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[提问] 一个正方体,12条棱上有12个=R的电阻,求一条棱两个断点间的电阻

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发表于 2024-11-25 08:22:44 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 nyy 于 2024-11-25 08:26 编辑

一个正方体,12条棱上有12个=R的电阻,求一条棱两个断点间的电阻

假设棱的电阻=0.


还有正多面体有五种,其余的呢

QQ截图20241125082603.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-11-25 08:32:50 | 显示全部楼层
除了基尔霍夫方程组,还有别的办法吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2024-11-25 08:38:19 | 显示全部楼层
3.png
如图根据对称性,我们吧两个等电压的点用导线连接,结果是等价的,于是就变成简单串并联了,就非常简单了

点评

nyy
为什么你比我聪明很多?我用星网变换,费了很长时间,算出来的结果是7/12R,你这对称处理,居然结果也是7/12R  发表于 2024-11-25 09:03
nyy
你真聪明!  发表于 2024-11-25 09:00
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2024-11-25 08:57:57 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2024-11-25 08:38
如图根据对称性,我们吧两个等电压的点用导线连接,结果是等价的,于是就变成简单串并联了,就非常简单了 ...

我经过不断变换,得到的结果是(7/12)*R 不知道标准答案是多少

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nyy
用的是星三角变换与星网变换  发表于 2024-11-25 12:18
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2024-11-25 09:30:21 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2024-11-25 08:38
如图根据对称性,我们吧两个等电压的点用导线连接,结果是等价的,于是就变成简单串并联了,就非常简单了 ...

再来正12面体的电阻
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2024-11-25 12:37:19 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-11-25 09:30
再来正12面体的电阻

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz ... c3c4ef&scene=27

神奇的数学折纸(2):正十二面体着色,从头再来(常文武)
前文《神奇的数学折纸:正十二面体,从制作到理解(常文武) 》谈及正十二面体的制作和四种着色方案。现在进一步研究着色方案的完备性。我们将证明这些着色方案已经无一遗漏了。

图1正十二面体的平面图

根据这个平面图,然后不断星三角变换,应该能得到结果


QQ截图20241125123544.png

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nyy
这个压缩成的平面图,最外面的五边形十条棱了  发表于 2024-11-26 13:22
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2024-11-26 13:03:50 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-11-25 08:32
除了基尔霍夫方程组,还有别的办法吗?
  1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
  2. ans=Solve[{
  3.     (*对于任何一个节点,流入的电流=留出的电流*)
  4.     i==i1+i2+i3==i1+i10+i12,
  5.     i3==i4+i5,
  6.     i2==i7+i8,
  7.     i5+i7==i6,
  8.     i6+i9==i11,
  9.     i8==i9+i10,
  10.     i4+i11==i12,
  11.     (*任何一个回路的电压升的代数和等于零*)
  12.     U==i1*R,
  13.     (-i4+i11+i6+i5)*R==0,
  14.     (-i3-i5+i7+i2)*R==0,
  15.     (-i6+i9+i8-i7)*R==0,
  16.     (-i11-i12+i10-i9)*R==0,
  17.     (-i2-i8-i10+i1)*R==0
  18. },{i,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12}]
  19. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
复制代码


\[\begin{array}{l}
i\to \frac{12 U}{7 R} \\
\text{i1}\to \frac{U}{R} \\
\text{i2}\to \frac{5 U}{14 R} \\
\text{i3}\to \frac{5 U}{14 R} \\
\text{i4}\to \frac{2 U}{7 R} \\
\text{i5}\to \frac{U}{14 R} \\
\text{i6}\to \frac{U}{7 R} \\
\text{i7}\to \frac{U}{14 R} \\
\text{i8}\to \frac{2 U}{7 R} \\
\text{i9}\to -\frac{U}{14 R} \\
\text{i10}\to \frac{5 U}{14 R} \\
\text{i11}\to \frac{U}{14 R} \\
\text{i12}\to \frac{5 U}{14 R} \\
\end{array}\]


QQ截图20241126125401_resized.png

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nyy
没有什么是方程组搞不动的!  发表于 2024-11-26 13:17
nyy
由结果的第一行知道:等效电阻=7R/12  发表于 2024-11-26 13:04
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 楼主| 发表于 2024-11-26 13:10:55 | 显示全部楼层
本帖最后由 nyy 于 2024-11-26 13:15 编辑
nyy 发表于 2024-11-26 13:03
\[\begin{array}{l}
i\to \frac{12 U}{7 R} \\
\text{i1}\to \frac{U}{R} \\

  1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
  2. ans=Solve[{
  3.     (*对于任何一个节点,流入的电流=留出的电流*)
  4.     i==i1+i2+i3==i1+i10+i12,
  5.     i3==i4+i5,
  6.     i2==i7+i8,
  7.     i5+i7==i6,
  8.     i6+i9==i11,
  9.     i8==i9+i10,
  10.     i4+i11==i12,
  11.     (*任何一个回路的电压升的代数和等于零*)
  12.     U==i1*R,
  13.     (-i4+i11+i6+i5)*R==0,
  14.     (-i3-i5+i7+i2)*R==0,
  15.     (-i6+i9+i8-i7)*R==0,
  16.     (-i11-i12+i10-i9)*R==0,
  17.     (-i2-i8-i10+i1)*R==0
  18. },{i,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12}]
  19. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
  20. aa=14*{i,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12}/(U/R)/.ans[[1]]
  21. bb=Transpose@{{i,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12},aa}
  22. Grid[bb,Alignment->Left](*列表显示*)
复制代码


计算一下,得到电流的比值
\[\begin{array}{ll}
i & 24 \\
\text{i1} & 14 \\
\text{i2} & 5 \\
\text{i3} & 5 \\
\text{i4} & 4 \\
\text{i5} & 1 \\
\text{i6} & 2 \\
\text{i7} & 1 \\
\text{i8} & 4 \\
\text{i9} & -1 \\
\text{i10} & 5 \\
\text{i11} & 1 \\
\text{i12} & 5 \\
\end{array}\]

  1. cc=Sort[bb,Abs[#1[[2]]]>Abs[#2[[2]]]&]
  2. Grid[cc,Alignment->Left](*列表显示*)
复制代码

电流的比值,按照绝对值大小排序
\[\begin{array}{ll}
i & 24 \\
\text{i1} & 14 \\
\text{i12} & 5 \\
\text{i10} & 5 \\
\text{i3} & 5 \\
\text{i2} & 5 \\
\text{i8} & 4 \\
\text{i4} & 4 \\
\text{i6} & 2 \\
\text{i11} & 1 \\
\text{i9} & -1 \\
\text{i7} & 1 \\
\text{i5} & 1 \\
\end{array}\]
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 楼主| 发表于 2024-11-26 13:28:27 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2024-11-25 09:30
再来正12面体的电阻

Effective resistance across 2 adjacent vertices of a dodecahedron with each edge  r

https://physics.stackexchange.co ... dron-with-each-edge

根据这边的答案,似乎是19R/30

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nyy
这个解答很牛逼,短短十几行就解决了结果,我理解不了!  发表于 2024-11-26 13:30
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 楼主| 发表于 2024-11-26 13:31:54 | 显示全部楼层
本帖最后由 nyy 于 2024-11-26 13:37 编辑

The Schlegel diagram of the dodecahedron.
12面体的平面压缩图来了

https://www.researchgate.net/fig ... dron_fig3_228584614
QQ截图20241126133115.png

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nyy
有了这个平面图,加上基尔霍夫方程组,就可以计算等效电阻了  发表于 2024-11-26 13:38
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