二、从割圆术到孙子定理
1、刘徽的割圆术
公元391年，在亚历山大城，由于基督教会内部的矛盾，以及该城教会与罗马教廷之间的冲突，一群基督教徒疯狂地烧毁了克娄巴特拉女王早先下令从大图书馆里抢救出来的那些宝藏，托勒密王朝膜拜的另一处藏有大量希腊手稿的西拉比斯神庙也未逃厄运。那一年，中国的东汉（发明造纸术的蔡伦和大科学家张衡*在世）已经分裂，隋朝尚未建立，正处于历史动荡的魏晋南北朝时代。在长期独尊儒学之后，学术界的思辩之风再起，于是有了我们今日仍津津乐道的“魏晋风度”和“竹林七贤”。
（*张衡（78-139），以制造出世界上第一台测地震的仪器——地动仪闻名，同时曾采用$730/232~=3.1466$ 为圆周率（如属实，当在刘徽之前），可惜其数学著作已经失传；此外，他还是著名的文学家和画家。）
所谓“魏晋风度”乃魏晋之际名士风度之谓也，亦称魏晋风流。名士们崇尚自然、超然物外，率真任性而风流自赏。他们言词高妙，不务世事，喜好饮酒，以隐逸为乐。尊《周易》、《注意文明》和《庄子》为“三玄”，以至于清谈或玄谈成为崇尚虚无空谈名理的一种风气，魏末晋初，以诗人阮籍、嵇康为首的“竹林七贤”便是其中的突出代表。作为士大夫意识形态的一种人格表现，“魏晋风度”成为风靡一时的审美理想。
在这样的社会和人文环境下，中国的数学研究也兴起了论证的热潮，多部学术著作以注释《周髀算经》或《九章算术》的形式出现，实质上是要给出这两部著作中一些重要结论的证明。上一节我们提到的赵爽（三国东吴人）便是其中的先驱人物，成就更大的是刘徽，他和赵爽的生卒年均无法考证，我们只知道他也生活在公元3世纪，并于263年（魏国和吴国均未灭亡）撰写了《九章算术注》。因此，难以断定两人哪个在先，反正他们是取得重要成就的中国数学家中最早留名的。
刘徽用几何图形分割后重新拼合（出入相补法）等方法验证了《九章算术》中各种图形计算公式的正确性，这与赵爽证明勾股定理一样，开创了中国古代史上对数学命题进行逻辑证明的范例。刘徽也注意到了这种方法的缺陷，即与平面的情形不同，并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补。为了绕过这一障碍，一些数学家们不约而同的借助于无限小的方法，如同阿基米德所做的那样。刘徽采用了极限和不可分量两种无限小方法，指出《九章算术》中的球体积计算公式是错误的。
确切地说，刘徽是在一个立方体内作两个垂直的内切圆柱，所交的部分刚好把立方体的内切球包含在内且与之相切，他称之为“牟合方盖”。刘徽发现，球体积与牟合方盖体积之比应该为л/4，这里他实际上接近了积分学中以意大利数学家命名的“卡瓦列利原理”，可惜他没有总结出一般的形式，以至于无法计算出“牟合方盖”体积，也就难以获得球体积公式。不过，他所用的方法为两个世纪以后祖冲之父子最终的成功铺平了道路。
除了对《九章算术》逐一注释以外，此书的第10章是刘徽自己的一篇论文，后来又单独刊行，称为《海岛算经》。书中发展了古代天文学中的“重差术”，成为测量学的典籍。当然，刘徽最有价值的工作是注方田（第1章）中所引进的割圆术，用以计算圆的周长、面积和圆周率。其要旨是用圆内接正多边形去逼近圆，他从正六边形出发，将边数逐次增加两倍，并计算出每次所得的正多边形的周长和面积。他写到，
割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。
刘徽注意到，利用勾股定理，正2n边形的边长可由正n边形的边长导出。这样一来，计算才比较方便，到第5次时，就得到正 边形的边长，由此得到的圆周率为
$pi~=157/50 = 3.14$
这与阿基米德公元前240年所得到的结果和方法基本上是一致的，只不过后者利用了圆的外切和内接正多边形，因此只算了 边就得到同样的值。在注文中（尚未证实是否刘徽所为，但应算到正 边形的边长）得出了
$л~=3927/1250 = 3.1416$
