-93312}{k^3}\]

零点为
\[\left\{\{k\to 96\},\left\{k\to 6 \left(-\sqrt{37}-8\right)\right\},\left\{k\to 6 \left(\sqrt{37}-8\right)\right\}\right\}\]

王守恩

Solve[{x^2 + y^2 + z^2 + 2 x y z == 1, y z/3 == z x/4 == x y/18 == 1/k, 3 Sqrt[1 - x^2] + 4 Sqrt[1 - y^2] + 18 Sqrt[1 - z^2] == p, x > 0}, {x, y, z, k, p}]

{{x -> 3/4, y -> 9/16, z -> 1/8, k -> 128/3, p -> (35 Sqrt[7])/4}}

3,4,18 可以随意换。

解题思路来自——10楼——一道三角形的题目——13楼。谢谢hujunhua！

nyy

王守恩 发表于 2024-11-29 07:28
Solve[{x^2 + y^2 + z^2 + 2 x y z == 1, y z/3 == z x/4 == x y/18 == 1/k, 3 Sqrt[1 - x^2] + 4 Sqrt[1 - ...

把你的代码放到代码框里面，
把你的求助结果放到latex里面。

王守恩

求a*sinA+b*sinB+c*sinC的最大值。A,B,C=三角形3个角,   a,b,c=正数(不是三角形3条边)。

1,估算可以有。a+b+c>a*sinA+b*sinB+c*sinC的最大值>\(\frac{(a+b+c)\sqrt{3}}{2}\)

2,根式解可以有。譬如：12sinA+23sinB+23sinC的最大值=\(\frac{55\sqrt{55}}{8}\)

3,有理数解好像只有这么一个。7sinA+7sinB+15sinC的最大值=\(\frac{128}{5}\)

4,这一个可以有公式解。a*sinA+a*sinB+b*sinC的最大值=\(\sqrt{\frac{8 b^4 + 20 (ab)^2 - a^4 + a (8 b^2 + a^2)\sqrt{8 b^2 + a^2}}{8 b^2}}\)

王守恩

挑战一下？用 a,b,c 来表示 a*sinA + b*sinB + c*sinC 最大值。

a,b,c = 不同正整数,  A,B,C = 三角形 3 个角。

nyy

王守恩 发表于 2024-12-2 14:13
挑战一下？用 a,b,c 来表示 a*sinA + b*sinB + c*sinC 最大值。

a,b,c = 不同正整数,  A,B,C = 三角形 3  ...

这个要解三次方程的！

王守恩

nyy 发表于 2024-12-2 15:57
这个要解三次方程的！

看来你是对的。挑战失败！只能这样表示了(增加 k>0)。

用 a,b,c 来表示 a*sinA + b*sinB + c*sinC 最大值=p。

a,b,c = 不同正整数,  A,B,C = 三角形 3 个角。

\(\big(\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\big)k^2 + 2\sqrt{abc\ \ }k^3 =1, \sqrt{a^2-abck^2\ \ }+\sqrt{b^2-abck^2\ \ }+\sqrt{c^2-abck^2\ \ }=p\)