一组关于方程解法的数学难题

Jack315

ejsoon 发表于 2025-1-12 12:16
我的數學比較差，想請問
        $$y^3-y^2-2y+30=(y+3)(y^2-4y+10)$$
是如何推出來的？

一个整数系数方程 \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) 如果有有理根，则这个根为 \(p/q\) 。
其中：\(p\) 为 \(d\) 的质因子；\(q\) 为 \(a\) 的质因子。

所以方程 \(f(y)=y^3-y^2-2y+30\) 可能的整数（有理）根为 \(\pm1,\pm2,\pm3,\pm5\) 。
计算 \(f(y)\) 的函数值可知 \(f(-3)=0\)（其它函数值均不为零），
因此\(f(y)\)有因子 \(y+3\)。接下来的事就容易了。

如果试验没找到整数（有理）根，或许该试试用公式来解这个三次方程。

（特殊形式的）一元六次方程转换成一元三次方程来解应该是一种思路。
这个题（题 4）做下来，感觉特别生硬。或许有更简洁的思路。

俺在思考的问题是类似将 \(x^6+x^5+x^4-28x^3+x^2+x+1\) 转化成
\((x^2+ax+1)(x^2+bx+1)(x^2+cx+1)\) 这样的形式是否有比较系统的方法？
还是更多地要依赖技巧？

高于 4 次的一元高次方程没有公式解，但一元五次方程貌似有一套系统的解法。
不知道更高次数的是否也有。

借助软件可以知道第 5 题是 9 次方程、第 17 题是 4 次方程，估计比较依赖技巧。
另外第 12 题也没找到简洁的方法……不是专业人士，就是玩玩，或许该就此打住了

Jack315

解方程 \((x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\)

【解】将 \(30x^3\) 分解为 \((2x)\times(3x)\times(5x)\)
猜一个：原方程等式左右的中间项相等，即 \(x^2+1=3x\)。
解此方程得 \(x_{1,2}=\frac{1}{2}(3\pm\sqrt{5})\) 。
验证上述解也能满足方程：\((x+1)(x^3+1)=10x^2\) 。
计算得到两边的值均为 \(5(7\pm3\sqrt{5})\) ，猜测成功。
即多项式： \((x+1)(x^2+1)(x^3+1)-30x^3\) 含有因子 \(x^2-3x+1\) 。

剩下部分的因子构成的方程为：\(x^4+4x^3+12x^2+4x+1=0\)
比较多项式系数：
\((x^2+ax+1)(x^2+bx+1)=x^4+(a+b)x^3+(ab+2)x^2+(a+b)x+1\)
得到：\(a+b=4, ab=10\) ，即 \(a,b\) 是方程 \(x^2-4x+10=0\) 的根。
解得 \(a,b=2\pm i\sqrt{6}\)

下略……（参考 26#）
这下算玩出点花了

【答】
方程  \((x+1)(x^2+1)(x^3+1)=30x^3\) 的六个根为：
\(x_{1,2}=\frac{1}{2}(3\pm\sqrt{5})\)
\(x_{3,4}=\frac{1}{2}(-2-i\sqrt{6}\pm\sqrt{-6+i4\sqrt{6}})\)
\(x_{5,6}=\frac{1}{2}(-2+i\sqrt{6}\pm\sqrt{-6-i4\sqrt{6}})\)

hujunhua

解：令 $x=t^2$, 原方程化为
$(t+1/t)(t^2+1/t^2)(t^3+1/t^3)=30$
再令$y=t+1/t$, 得
$y(y^2-2)(y^3-3y)=30$,即
$y^2(y^2-2)(y^2-3)-30=0$
观察到一个显然解 $y^2=5$，除去因子$y^2-5$，还剩下$y^4+6=0$.