鉴于刘徽在数学领域所取得的卓越成就，公元1109年，宋徽宗封其为淄乡男。由于同时被封的其他人均是以其故乡命名，由此可以推断，刘徽是山东人，因为含淄字的县级地名只有淄博和临淄，而按照《汉书》的记载，淄乡只有邻近淄博的邹平县有。作为儒学发祥地的齐鲁之邦，经两汉到魏晋，学术空气十分浓厚，这使得刘徽受到良好的文化熏陶，并置身于辩难之风。从刘徽的文字里也可以看出他谙熟诸子百家言论，深得思想解放之先风,因而得以开创上述算术之演绎。
2、祖氏父子
在刘徽注释《九章算术》的第三年，中国（继秦朝以后）获得了第二次统一，魏国的一个将军司马炎建立了晋朝（西晋）。经济的发展和日益增加的跨地域交往刺激了地理学的发展，并产生地图学家裴秀，他提出了比例尺、方位、距离等6条基本原则，奠定了中国制图学的理论基础。一些新的风俗习惯随之出现了，如喝茶，还发明了若干新的节约劳动力的工具，如独轮车和水磨。公元283年，道家中的博物学家兼炼丹术士葛洪也出世了。
可是，北方的经济区仍面临着多个外来民族入侵的危险，公元317年，晋室被迫迁到长江以南，建都建康（南京），史称东晋，一共延续了103年（北方则被分割成了16个小国）。此后南方的晋朝灭亡，相继被4个军人篡权并改国号，即宋（刘宋）、齐、梁、陈，史称南朝，历时约170年，依然设都建康。就在刘宋10年，即公元429年，祖冲之出生在首都建康的一个历法世家。虽然他后来只在徐州做过几次小官，却是中国数学史上第一个名列正史的数学家。
在《隋书》里，记载了祖冲之计算出了圆周率数值的上下限，
$3.1415926 < pi < 3.1415927$
精确到小数点后第7位。这是他最重要的数学贡献，直到1424年这个纪录才被伊朗数学家卡西打破，后者算到了小数点后17位。遗憾的是，没有人提到他具体的计算方法。一般认为，祖冲之沿用了刘徽的割圆术。这说明了他是个很有毅力的人，事实上，如果按照割圆术的方法，需要连续算到正24576边形，才能得到上述数据。
同一部史书里还记载了祖冲之计算圆周率的另一项重要成果，即约率：$22/7$，密率：$355/113$。约率与阿基米德的结果一致，即精确到小数点后两位，后一项精确到小数点后6位。在现代数论中，如果将$pi$表示成连分数，则其渐进分数为，
$3/1, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, 104348/33215$
第一项与巴比伦人和《九章算术》里的结果相同，可称作古率，第二项是约率，第四项是密率，这是分子和分母都不超过1000的分数里最接近л真值的。
1913年，日本数学史家三上义夫（1875-1950）在其有重大影响的著作《中国和日本的数学之发展》里，主张把这一圆周率数值称为“祖率”。在欧洲，直到1573年，这个分数才由德国数学家奥托重新得到。遗憾的是，时至今日，我们仍然无法知晓祖冲之当初是如何计算出这个分数的，尚没有任何证据可以说明，中国古代已有连分数的概念或应用，而割圆术是无法直接得到祖率的。因此有史家猜测，他是用同样发明于南北朝的“调日法”测得的。
所谓“调日法”的基本思想如下：假如$a/b$，$c/d$分别为不足和过剩近似分数，那么适当选取 m、n，新得出的分数${m a+n c}/{m b+n d}$有可能更接近真值。这个方法是由刘宋政治家何承业首先提出来的，他同时还是著名的天文学家和文学家。如果在$157/50$（刘徽）和$22/7$（约率）之间选择m=1，n=9，或在$3/1$（古率）和$22/7$之间选择m=1，n=16，均可获得$355/113$（密率）。我们可以推测，祖冲之用“调日法”求得密率后，再用割圆术加以验证，如同阿基米德运用平衡法和穷竭法一样。
和刘徽一样，祖冲之的另一项成就也是球体积的计算。此项结果在他本人撰写的一篇政论文章《驳议》（收入《宋书》）里提及，并极有可能写进他的代表性著作《缀术》，可惜后者失传了。有趣的是，唐代李淳风却在为《九章算术》所写的一篇注文中称为之“祖暅之开立方术”，祖暅之即祖暅，祖冲之的儿子，在数学上也有许多创造。因此，现代的数学史家一般把球体积计算公式归功为他们祖氏父子共同获得的结果。
