一组关于方程解法的数学难题

Jack315

【题 1】
解方程 \((6m+7)^2(3m+4)(m+1)=6\)

【解】
\((3m+4)(m+1)=3m^2+7m+4\)
\(=3[m^2+\frac{7}{3}m+(\frac{7}{6})^2]-3\times(\frac{7}{6})^2+4\)
\(=3(m+\frac{7}{6})^2-3\times(\frac{7}{6})^2+4\)
\(=\frac{1}{12}[(6m+7)^2-1]\)
\((6m+7)^2(3m+4)(m+1)=6\to(6m+7)^2[(6m+7)^2-1]=72\)
\(\to(6m+7)^2=9\to m_1=-\frac{2}{3},m_2=-\frac{5}{3}\)

\((3m+2)(3m+5)=9m^2+21m+10\)
设 \(f(m)=(6m+7)^2(3m+4)(m+1)-6=(9m^2+21m+10)(am^2+bm+c)\)
由 \(m^4\) 系数相等得：\(6^2\times3\times1=9a\to a=12\)
由 \(m^0\) 系数相等得：\(7^2\times4\times1-6=10c\to c=19\)

\(f(m)\) 的 \(m^2\) 系数为：\(9c+21b+10a=171+21b+120=291+21b\)
\((6m+7)^2(3m+4)(m+1)=(36m^2+84m+49)(3m^2+7m+4)\)
上式的 \(m^2\) 系数为：\(36\times4+84\times7+49\times3=879\)
由 \(m^2\) 系数相等得：
\(291+21b=879\to b=28\)

由 \(12m^2+28m+19=0\) 解得另外两个根为：
\(m_{3,4}=\frac{1}{24}(-28\pm\sqrt{28^2-4\times12\times19})=\frac{1}{6}(-7\pm\sqrt{7^2-3\times19}))=\frac{1}{6}(-7\pm2\sqrt{2}i)\)

【答】
方程 \((6m+7)^2(3m+4)(m+1)=6\) 的四个根为：
\(m_1=-\frac{2}{3}\)
\(m_2=-\frac{5}{3}\)
\(m_3=\frac{-7+2\sqrt{2}i}{6}\)
\(m_4=\frac{-7-2\sqrt{2}i}{6}\)

Jack315

【题 2】
解方程 \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2-1}=x\)

【解】
设 \(\sqrt{x+1}=a\)，\(\sqrt{x-1}=b\)，则
\(a^2+b^2=2x\to x=\frac{1}{2}(a^2+b^2)\)
\(a+b-ab=\frac{1}{2}(a^2+b^2)\to2(a+b)=(a+b)^2\to(a+b)(a+b-2)=0\)
\(\sqrt{x-1}\) 的定义域为 \(x\ge1\)，即 \(a+b>0\)，由此得：\(a+b=2\)
\(a+b=\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}=\sqrt{x^2-1}+x=2\)
\(x^2-1=x^2-4x+4\to x=\frac{5}{4}\)

【答】
方程 \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2-1}=x\) 的根为 \(x=\frac{5}{4}\)

nyy

Jack315 发表于 2025-1-1 12:34
【题 2】
解方程 \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2-1}=x\)

画出函数的图像，
然后用牛顿迭代法使劲迭代，
讲那么多技巧干什么？

Jack315

nyy 发表于 2025-1-1 13:03
画出函数的图像，
然后用牛顿迭代法使劲迭代，
讲那么多技巧干什么？

这个更简单：

1. Solve[Sqrt[x + 1] + Sqrt[x - 1] - Sqrt[x^2 - 1] - x == 0, x]

复制代码

直接给出答案 \(x=\frac{5}{4}\)

Jack315

【题 3】
设 \(f(x)=(2x^5+2x^4-53x^3-57x+54)^{2022}\)，求 \(f(\frac{\sqrt{111}-1}{2})\) 的值。

【解】
\(2x^5+2x^4-53x^3-57x+54\)
\(=2x^5+2x^4-55x^3+2x^3+2x^2-55x-2x^2-2x+55-1\)
\((2x^2+2x-55)(x^3+x-1)-1\)
方程 \((2x^2+2x-55)=0\) 的根为 \(x=\frac{-1\pm\sqrt{111}}{2}\)
由此得：
\(f(\frac{\sqrt{111}-1}{2})=(-1)^{2022}=1\)

【答】
\(f(\frac{\sqrt{111}-1}{2})\) 的值为 1 。

补充内容 (2025-1-12 13:42):
这个题是凑出来的：五次方程的函数值应该是 0 或 +-1，而 2*55 与 111 特别近，将 54 改成 55 后果然因式分解成功。

Jack315

【题 1（重做）】
解方程 \((6m+7)^2(3m+4)(m+1)=6\)

