一组关于方程解法的数学难题

hujunhua

一组关于方程解法的数学难题

本期的数学难题研究题目，由冯贝叶老师收集提供，首次分享到数学研究微信群，有数论题目，也有代数题目，大致都属于方程求解类，一些出自数学竞赛，一些可能出自专业的数学书籍，范围广，难度级别跨度大，喜欢数学的朋友可以一试身手，也可以申请加入数学研究分享群，共同探讨。

1.(俄罗斯数学竞赛题)解方程      $(6m+7)^2(3m+4)(m+1)=6$
         mathe观察到2个根m=-2/3, -5/3，解决剩下的根
2. 解方程    $sqrt(x+1)+sqrt(x-1)-sqrt(x^2-1)=x$

hujunhua

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1. 解方程$(6m+7)^2(3m+4)(m+1)=6$
有了mathe观察到的两个解，剩下的是个二次方程，容易解得。
wayne指出-2/3, -5/3提示我们可以在方程两边乘以12，然后设x=6m+7,
方程可以化为        $x^2(x^2-1)=72$
所以x^2=9或者-8，
前者对应m=-2/3, -5/3, 后者对应两个虚根。

mathe

第三题中37需要改为57。

northwolves

第20题：

注意到$cos3x = 4cos^3x - 3cosx$
瞪眼法可知方程$8 x^3 - 6 x + 1=0$的解为：
$\{\cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right),\cos \left(\frac{4 \pi }{9}\right),\cos \left(\frac{8 \pi }{9}\right)\}$
方程$8 x^3 - 6 x - 1=0$的解为：
$\{-\cos \left(\frac{2 \pi }{9}\right),-\cos \left(\frac{4 \pi }{9}\right),-\cos \left(\frac{8 \pi }{9}\right)\}$

northwolves

第11题：$x=(x^2-2)^2-2\rightarrow (x^2-2)^2+(x^2-2)-x(x+1)=0 \rightarrow (x+1)(x-2)(x^2+x-1)=0$

wayne

19题： $f(x)-\frac{20}{3}x =(x-3)(x-6)(x-9)(x-d/(3·6·9))$

f(0)=d
f(12)-80=9·6·3·12-d
f(0)+f(12)=80+9·6·3·12=2024
呵原来是个年份题。

如果f(3), f(6), f(9)不呈线性，就将20x/3改成一个插值2次3项式。

wayne

hujunhua 发表于 2024-11-16 12:34

18题不太理解，是不是少了条件。假设$xyz=s$,那么，$x,y,z$是方程$t^3 +(2-s)t^2+12t-s=0$的三个根。
画个图看看，发现$x,y,z$所在的曲线还是蛮有趣的，

1. Plot[Evaluate@SolveValues[-s+12 t+2 t^2-s t^2+t^3==0,t],{s,-10,10},PlotStyle->{Red,Green,Blue}]

复制代码

mathe

如果x,y,z不相同，
@wayne,你这个等价于\(s=\frac{t^3+2t^2+12t}{t^2+1}\)对于给定的s有三个不同的t的取值。

由此可以得到x=y=z时对应s=8, x=y=z=2.
但是比如可以选择s=-5,那么x,y,z为-4.651093408937175306253240338 , -1.726109445035782405468510155, -0.6227971460270422882782495069
当然如果题目补上x,y,z为正数，解就唯一了