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[转载] 一组关于方程解法的数学难题

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发表于 2024-11-16 11:46:36 | 显示全部楼层 |阅读模式

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一组关于方程解法的数学难题

本期的数学难题研究题目,由冯贝叶老师收集提供,首次分享到数学研究微信群,有数论题目,也有代数题目,大致都属于方程求解类,一些出自数学竞赛,一些可能出自专业的数学书籍,范围广,难度级别跨度大,喜欢数学的朋友可以一试身手,也可以申请加入数学研究分享群,共同探讨。

1.(俄罗斯数学竞赛题)解方程      $(6m+7)^2(3m+4)(m+1)=6$
         mathe观察到2个根m=-2/3, -5/3,解决剩下的根
2. 解方程    $sqrt(x+1)+sqrt(x-1)-sqrt(x^2-1)=x$
3-7.PNG
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-11-16 12:34:17 | 显示全部楼层
11-18.PNG
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-11-16 12:34:43 | 显示全部楼层
19-22.PNG
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-11-16 13:37:14 | 显示全部楼层
1. 解方程$(6m+7)^2(3m+4)(m+1)=6$
有了mathe观察到的两个解,剩下的是个二次方程,容易解得。
wayne指出-2/3, -5/3提示我们可以在方程两边乘以12,然后设x=6m+7,
方程可以化为        $x^2(x^2-1)=72$
所以x^2=9或者-8,
前者对应m=-2/3, -5/3, 后者对应两个虚根。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-11-16 16:26:51 | 显示全部楼层
第三题中37需要改为57。

点评

对头!  发表于 2024-11-16 21:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-11-17 06:09:13 | 显示全部楼层
第20题:

注意到$cos3x = 4cos^3x - 3cosx$
瞪眼法可知方程$8 x^3 - 6 x + 1=0$的解为:
$\{\cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right),\cos \left(\frac{4 \pi }{9}\right),\cos \left(\frac{8 \pi }{9}\right)\}$
方程$8 x^3 - 6 x - 1=0$的解为:
$\{-\cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right),-\cos \left(\frac{4 \pi }{9}\right),-\cos \left(\frac{8 \pi }{9}\right)\}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-11-17 06:31:36 | 显示全部楼层
第11题:$x=(x^2-2)^2-2\rightarrow (x^2-2)^2+(x^2-2)-x(x+1)=0 \rightarrow (x+1)(x-2)(x^2+x-1)=0$
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发表于 2024-11-17 22:09:32 | 显示全部楼层
19题: $f(x)-\frac{20}{3}x =(x-3)(x-6)(x-9)(x-d/(3·6·9))$

f(0)=d
f(12)-80=9·6·3·12-d
f(0)+f(12)=80+9·6·3·12=2024
呵原来是个年份题。

如果f(3), f(6), f(9)不呈线性,就将20x/3改成一个插值2次3项式。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-11-22 14:47:21 | 显示全部楼层


18题不太理解,是不是少了条件。假设$xyz=s$,那么,$x,y,z$是方程$t^3 +(2-s)t^2+12t-s=0$的三个根。
画个图看看,发现$x,y,z$所在的曲线还是蛮有趣的,
  1. Plot[Evaluate@SolveValues[-s+12 t+2 t^2-s t^2+t^3==0,t],{s,-10,10},PlotStyle->{Red,Green,Blue}]
复制代码

Screenshot 2024-11-22 at 15.02.06.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2024-11-22 15:16:20 | 显示全部楼层
如果x,y,z不相同,
@wayne,你这个等价于\(s=\frac{t^3+2t^2+12t}{t^2+1}\)对于给定的s有三个不同的t的取值。
3.png
由此可以得到x=y=z时对应s=8, x=y=z=2.
但是比如可以选择s=-5,那么x,y,z为-4.651093408937175306253240338 , -1.726109445035782405468510155, -0.6227971460270422882782495069
当然如果题目补上x,y,z为正数,解就唯一了

点评

如果要求三个数都不相等,那么$-3<s<-1$  发表于 2024-11-22 15:58
是的。不过如果都是正数,那这个题目就比较无聊了  发表于 2024-11-22 15:56
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