按照李淳风的描述，祖氏是这样计算“牟合方盖”的体积的，先取以圆半径r为边长的一个立方体，以一顶点为心，r为半径分纵横两次各截立方体为圆柱体。如此，立方体就被分成四部分：两个圆柱体的共同部分（内棋，即牟合方盖的$1/8$）和其余的三个部分（外三棋）。他们先算出“外三棋”的体积，这是问题的关键，他们发现，这三个部分在任何一个高度的截面积之和与一个内切的倒方锥相等。而这个倒方锥的体积是立方体的$3/1$，因此内棋的体积便是立方体的$2/3$。
最后，利用刘徽关于球体积与牟合方盖体积之比为$4/pi$的结果，就得到阿基米德的球体积计算公式，
$V = 4/3 pi r^3$
正如中国当代数学史家李文林所指出的，“刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的，它们反映了魏晋南北朝时代中国古典数学研究中出现的论证倾向，以及这种倾向所达到的高度。然而令人迷惑的是，这种倾向随着这一时代的结束，可以说是嘎然而止。”祖冲之的《缀术》在隋唐曾与《九章算术》同列为官方的教科书，国子监的算学馆也规定其为必读书之一，且修业的时间长达4年，并曾流传到朝鲜和日本，可惜在公元10世纪以后却完全失传了。
3、孙子定理
公元639年，阿拉伯人大举入侵埃及，此时罗马人早已退出，埃及在行政上受拜占廷控制，拜占廷军队与阿拉伯人交战三年之后被迫撤离，亚历山大学术宝库里仅存的那些残本也被入侵者付之一炬，希腊文明至此落下了帷幕。此后，才有了开罗，埃及人改说阿拉伯语并信奉了伊斯兰教。那会儿，在中国正逢大唐盛世，太宗李世民在位。唐朝是中国封建社会最繁荣的时代，疆域的领土也不断扩大，首都长安（西安）成为各国商人和名士的聚集地，中国与西域等地的交往十分频繁。
虽说在数学上，唐代并没有产生与其前的魏晋南北朝或其后的宋元相媲美的大师，却在数学教育制度的确立和数学典籍的整理方面有所建树。唐代不仅延袭了北朝和隋代开启的“算学”制度，设立了“算术博士”*的官衔，还在科举考试中设置了数学科目，通过者授予官衔，可是级别最低，且到晚唐就废止了。事实上，唐代文化氛围的主流是人文主义的，不太重视科学技术，这与意大利的文艺复兴颇为相似。长达近三百年的唐代在数学方面最有意义的事情莫过于《算经十书》的整理和出版，这是高宗李治下令编撰的。
奉诏负责这十部算经编撰的正是前文提到的李淳风，除了精通数学以外，他更以天文学上的成就闻名。在堪称世界上最早的气象学专著《乙已占》里，他把风力分为8级（加上无分和微分则为10级），直到1805年，一位英国学者才把风力划分为从零到12级。除了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》和《缀术》以外，《算经十书》中至少还有三部值得一提，分别是《孙子算经》、《张丘建算经》和《缉古算经》。这三部书的共同特点是，每一部都提出一个非常有价值的问题，并以此传世。
《孙子算经》的作者不详，一般认为是公元4世纪的作品，作者可能是一位姓孙的数学家。该书最为人所知的是一个“物不知数”问题：
今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？
这相当于求解下列同余方程组
{(n -= 2 (mod 3)), (n -= 3 (mod 5)), (n -= 2 (mod 7)) :}
《孙子算经》给出的答案是23，这是符合上述同余方程组的最小正整数。不仅如此，书中还指示了关于上述三个模求解的方法，其中的余数2、3和2可以换成任意数。这是一次同余式组解法（孙子定理）的特殊形式，8世纪唐代僧人一行曾用此法制订历法，但其更一般的方法要到宋代才由数学家秦九韶给出。孙子定理是中国古代数学史上最完美和最值得骄傲的结果，它出现在中外每一本《初等数论》教科书中，西方人称之为中国剩余定理。
（* 在中国古代，“算术博士”并非最早的专精一艺的官衔，西晋便置“律学博士”，北魏则增“医学博士”。）
《张邱建算经》成书于公元5世纪，作者是北魏人，书中最后一道题堪称亮点，通常也被称为“百鸡问题”，民间则流传着县令考问神童的佳话，书中原文如下
