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[原创] 三角形的等腰全等点

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发表于 2025-2-3 11:18:26 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如图,过△ABC 内一点 X 分别作以三内角为顶角的等腰三角形△ADE, △BFG, △CHI , 记它们的底角分别为∠1, ∠2, ∠3。
易知∠1+∠2+∠3=π,故三个黄色三角形是相似的,都是格尔岗三角形(Gergonne Triangle)的相似形。
移动X,三个黄色三角形的大小之比发生变化,存在一个位置,使得它们恰好全等。这个位置就称为三角形的等腰全等点。
记边长 AB=c,BC=a,CA=b,三个内角分别为 ∠A=2α、∠B=2β、∠C=2γ。

等腰全等点X图示

等腰全等点X图示

试求:1、全等时黄色三角形的面积。
          2、等腰全等点 X 的面积坐标。
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发表于 2025-2-3 12:51:11 | 显示全部楼层
由于所有角度都是线性关系,不难得到原三角形的边长跟全等三角形的边长之间的方程和面积方程。
设黄色全等三角形的外径为 `r`, 可得 $GX=2r cos α, DX=2r cos β,DG=2r cos γ,S_{△DGX}=2r^2cos α cos β cos γ$
于是$DE=DX+XE=DX+DG=2r cos β+2r cos γ, AD=(DE)/(2sin α)=(r cos β+r cos γ)/(sin α)$,
$AB=AD+BG-DG$, 即 $c=(r cos β+r cos γ)/(sin α)+(r cos γ+r cos α)/(sin β)-2r cos γ$.
$S_{△ADE}=\frac{DE^2}{4tanα}=\frac{(r cosβ+r cosγ)^2}{tanα}$.

类似可以计算\(BC,CA,S_{△BFG}, S_{△CHI}\)。
\(S_{△ABC}=S_{△ADE}+S_{△BFG}+S_{△CHI}-3S_{△DGX}\)。

然后解方程即可得到结果。
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发表于 2025-2-4 10:00:46 | 显示全部楼层
好题!!!!!譬如: BC=6, CA=9, AB=13,  三个内角分别为2α, 2b, 2a+2b。

GX=Cos[a]/k, DX=Cos[ b]/k, Cos[a] Cos[ b] Sin[a + b]/(2 k^2) = S = 黄色小三角形面积。

BF=(Cos[a] + Sin[a + b])/(2K Sin[ b]),  IC=(Cos[a] + Cos[ b])/(2K Cos[a + b]), IF=Cos[a]/k。
  1. N[Solve[{6/Sin[2 a] == 9/Sin[2 b] == 13/Sin[2 a + 2 b], Cos[a] Cos[b] Sin[a + b]/(2 k^2) == S,
  2. (Cos[a] + Sin[a + b])/(2 Sin[b]) + (Cos[a] + Cos[b])/(2 Cos[a + b]) - Cos[a] == 6 k, 0 < a < b < 1}, {a, b, k, S}], 20]
复制代码

{{a -> 0.20822601201426420706, b -> 0.32600003255365010672, k -> 0.41047058076057052999, S -> 1.4005250134049083643}}

简化。
  1. N[Solve[{6/Sin[2 a] == 9/Sin[2 b] == 13/Sin[2 a + 2 b], 2*6^2 Cos[b] Sec[a] Sin[a + b]/(Csc[b] + Sec[a + b] + Csc[b] Sec[a + b] Sin[a])^2 == S, 0 < a < b < 1}, {a, b, S}], 20]
复制代码

{{a -> 0.20822601201426420706, b -> 0.32600003255365010672, S -> 1.4005250134049083643}}
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发表于 2025-2-7 08:52:08 | 显示全部楼层
一个定义非常漂亮的三角形中心,极有可能已收录在ENCYCLOPEDIA OF TRIANGLE CENTERS

但我们非常希望这是iseemu2009朋友的新发现。
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发表于 2025-2-8 11:43:11 | 显示全部楼层
X点的面积坐标(Barycentrics)为
$au:bv:cw=a/(IF) : b/(EH) : c/(DG)=(sin2α)/(cosα) : (sin2β)/(cosβ) : (sin2γ)/(cosγ)=sinα : sinβ : sinγ$
倒是很简洁,据此在ETC网站上找到了它,为 X(174) = YFF CENTER OF CONGRUENCE.

网站上给出了X(174)的一个有趣的特性,可以作为它一个定义。
如图,三角形的内心 I 与各边张成三角形,在角I处的角平分线与各边的交点与对应顶点的连线共点,即X(174).
捕获.PNG
显然,将内心换成其它任意点,三线共点也成立(由Ceva定理)。

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对的,好强大。能求出一个黄色小三角形的面积吗?  发表于 2025-2-8 23:52
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发表于 5 天前 | 显示全部楼层
怎样尺规作图找这样的等腰全等点?

点评

5#不就是一个作图方法吗?先作内心,再作内心三分角的各角平分线,....  发表于 5 天前
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发表于 5 天前 | 显示全部楼层
如图,ETC网站提到YFF在1987年提出了本论坛的帖子请确定原来的灰色三角形中讨论过的一个问题。
图中三条红线分别平行于格尔岗△的各边(绿色线),并分割出4个全等的红色小△。三条红线等长,正好等于红色小△的周长。
移动三条红线,保持外围的三个红色小△的全等,到达蓝色线的位置时中心红色小△收缩至X(174).
X(174)就是中心红色小△与格尔岗三角形(绿色大△)的位似中心。
YFF全等点.PNG
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发表于 3 天前 | 显示全部楼层
hujunhua 发表于 2025-2-8 11:43
X点的面积坐标(Barycentrics)为
$au:bv:cw=a/(IF) : b/(EH) : c/(DG)=(sin2α)/(cosα) : (sin2β)/(cos ...

原题其实不不困难,如果是已知任意一点 P 的重心坐标,通过上述作图求得到的点 X 的重心坐标会有点难度。反过来,若已知点 X 的重心坐标,求源点 P 的重心坐标是也有点难度。
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