一个正方体，12条棱上有12个=R的电阻，求一条棱两个断点间的电阻

nyy

一个正方体，12条棱上有12个=R的电阻，求一条棱两个断点间的电阻

假设棱的电阻=0.


还有正多面体有五种，其余的呢

nyy

除了基尔霍夫方程组，还有别的办法吗？

mathe

如图根据对称性，我们吧两个等电压的点用导线连接，结果是等价的，于是就变成简单串并联了，就非常简单了

nyy

mathe 发表于 2024-11-25 08:38
如图根据对称性，我们吧两个等电压的点用导线连接，结果是等价的，于是就变成简单串并联了，就非常简单了 ...

我经过不断变换，得到的结果是(7/12)*R 不知道标准答案是多少

nyy

mathe 发表于 2024-11-25 08:38
如图根据对称性，我们吧两个等电压的点用导线连接，结果是等价的，于是就变成简单串并联了，就非常简单了 ...

再来正12面体的电阻

nyy

nyy 发表于 2024-11-25 09:30
再来正12面体的电阻

https://mp.weixin.qq.com/s?__biz ... c3c4ef&scene=27

神奇的数学折纸（2）：正十二面体着色，从头再来(常文武)
前文《神奇的数学折纸：正十二面体，从制作到理解(常文武) 》谈及正十二面体的制作和四种着色方案。现在进一步研究着色方案的完备性。我们将证明这些着色方案已经无一遗漏了。

图1正十二面体的平面图

根据这个平面图，然后不断星三角变换，应该能得到结果

nyy

nyy 发表于 2024-11-25 08:32
除了基尔霍夫方程组，还有别的办法吗？

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. ans=Solve[{
   
3.     (*对于任何一个节点,流入的电流=留出的电流*)
   
4.     i==i1+i2+i3==i1+i10+i12,
   
5.     i3==i4+i5,
   
6.     i2==i7+i8,
   
7.     i5+i7==i6,
   
8.     i6+i9==i11,
   
9.     i8==i9+i10,
   
10.     i4+i11==i12,
    
11.     (*任何一个回路的电压升的代数和等于零*)
    
12.     U==i1*R,
    
13.     (-i4+i11+i6+i5)*R==0,
    
14.     (-i3-i5+i7+i2)*R==0,
    
15.     (-i6+i9+i8-i7)*R==0,
    
16.     (-i11-i12+i10-i9)*R==0,
    
17.     (-i2-i8-i10+i1)*R==0
    
18. },{i,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12}]
    
19. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

\[\begin{array}{l}
i\to \frac{12 U}{7 R} \\
\text{i1}\to \frac{U}{R} \\
\text{i2}\to \frac{5 U}{14 R} \\
\text{i3}\to \frac{5 U}{14 R} \\
\text{i4}\to \frac{2 U}{7 R} \\
\text{i5}\to \frac{U}{14 R} \\
\text{i6}\to \frac{U}{7 R} \\
\text{i7}\to \frac{U}{14 R} \\
\text{i8}\to \frac{2 U}{7 R} \\
\text{i9}\to -\frac{U}{14 R} \\
\text{i10}\to \frac{5 U}{14 R} \\
\text{i11}\to \frac{U}{14 R} \\
\text{i12}\to \frac{5 U}{14 R} \\
\end{array}\]

nyy

nyy 发表于 2024-11-26 13:03
\[\begin{array}{l}
i\to \frac{12 U}{7 R} \\
\text{i1}\to \frac{U}{R} \\

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. ans=Solve[{
   
3.     (*对于任何一个节点,流入的电流=留出的电流*)
   
4.     i==i1+i2+i3==i1+i10+i12,
   
5.     i3==i4+i5,
   
6.     i2==i7+i8,
   
7.     i5+i7==i6,
   
8.     i6+i9==i11,
   
9.     i8==i9+i10,
   
10.     i4+i11==i12,
    
11.     (*任何一个回路的电压升的代数和等于零*)
    
12.     U==i1*R,
    
13.     (-i4+i11+i6+i5)*R==0,
    
14.     (-i3-i5+i7+i2)*R==0,
    
15.     (-i6+i9+i8-i7)*R==0,
    
16.     (-i11-i12+i10-i9)*R==0,
    
17.     (-i2-i8-i10+i1)*R==0
    
18. },{i,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12}]
    
19. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
20. aa=14*{i,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12}/(U/R)/.ans[[1]]
    
21. bb=Transpose@{{i,i1,i2,i3,i4,i5,i6,i7,i8,i9,i10,i11,i12},aa}
    
22. Grid[bb,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

计算一下，得到电流的比值
\[\begin{array}{ll}
i & 24 \\
\text{i1} & 14 \\
\text{i2} & 5 \\
\text{i3} & 5 \\
\text{i4} & 4 \\
\text{i5} & 1 \\
\text{i6} & 2 \\
\text{i7} & 1 \\
\text{i8} & 4 \\
\text{i9} & -1 \\
\text{i10} & 5 \\
\text{i11} & 1 \\
\text{i12} & 5 \\
\end{array}\]

1. cc=Sort[bb,Abs[#1[[2]]]>Abs[#2[[2]]]&]
   
2. Grid[cc,Alignment->Left](*列表显示*)
   

复制代码

电流的比值，按照绝对值大小排序
\[\begin{array}{ll}
i & 24 \\
\text{i1} & 14 \\
\text{i12} & 5 \\
\text{i10} & 5 \\
\text{i3} & 5 \\
\text{i2} & 5 \\
\text{i8} & 4 \\
\text{i4} & 4 \\
\text{i6} & 2 \\
\text{i11} & 1 \\
\text{i9} & -1 \\
\text{i7} & 1 \\
\text{i5} & 1 \\
\end{array}\]

nyy

nyy 发表于 2024-11-25 09:30
再来正12面体的电阻

Effective resistance across 2 adjacent vertices of a dodecahedron with each edge  r

https://physics.stackexchange.co ... dron-with-each-edge

根据这边的答案，似乎是19R/30

nyy

The Schlegel diagram of the dodecahedron.
12面体的平面压缩图来了

https://www.researchgate.net/fig ... dron_fig3_228584614