Jack315 发表于 2025-1-1 12:34:46

【题 2】
解方程 \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2-1}=x\)

【解】
设 \(\sqrt{x+1}=a\),\(\sqrt{x-1}=b\),则
\(a^2+b^2=2x\to x=\frac{1}{2}(a^2+b^2)\)
\(a+b-ab=\frac{1}{2}(a^2+b^2)\to2(a+b)=(a+b)^2\to(a+b)(a+b-2)=0\)
\(\sqrt{x-1}\) 的定义域为 \(x\ge1\),即 \(a+b>0\),由此得:\(a+b=2\)
\(a+b=\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1}+x=2\)
\(x^2-1=x^2-4x+4\to x=\frac{5}{4}\)

【答】
方程 \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2-1}=x\) 的根为 \(x=\frac{5}{4}\)

nyy 发表于 2025-1-1 13:03:52

Jack315 发表于 2025-1-1 12:34
【题 2】
解方程 \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2-1}=x\)



画出函数的图像,
然后用牛顿迭代法使劲迭代,
讲那么多技巧干什么?

Jack315 发表于 2025-1-1 13:10:00

nyy 发表于 2025-1-1 13:03
画出函数的图像,
然后用牛顿迭代法使劲迭代,
讲那么多技巧干什么?

这个更简单:
Solve + Sqrt - Sqrt - x == 0, x]
直接给出答案 \(x=\frac{5}{4}\):D

Jack315 发表于 2025-1-1 13:19:16

【题 3】
设 \(f(x)=(2x^5+2x^4-53x^3-57x+54)^{2022}\),求 \(f(\frac{\sqrt{111}-1}{2})\) 的值。

【解】
\(2x^5+2x^4-53x^3-57x+54\)
\(=2x^5+2x^4-55x^3+2x^3+2x^2-55x-2x^2-2x+55-1\)
\((2x^2+2x-55)(x^3+x-1)-1\)
方程 \((2x^2+2x-55)=0\) 的根为 \(x=\frac{-1\pm\sqrt{111}}{2}\)
由此得:
\(f(\frac{\sqrt{111}-1}{2})=(-1)^{2022}=1\)

【答】
\(f(\frac{\sqrt{111}-1}{2})\) 的值为 1 。

补充内容 (2025-1-12 13:42):
这个题是凑出来的:五次方程的函数值应该是 0 或 +-1,而 2*55 与 111 特别近,将 54 改成 55 后果然因式分解成功。

Jack315 发表于 2025-1-2 06:55:01

【题 1(重做)】
解方程 \((6m+7)^2(3m+4)(m+1)=6\)

【解】
设 \(x=6m+7\),则 \(m=\frac{1}{6}(x-7)\),\(3m+4=\frac{1}{2}(x+1)\),\(m+1=\frac{1}{6}(x-1)\) 。
\((6m+7)^2(3m+4)(m+1)=6\to x^2(x^2-1)=72\to x_{1,2}=\pm3,x_{3,4}=\pm2\sqrt{2}i\)
\(m_{1,2}=\frac{1}{6}(-7\pm3)=-\frac{2}{3},-\frac{5}{3}\)
\(m_{3,4}=\frac{1}{6}(-7\pm2\sqrt{2}i)\)

【答】
方程 \((6m+7)^2(3m+4)(m+1)=6\) 的四个根为:
\(m_1=-\frac{2}{3}\)
\(m_2=-\frac{5}{3}\)
\(m_3=\frac{-7+2\sqrt{2}i}{6}\)
\(m_4=\frac{-7-2\sqrt{2}i}{6}\)

Jack315 发表于 2025-1-2 21:59:54

【题 4】
解方程 \((x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\)

【解】
\((x+1)(x^2+1)(x^3+1)-30x^3=x^6+x^5+x^4-28x^3+x^2+x+1\)
\((x^2+ax+1)(x^2+bx+1)(x^2+cx+1)=x^6+Ax^5+Bx^4+Cx^3+Bx^2+Ax+1\)
其中:
\(A=a+b+c=1\)
\(B=3+ab+bc+ca=1\)
\(C=2(a+b+c)+abc=-28\)
化简得下列一元三次方程:
\(y^3-y^2-2y+30=(y+3)(y^2-4y+10)=0\)
解得此方程的三个根为:
\(y_1=-3\)
\(y_2=2+i\sqrt{6}\)
\(y_2=2-i\sqrt{6}\)
据此求出方程的根:
\(x^2-3x+1=0\)
\( x_{1,2}=\frac{1}{2}(3\pm\sqrt{5})\)

\(x^2+(2+i\sqrt{6})x+1=0\)
\(x_{3,4}=\frac{1}{2}(-2-i\sqrt{6}\pm\sqrt{-6+i4\sqrt{6}})\)

\(x^2+(2-i\sqrt{6})x+1=0\)
\(x_{5,6}=\frac{1}{2}(-2+i\sqrt{6}\pm\sqrt{-6-i4\sqrt{6}})\)

【答】
方程 \((x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\) 的六个根为:
\( x_{1,2}=\frac{1}{2}(3\pm\sqrt{5})\)
\(x_{3,4}=\frac{1}{2}(-2-i\sqrt{6}\pm\sqrt{-6+i4\sqrt{6}})\)
\(x_{5,6}=\frac{1}{2}(-2+i\sqrt{6}\pm\sqrt{-6-i4\sqrt{6}})\)

Jack315 发表于 2025-1-3 10:49:39

提个问题:
第 2 题的方程 \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2-1}=x\) 在复数域内只有 1 个根 (5 / 4) 吗?
如果答案是肯定的,是否可以证明这个结论?
如果答案是否定的,如何找出其它的根?

Jack315 发表于 2025-1-11 12:18:34

【题 6】
解方程 \(x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}\)

【解】
设 \(x=\frac{1}{\sin{\theta}}\),则 \(\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{\cos{\theta}}\)。原方程转化为:
\(\frac{1}{\sin{\theta}}+\frac{1}{\cos{\theta}}=2\sqrt{2}\)
\(\frac{\sin{\theta}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{\theta}}{\sqrt{2}}=2\sin{\theta}\cos{\theta}\)
\(\sin(\theta+45\degree)=\sin{(2\theta)}\)
\(\theta=45\degree\to x=\sqrt{2}\)

【答】
方程的解为 \(x=\sqrt{2}\) 。

Jack315 发表于 2025-1-11 22:20:21

本帖最后由 Jack315 于 2025-1-12 06:09 编辑

【题 22】
解韦东奕的五次方程 \(x^5+10x^3+20x-4=0\)

【解】(抄袭网上答案)
作变量代换 \(x=y-2/y\),原方程成为:
\(y^5-32/y^5 -4=0\)
解此方程得:\(y^5=-4, 8\)
不难验证取 -4 还是 8,解的结果相同:
\(\begin{matrix}x=2^{3/5}e^{i 2k\pi/5}-2^{2/5}e^{-i 2k\pi/5}&k=0,1,2,3,4\end{matrix}\)

【答】
方程的五个根为:
\(\begin{align*}
x_1&=0.196208655737504\\
x_2&=0.0606318090663522+i2.6964587142798\\
x_3&=-0.158736136935104+i1.66650313468576\\
x_4&=-0.158736136935104-i1.66650313468576\\
x_5&=0.0606318090663522-i2.6964587142798\\
\end{align*}\)

ejsoon 发表于 2025-1-12 12:16:00

我的數學比較差,想請問
        $$y^3-y^2-2y+30=(y+3)(y^2-4y+10)$$
是如何推出來的?
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查看完整版本: 一组关于方程解法的数学难题