一组关于方程解法的数学难题

wayne

hujunhua 发表于 2024-11-16 12:34

第17题， 设三角形内部存在一点，到三个顶点的距离分别是$a,b,c$,且三条线的夹角都是120度。也就是费马点，
那么该三角形的三条边就是$11,13,20$,于是三角形的面积的计算有两种方式，一种是海伦公式，一种是三个小三角形面积之和。所以$ab+bc+ac = \frac{4S_\Delta}{\sqrt{3}} = 88\sqrt{3}$

据此启发，可以猜测存在一个代数恒等式。

1. Solve[{a^2+a b+b^2==x^2,b^2+c b+c^2==y^2,c^2+a c+a^2==z^2},{a,b,c}]

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借助软件，得到： 如果$a^2+a b+b^2=x^2,b^2+c b+c^2=y^2,c^2+a c+a^2=z^2$,那么， $3(a b+b c+c a)^2= 2(x^2y^2+x^2z^2+y^2z^2 ) -  (x^4+y^4+z^4 ) = (-x+y+z) (x + y - z) (x - y + z) (x + y + z)$
.
.于是发现，几何法漏解了，最终答案应该是 $a b+b c+c a = \pm 88\sqrt{3}$
.

wayne

第16题，方程$x^3+3x^2-24x+1=0$有三个实根，开三次方，仍然是三个实根,另外会产生六个增根，复数开立方仍然是复数，所以就是$x^9 + 3 x^6 - 24 x^3 + 1=0$的三个实根。
而$x^9 + 3 x^6 - 24 x^3 + 1 = (1 - 3 x + x^3) (1 + 3 x + 9 x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + x^6) $. 所以$1 + 3 x + 9 x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + x^6=0$ 没有实根。
所以 三根的三次方之和就是$1 - 3 x + x^3=0$的二次项的系数，即0

wayne

第15题，hujunhua贡献的思路，抄袭如下：$H(x) = P(x)-x = (x-1)(x-3)g(x)$,右侧要恒大于等于0，那么，对于 $g(x) =ax^2+bx+c$，存在$a>0, g(2)=-2$, 且$g(x)$有两个根分别是$1,3$,
所以$P(x)=x+2(x-1)^2(x-3)^2, P(4)=22$

wayne

第14题： 设$x=t^3$,代入得$(t^2 - 1)^2 == 1 + t^3$, 因式分解，得到$(-2 + t) t^2 (1 + t)=0$, 然后去掉增根，得到唯一解$x=8$

wayne

第13题：$x^4+4x-1 = (x^2+1)^2-(2x^2+4x+2) = (x^2+1)^2-2(x+1)^2 $ , 所以，分别解方程$x^2+1= \pm \sqrt{2}(x+1)$

hujunhua

wayne 发表于 2024-11-22 14:47
18题不太理解，是不是少了条件。假设$xyz=s$,那么，$x,y,z$是方程$t^3 +(2-s)t^2+12t-s=0$的三个根。
画 ...

第18题，可能是要求整数解。因为我们可以得到等价条件

$(x-i)(y-i)(z-i)=2-11i=(2-i)^3$

可能出题人玩的就是高斯整数分解。

hujunhua

第10题，设`a^5+a+1=0`, `a`是 实数，求`a^3-a^2`的值。

显然，3次单位根是方程的根，所以左边有因子 `a^2+a+1`，长除得商`a^3-a^2+1`, 故`a^3-a^2=-1`.

hujunhua

第9题   因式分解 `n^5+n^4+1`.

同上，3次单位根显然是多项式的根，故有因子`n^2+n+1`, 长除得商`n^3-n+1`, 从而得分解式`(n^2+n+1)(n^3-n+1)`

hujunhua

第8题  已知 $a-1/a=1$, 求$a^8+7/a^4$的值。

解：$a-1/a=1→a^2=a+1, (a+1)^2=3a+2, (a-1)^2=2-a$
$a^8+7/a^4=(a+1)^4+7(a-1)^4=(3a+2)^2+7(2-a)^2=16a^2-16a+32=48$