三角形的等腰全等点
等腰三角形的底边叫做其顶角的一条等腰线（isoscelizer）。如图，过△ABC 内一点 X 的分别作三内角的等腰线，易知∠1+∠2+∠3=π，故 3 个黄色三角形是相似的。
试证明：存在一个位置，使得 3 个黄色三角形恰好全等。这个位置就称为三角形的等腰全等点。
记边长 AB=c，BC=a，CA=b，三个内角分别为 ∠A=2α、∠B=2β、∠C=2γ。
试求：1、全等时黄色三角形的面积。
2、等腰全等点 X 的面积坐标。
由于所有角度都是线性关系，不难得到原三角形的边长跟全等三角形的边长之间的方程和面积方程。
设黄色全等三角形的外径为 `r`, 可得 $GX=2r cos α, DX=2r cos β,DG=2r cos γ,S_{△DGX}=2r^2cos α cos β cos γ$
于是$DE=DX+XE=DX+DG=2r cos β+2r cos γ, AD=(DE)/(2sin α)=(r cos β+r cos γ)/(sin α)$,
$AB=AD+BG-DG$, 即 $c=(r cos β+r cos γ)/(sin α)+(r cos γ+r cos α)/(sin β)-2r cos γ$.
$S_{△ADE}=\frac{DE^2}{4tanα}=\frac{(r cosβ+r cosγ)^2}{tanα}$.
类似可以计算\(BC,CA,S_{△BFG}, S_{△CHI}\)。
\(S_{△ABC}=S_{△ADE}+S_{△BFG}+S_{△CHI}-3S_{△DGX}\)。
然后解方程即可得到结果。 好题！！！！！譬如: BC=6, CA=9, AB=13,三个内角分别为2α, 2b, 2a+2b。
GX=Cos/k, DX=Cos[ b]/k, Cos Cos[ b] Sin/(2 k^2) = S = 黄色小三角形面积。
BF=(Cos + Sin)/(2K Sin[ b]),IC=(Cos + Cos[ b])/(2K Cos), IF=Cos/k。
N == 9/Sin == 13/Sin, Cos Cos Sin/(2 k^2) == S,
(Cos + Sin)/(2 Sin) + (Cos + Cos)/(2 Cos) - Cos == 6 k, 0 < a < b < 1}, {a, b, k, S}], 20]
{{a -> 0.20822601201426420706, b -> 0.32600003255365010672, k -> 0.41047058076057052999, S -> 1.4005250134049083643}}
简化。
N == 9/Sin == 13/Sin, 2*6^2 Cos Sec Sin/(Csc + Sec + Csc Sec Sin)^2 == S, 0 < a < b < 1}, {a, b, S}], 20]
{{a -> 0.20822601201426420706, b -> 0.32600003255365010672, S -> 1.4005250134049083643}} 一个定义非常漂亮的三角形中心，极有可能已收录在ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS。
但我们非常希望这是iseemu2009朋友的新发现。 X点的面积坐标（Barycentrics）为
$au:bv:cw=a/(IF) : b/(EH) : c/(DG)=(sin2α)/(cosα) : (sin2β)/(cosβ) : (sin2γ)/(cosγ)=sinα : sinβ : sinγ$
倒是很简洁，据此在ETC网站上找到了它，为 X(174) = YFF CENTER OF CONGRUENCE.
网站上给出了X(174)的一个有趣的特性，可以作为它一个定义。
如图，三角形的内心 I 与各边张成三角形，在角I处的角平分线与各边的交点与对应顶点的连线共点，即X(174).
显然，将内心换成其它任意点，三线共点也成立（由Ceva定理）。
怎样尺规作图找这样的等腰全等点？
如图，ETC网站提到YFF在1987年提出了本论坛的帖子请确定原来的灰色三角形中讨论过的一个问题。
图中三条红色等腰线分割出4个全等的小△，三线等长，正好等于红色小△的周长。
平移三条红线，保持外围的三个红色小△的全等，到达蓝色线的位置时中心红色小△收缩至X(174).
X(174)就是中心红色小△与格尔岗三角形(绿色大△）的位似中心。
hujunhua 发表于 2025-2-8 11:43
X点的面积坐标（Barycentrics）为
$au:bv:cw=a/(IF) : b/(EH) : c/(DG)=(sin2α)/(cosα) : (sin2β)/(cos ...
原题其实不不困难，如果是已知任意一点 P 的重心坐标，通过上述作图求得到的点 X 的重心坐标会有点难度。反过来，若已知点 X 的重心坐标，求源点 P 的重心坐标是也有点难度。
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