一个正方体，12条棱上有12个=R的电阻，求一条棱两个断点间的电阻

nyy 发表于 2024-11-25 08:22:44

本帖最后由 nyy 于 2024-11-25 08:26 编辑

一个正方体，12条棱上有12个=R的电阻，求一条棱两个断点间的电阻

假设棱的电阻=0.

还有正多面体有五种，其余的呢

nyy 发表于 2024-11-25 08:32:50

除了基尔霍夫方程组，还有别的办法吗？

mathe 发表于 2024-11-25 08:38:19

如图根据对称性，我们吧两个等电压的点用导线连接，结果是等价的，于是就变成简单串并联了，就非常简单了

nyy 发表于 2024-11-25 08:57:57

mathe 发表于 2024-11-25 08:38
如图根据对称性，我们吧两个等电压的点用导线连接，结果是等价的，于是就变成简单串并联了，就非常简单了 ...

我经过不断变换，得到的结果是(7/12)*R 不知道标准答案是多少

nyy 发表于 2024-11-25 09:30:21

mathe 发表于 2024-11-25 08:38
如图根据对称性，我们吧两个等电压的点用导线连接，结果是等价的，于是就变成简单串并联了，就非常简单了 ...

再来正12面体的电阻

nyy 发表于 2024-11-25 12:37:19

nyy 发表于 2024-11-25 09:30
再来正12面体的电阻

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA3NjMwNjExMw==&mid=2650219872&idx=1&sn=d49377d9345ca856e90b4b36b5985c6e&chksm=8760c6ceb0174fd896b5ceb29e62f1a77d4829d865e3db4962674caccc5785bc228e17c3c4ef&scene=27

神奇的数学折纸（2）：正十二面体着色，从头再来(常文武)
前文《神奇的数学折纸：正十二面体，从制作到理解(常文武) 》谈及正十二面体的制作和四种着色方案。现在进一步研究着色方案的完备性。我们将证明这些着色方案已经无一遗漏了。

图1正十二面体的平面图

根据这个平面图，然后不断星三角变换，应该能得到结果

nyy 发表于 2024-11-26 13:03:50

nyy 发表于 2024-11-25 08:32
除了基尔霍夫方程组，还有别的办法吗？

Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
ans=Solve[{
(*对于任何一个节点,流入的电流=留出的电流*)
i==i1+i2+i3==i1+i10+i12,
i3==i4+i5,
i2==i7+i8,
i5+i7==i6,
i6+i9==i11,
i8==i9+i10,
i4+i11==i12,
(*任何一个回路的电压升的代数和等于零*)
U==i1*R,
(-i4+i11+i6+i5)*R==0,
(-i3-i5+i7+i2)*R==0,
(-i6+i9+i8-i7)*R==0,
(-i11-i12+i10-i9)*R==0,
(-i2-i8-i10+i1)*R==0
},{i,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12}]
Grid(*列表显示*)

\[\begin{array}{l}
i\to \frac{12 U}{7 R} \\
\text{i1}\to \frac{U}{R} \\
\text{i2}\to \frac{5 U}{14 R} \\
\text{i3}\to \frac{5 U}{14 R} \\
\text{i4}\to \frac{2 U}{7 R} \\
\text{i5}\to \frac{U}{14 R} \\
\text{i6}\to \frac{U}{7 R} \\
\text{i7}\to \frac{U}{14 R} \\
\text{i8}\to \frac{2 U}{7 R} \\
\text{i9}\to -\frac{U}{14 R} \\
\text{i10}\to \frac{5 U}{14 R} \\
\text{i11}\to \frac{U}{14 R} \\
\text{i12}\to \frac{5 U}{14 R} \\
\end{array}\]

nyy 发表于 2024-11-26 13:10:55

本帖最后由 nyy 于 2024-11-26 13:15 编辑

nyy 发表于 2024-11-26 13:03
\[\begin{array}{l}
i\to \frac{12 U}{7 R} \\
\text{i1}\to \frac{U}{R} \\

Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
ans=Solve[{
(*对于任何一个节点,流入的电流=留出的电流*)
i==i1+i2+i3==i1+i10+i12,
i3==i4+i5,
i2==i7+i8,
i5+i7==i6,
i6+i9==i11,
i8==i9+i10,
i4+i11==i12,
(*任何一个回路的电压升的代数和等于零*)
U==i1*R,
(-i4+i11+i6+i5)*R==0,
(-i3-i5+i7+i2)*R==0,
(-i6+i9+i8-i7)*R==0,
(-i11-i12+i10-i9)*R==0,
(-i2-i8-i10+i1)*R==0
},{i,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12}]
Grid(*列表显示*)
aa=14*{i,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12}/(U/R)/.ans[]
bb=Transpose@{{i,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12},aa}
Grid(*列表显示*)

计算一下，得到电流的比值
\[\begin{array}{ll}
i & 24 \\
\text{i1} & 14 \\
\text{i2} & 5 \\
\text{i3} & 5 \\
\text{i4} & 4 \\
\text{i5} & 1 \\
\text{i6} & 2 \\
\text{i7} & 1 \\
\text{i8} & 4 \\
\text{i9} & -1 \\
\text{i10} & 5 \\
\text{i11} & 1 \\
\text{i12} & 5 \\
\end{array}\]

cc=Sort]]>Abs[#2[]]&]
Grid(*列表显示*)

电流的比值，按照绝对值大小排序
\[\begin{array}{ll}
i & 24 \\
\text{i1} & 14 \\
\text{i12} & 5 \\
\text{i10} & 5 \\
\text{i3} & 5 \\
\text{i2} & 5 \\
\text{i8} & 4 \\
\text{i4} & 4 \\
\text{i6} & 2 \\
\text{i11} & 1 \\
\text{i9} & -1 \\
\text{i7} & 1 \\
\text{i5} & 1 \\
\end{array}\]

nyy 发表于 2024-11-26 13:28:27

nyy 发表于 2024-11-25 09:30
再来正12面体的电阻

Effective resistance across 2 adjacent vertices of a dodecahedron with each edger

https://physics.stackexchange.com/questions/229525/effective-resistance-across-2-adjacent-vertices-of-a-dodecahedron-with-each-edge

根据这边的答案，似乎是19R/30

nyy 发表于 2024-11-26 13:31:54

本帖最后由 nyy 于 2024-11-26 13:37 编辑

The Schlegel diagram of the dodecahedron.
12面体的平面压缩图来了

https://www.researchgate.net/figure/The-Schlegel-diagram-of-the-dodecahedron_fig3_228584614

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一个正方体，12条棱上有12个=R的电阻，求一条棱两个断点间的电阻