今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？
设鸡翁、鸡母和鸡雏的数量分别是x、y、z，此题相当于解下列不定方程组的正整数解
{(x + y + z = 100), (5x + 3y + z/3 = 100) :}
张丘建给出了全部三组解答，即(4, 18, 78)、(8, 11, 81)、(12, 4, 84)。这两个三元一次方程可以化为一个二元一次方程，而让另一个元成为参数。今天我们知道，多元一次方程均可以给出一般解。类似的问题在国外直到很久以后，才由13世纪的意大利人斐波那契和15世纪的伊朗人卡西提出。遗憾的是，张建丘没有乘胜追击对这个问题进行总结，他也不如孙子幸运，后者有秦久韶完成后续的研究和证明。
《缉古算经》是十部算经中最晚成书的，作者王孝通是初唐人，曾为算学博士，其籍贯身世和生卒年代均不详。这部书也是一系列实用问题集，但对当时的人来说难度很大，主要涉及天文历法、土木工程、仓房和地窖大小以及勾股问题等，大多数需要用双二次方程或高次方程来解决。尤其值得一提的是，书中给出了28个形如
$x^3 + p x^2 + qx = c$
的正系数方程，并用注来说明各项系数的来历。作者给出了正有理数根，但没有具体的解法。在世界数学史上，这是关于三次方程数值解及其应用的最古老的文献。
三、宋元六大家
1、沈括和贾宪
虽说唐朝的经济和文化繁荣，可是9世纪末以后，不少世袭统治者的半自治政府兴起于边地，官僚的中央政府无力约束。加上税赋加重，黄巢农民起义后，参与**的节度使势力大增。到公元907年，中国再次转化为分裂状态，五代开始了。短短的半个世纪时间里，更换了5个朝代，即后梁、后唐、后晋、后汉和后周，首都改设开封或洛阳。战乱的后果造成了经典著作的失传，祖冲之的《缀术》就在其列。而在南方，也有过10个小国，包括以金陵（南京）为都的南唐，它的最后一个皇帝李煜因国破被虏而成为一代词人。
公元960年，军人出身的赵匡胤在河南被部下拥上皇位，建立了宋朝。不流血的政变之后，他又“杯酒释兵权”，让一部分武将退役还乡。重新统一后的中国发生了有利文化和科学事业的变化，散文化的诗歌——宋词在唐代以后又达到一个文学颠峰，商业的繁荣、手工业的兴旺以及由此引发的技术进步（四大发明中的三项——指南针、火药和印刷术是在宋代完成并获得广泛的应用）则为数学的发展注入新的活力。尤其是活字印刷的发明，为传播和保存数学提供了极大的方便，刘徽的《海岛算经》成为（现存）最早付印的数学论著。
虽说李约瑟在《中国科学技术史》里对“孙子定理”的结论一笔带过，并未提高到“定理”的高度，但他却指出，宋代（南宋）出现了一批中国古代史上最伟大的数学家。那是在13世纪前后，正好是欧洲中世纪即将结束的年代，他们是被称为“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰。不过，在谈论这四个人之前，我们还需要提到两个北宋人——沈括和贾宪，其中杭州出生的沈括于1086年完成了一部《梦溪笔谈》，也算中国古代科学史上的一朵奇葩。
沈括系进士出身，曾参与王安石变革运动，后出使辽国，回来后任翰林学士，政绩卓著。他每次旅行途中，无论公务多么繁忙，都不忘记录下科学与技术上有意义的事情，堪称中国古代最伟大的博物学家。《梦溪笔谈》几乎囊括了所有已知的自然科学和社会科学，例如，发现了夏至日长、冬至日短，在历法上他大胆提出12节气，大月31日，小月30日；在物理学上，他做过凹面镜成像和声音共振实验；在地理学和地质学上，则以流水侵袭作用解释奇异地貌成因，从化石推测水陆变迁，等等。
现在我们来谈谈沈括书里有关数学方面的记载。在几何学方面，为了测量的需要，必须要确定圆弧的长度，为此他发明了一种局部以直代曲的方法，后来成为球面三角学的基础。在代数学方面，为了求出垒成棱台形状的酒桶的数目（这里酒桶每层纵横均有变化），他给出的是求取连续相邻整数平方和的公式，这是中国数学史上第一个求高阶等差级数之和的例子。沈括还认为数学的本质在于简洁，并指出“大凡物有定形，形有真数”，这与毕达哥拉斯的数学思想颇为接近。