【解】
设 \(x=6m+7\)，则 \(m=\frac{1}{6}(x-7)\)，\(3m+4=\frac{1}{2}(x+1)\)，\(m+1=\frac{1}{6}(x-1)\) 。
\((6m+7)^2(3m+4)(m+1)=6\to x^2(x^2-1)=72\to x_{1,2}=\pm3,x_{3,4}=\pm2\sqrt{2}i\)
\(m_{1,2}=\frac{1}{6}(-7\pm3)=-\frac{2}{3},-\frac{5}{3}\)
\(m_{3,4}=\frac{1}{6}(-7\pm2\sqrt{2}i)\)

【答】
方程 \((6m+7)^2(3m+4)(m+1)=6\) 的四个根为：
\(m_1=-\frac{2}{3}\)
\(m_2=-\frac{5}{3}\)
\(m_3=\frac{-7+2\sqrt{2}i}{6}\)
\(m_4=\frac{-7-2\sqrt{2}i}{6}\)

Jack315

【题 4】
解方程 \((x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\)

【解】
\((x+1)(x^2+1)(x^3+1)-30x^3=x^6+x^5+x^4-28x^3+x^2+x+1\)
\((x^2+ax+1)(x^2+bx+1)(x^2+cx+1)=x^6+Ax^5+Bx^4+Cx^3+Bx^2+Ax+1\)
其中：
\(A=a+b+c=1\)
\(B=3+ab+bc+ca=1\)
\(C=2(a+b+c)+abc=-28\)
化简得下列一元三次方程：
\(y^3-y^2-2y+30=(y+3)(y^2-4y+10)=0\)
解得此方程的三个根为：
\(y_1=-3\)
\(y_2=2+i\sqrt{6}\)
\(y_2=2-i\sqrt{6}\)
据此求出方程的根：
\(x^2-3x+1=0\)
\( x_{1,2}=\frac{1}{2}(3\pm\sqrt{5})\)

\(x^2+(2+i\sqrt{6})x+1=0\)
\(x_{3,4}=\frac{1}{2}(-2-i\sqrt{6}\pm\sqrt{-6+i4\sqrt{6}})\)

\(x^2+(2-i\sqrt{6})x+1=0\)
\(x_{5,6}=\frac{1}{2}(-2+i\sqrt{6}\pm\sqrt{-6-i4\sqrt{6}})\)

【答】
方程 \((x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\) 的六个根为：
\( x_{1,2}=\frac{1}{2}(3\pm\sqrt{5})\)
\(x_{3,4}=\frac{1}{2}(-2-i\sqrt{6}\pm\sqrt{-6+i4\sqrt{6}})\)
\(x_{5,6}=\frac{1}{2}(-2+i\sqrt{6}\pm\sqrt{-6-i4\sqrt{6}})\)

Jack315

提个问题：
第 2 题的方程 \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x^2-1}=x\) 在复数域内只有 1 个根 (5 / 4) 吗？
如果答案是肯定的，是否可以证明这个结论？
如果答案是否定的，如何找出其它的根？

Jack315

【题 6】
解方程 \(x+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=2\sqrt{2}\)

【解】
设 \(x=\frac{1}{\sin{\theta}}\)，则 \(\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{1}{\cos{\theta}}\)。原方程转化为：
\(\frac{1}{\sin{\theta}}+\frac{1}{\cos{\theta}}=2\sqrt{2}\)
\(\frac{\sin{\theta}}{\sqrt{2}}+\frac{\cos{\theta}}{\sqrt{2}}=2\sin{\theta}\cos{\theta}\)
\(\sin(\theta+45\degree)=\sin{(2\theta)}\)
\(\theta=45\degree\to x=\sqrt{2}\)

【答】
方程的解为 \(x=\sqrt{2}\) 。

Jack315

【题 22】
解韦东奕的五次方程 \(x^5+10x^3+20x-4=0\)

【解】（抄袭网上答案）
作变量代换 \(x=y-2/y\)，原方程成为：
\(y^5-32/y^5 -4=0\)
解此方程得：\(y^5=-4, 8\)
不难验证取 -4 还是 8，解的结果相同：
\(\begin{matrix}x=2^{3/5}e^{i 2k\pi/5}-2^{2/5}e^{-i 2k\pi/5}&k=0,1,2,3,4\end{matrix}\)

【答】
方程的五个根为：
\(\begin{align*}
x_1&=0.196208655737504\\
x_2&=0.0606318090663522+i2.6964587142798\\
x_3&=-0.158736136935104+i1.66650313468576\\
x_4&=-0.158736136935104-i1.66650313468576\\
x_5&=0.0606318090663522-i2.6964587142798\\
\end{align*}\)