三角形的等腰全等点

iseemu2009

如图，过△ABC 内一点 X 分别作以三内角为顶角的等腰三角形△ADE, △BPQ, △CMN , 记它们的底角分别为∠1, ∠2, ∠3。
易知∠1+∠2+∠3=π，故三个黄色三角形是相似的。
移动X，三个黄色三角形的大小之比发生变化，存在一个位置，使得它们恰好全等。这个位置就称为三角形的等腰全等点。
记边长 AB=c，BC=a，CA=b，三个内角分别为 α、β、γ。

等腰全等点X图示

试求：1、全等时黄色三角形的面积。
          2、等腰全等点 X 的面积坐标。

mathe

可以采用如下一种方法计算：
由于所有角度都很容易算出，我们可以先反过来重新定义所有边的长度，比如
设\(QX=\cos(\frac{\alpha}2), DX=\cos(\frac{\beta}2),DQ=\cos(\frac{\gamma}2)\)
于是\(DE=DX+XE=DX+DQ=\cos(\frac{\beta}2)+\cos(\frac{\gamma}2)\), 由此容易得出\(S(\Delta ADE)=\frac{DE^2}{4\tan(\frac{\alpha}2)}=\frac{(\cos(\frac{\beta}2)+\cos(\frac{\gamma}2))^2}{4\tan(\frac{\alpha}2)}\).
类似可以计算\(\Delta BPQ, \Delta CMN\)的面积并且使用海伦公式计算\(\Delta DQX\)面积。
最后可以使用\(S(\Delta ABC)=S(\Delta ADE)+S(\Delta BPQ)+S(\Delta CMN)-3S(\Delta DQX)\)得出大三角形面积。
然后利用两个不同尺度之间得出面积之间关系，就可以反向推导出S了。

王守恩

好题！！！！！譬如: BC=6, CA=9, AB=13,  三个内角分别为2α, 2b, 2a+2b。

QX=Cos[a]/k, DX=Cos[ b]/k, Cos[a] Cos[ b] Sin[a + b]/(2 k^2) = S = 黄色小三角形面积。

BP=(Cos[a] + Sin[a + b])/(2K Sin[ b]),  NC=(Cos[a] + Cos[ b])/(2K Cos[a + b]),  NP=Cos[a]/k。

1. N[Solve[{6/Sin[2 a] == 9/Sin[2 b] == 13/Sin[2 a + 2 b], Cos[a] Cos[b] Sin[a + b]/(2 k^2) == S,
   
2. (Cos[a] + Sin[a + b])/(2 Sin[b]) + (Cos[a] + Cos[b])/(2 Cos[a + b]) - Cos[a] == 6 k, 0 < a < b < 1}, {a, b, k, S}], 20]

复制代码

{{a -> 0.20822601201426420706, b -> 0.32600003255365010672, k -> 0.41047058076057052999, S -> 1.4005250134049083643}}

简化。

1. N[Solve[{6/Sin[2 a] == 9/Sin[2 b] == 13/Sin[2 a + 2 b], 2*6^2 Cos[b] Sec[a] Sin[a + b]/(Csc[b] + Sec[a + b] + Csc[b] Sec[a + b] Sin[a])^2 == S, 0 < a < b < 1}, {a, b, S}], 20]

复制代码

{{a -> 0.20822601201426420706, b -> 0.32600003255365010672, S -> 1.4005250134049083643}}