相比之下，我们对与沈括同时代的贾宪所知甚少，只知道他写过一部叫《黄帝九章算术细草》的著作，可惜已经遗失。幸运的是，这部著作里的主要内容两百年后被南宋数学家杨辉摘录进他的《祥解九章算法》（1261）。此书记载了贾宪的高次开方法，这个方法以一张本源图为基础，它实际上是一张二项系数表，即$(x+a)^n,(0<=n<=6)$展开的各项系数,
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
此后，这个三角形就被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，它的出现比法国数学家帕斯卡尔的发现早了6百多年。不仅如此，贾宪还把这个三角形用于开方根的计算，取得了意想不到的效果，被称为“增乘开方法”。
2、杨辉和秦九韶
早在五代时期，在东北和蒙古一带还有一个契丹族建立的辽国，始于唐朝末年。宋朝建立之初，太宗还亲自率兵或派兵攻辽，不久却渐渐转而处于守势。最后，宋朝只好纳贡视好，开创了一个向番邦定期交付财物的先例。当时，受辽国欺压的还有一个善于骑马的女真族，生活在黑龙江流域，他们强盛起来后建立了金国，并出兵灭了辽国。之后，又向南进攻北宋的都城卞京（开封），俘虏了徽宗和钦宗父子。后钦宗之弟高宗被拥为皇帝，迁都杭州（1127），改称临安，史称南宋。
虽然北方的威胁仍在，但南宋人的生活却过得有滋有味，在经济、文化上甚至更为繁荣。数学家杨辉和沈括同乡，也是临安（杭州）人，虽然他的生卒年不详，但我们知道他生活在13世纪，并曾在台州、苏州等地做地方官，业余时间研究数学。从1261年到1275年这15年间，杨辉独立完成了5种数学著作，包括前文提到的《祥解九章算法》。他的书写得深入浅出，走到那里都有人请教，因此他、也被认为是一位重要的数学教育家。
在前节提到的贾宪的增乘开方法之后，杨辉接着举了一个实例，说明它是如何用来解四次方程。这是一种高度机械化的方法，可以适用于开任意次方程，与现代西方通用的霍纳方法（1819）基本一致。此外，杨辉还利用垛积法导出了计算正四棱台的体积公式，由于捷算法的需要，他（在中国）率先提出了素数的概念，并找出了200到300之间的全部16个素数。当然，杨辉对素数的研究远远落后于欧几里得，无论是时间上还是完整性上。
不过，我认为杨辉最有趣的数学贡献应该在幻方方面，古人称之为纵横图。谈及幻方（MagicSquares），它最早源于中国，在《易经》这部我国最古老的典籍（至晚公元前11世纪）里就有一幅叫洛书的数字图表，传说是治水的大禹于公元前2200左右在黄河岸边一只神龟背上所见，用阿拉伯数字写就是
$((4,9,2),(3,5,7),(8,1,6))$
在这张表中，各行、各列或对角线上的三个元素相加均为常数。在13世纪以前，中国数学家并没有认真对待它，只把它看成一种数字游戏，甚至笼罩着一层神秘色彩。杨辉却孜孜不倦地探索幻方的性质，他以自己的研究成果证明，这种图形是有规律的。
杨辉利用等差级数的求和公式，巧妙地构造出了3阶和4阶的幻方。对4阶以上的幻方，他只给出了图形而未留下作法，但他所画的5阶、6阶乃至10阶的幻方全都准确无误，可见他已经掌握了构成规律，他并称10阶幻方为百子图，其各行各列之和为505。在欧洲，这方面的发现和研究要晚许多，第一个幻方出现在公元130年，也是一个3阶图，与《易经》的洛书不同；在德国版画家丢勒的名作《忧郁》（1514）中，也出现了一个4阶幻想，与杨辉举过的一个例子只是互换了行列。
相比杨辉对数学研究的孜孜不倦，秦九韶（1202-1261）的学术生涯比较短暂。他出生在四川，故乡长年处于兵荒马乱之中，后随家人移居京城（临安），几年以后复又回到老家。成年后他再度出川东下，在湖北、安徽等地做地方官，最后定居浙江湖州。据说秦九韶为官贪婪、生活糜烂，在南京做官期间，母亲去世，他离任返回湖州奔丧。正是在湖州守孝的三年时间里，他刻苦研究数学，写出了传世的著作《数书九章》。
《数书九章》同样也是各类问题集，其中最重要的两项成果是“开方正负术”和“大衍总数术”。“开方正负术”给出了一般高次代数方程，即
$a_0 x^n + a_1 x^{n-1} +...+ a_{n-1} x + a_n = 0$
的解的完整算法，其系数可正可负。具体做法是先让常数项系数为负，接下来的做法与贾宪-杨辉使用的大体相同，但有所简化。秦九韶共举了21个高次方程的例子，其中次数最高的是10次方程。
“大衍总数术”则明确地给出了孙子定理的严格表述，用现代数学语言来讲就是，设$m_1, m_2, ..., m_k$是两两互素的大于1的正整数，则对任意的整数$a_1,a_2,...,a_k$，下列一次同余式组关于模$m=m_1m_2...m_k$有且仅有一解
$x -= a_i (mod m_i) , 1<=i<=k$
秦九韶并给出了求解的过程，为此他需要讨论下列同余式
$a x -=1 (mod m) $
他用到了初等数论里的辗转相除法（欧几里得算法），并称此为“大衍求一术”。这个方法是完全正确并十分严密的，至今仍出现在《初等数论》的教科书中。可是由于古代中国没有素数这个概念，且当时的用途并非在理论上，而主要用于解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题，秦九韶没有给出证明。实际上，他还允许模非两两互素，并给出了可靠的计算程序将其化为两两互素的情形。
在欧洲，18世纪的欧拉和19世纪的高斯分别对一次同余式组进行了细致的研究，重新获得与孙子定理一样的结论，并对模两两互素的情形给予严格的证明。在英国传教士、汉学家伟烈亚力所著的《中国数学科学札记》出版后，欧洲学术界才认识到中国人在这方面的开创性工作，之后秦九韶和“中国剩余定理”的名字也传开了。人们一致认为，“开方正负术”和“大衍总数术”这两项工作均达到了当时的世界先进水平。可是，当秦九韶守孝完毕，复返官场，他又沉湎于追逐功名利禄，没再在数学上做出贡献。
3、李冶和朱世杰
正如杨辉和秦九韶一直生活在南方，南宋的另外两位大数学家李冶和朱世杰则世居北方。李冶（1192-1279）出生在金国统治下的大兴（北京郊外），原名李治，后来发现与唐高宗同名，随减去一点。李冶的父亲是一位为人正直的地方官，同时又是博学多才的学者，他自小受其影响，认为学问比财富更可贵。李冶年轻时便对文史、数学均十分感兴趣，后来考中进士，被赞为“经为通儒，文为名家”。不久蒙古的窝阔台军队侵入，他没有赴陕西上任，改到河南任知事。
公元1232年，蒙古人侵入中原，已经40岁的李冶换好平民服装，踏上漫长而艰苦的流亡之路。两年后金朝灭亡，可是他并没有逃往南宋，而是留在蒙古人统治下的北方（元朝），一来南宋和金素来为敌，二来忽必烈（元世祖）礼遇金朝的有识之士（曾三度召见他）。这是李冶一生的转折点，将近半个世纪的学术生涯开始了（他比丢番图还多活三年）。他返回河北老家，买下一块地产，开始收徒讲学，从事数学研究和教育活动。或许李冶觉得，数学可以让他远离政治。
李冶一生著述甚多，最让他得意的是《测圆海镜》（1248），此书奠定了中国古代数学中天元术的基础。天元术是一种用数学符号列方程的方法，在《九章算术》中是用文字叙述的方式建立二次方程的，尚没有未知数的概念。到了唐代，已有人列出三次方程，却是用几何方法推导，需要高度的技巧，不易于推广。此后，方程理论一直受几何思维束缚，如常数项只能为正，方程次数不能高过三次。直到北宋，贾宪等人才找到了高次方程正根问题的基本解法。
可是，随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种更一般的、能建立任意次方程的方法，天元术便应运而生了。李冶意识到，只有摆脱几何的思维模式，建立一整套不依赖于具体问题的普遍程序，才能实现上述目的。为此，他首先“立天元一为某某”，这相当于“设x为某某”，“天元一”表示未知数。在这里，未知数有了纯代数意义，二次方不必代表面积，三次方也不必代表体积，常数项也可正可负。至此，困扰中国数学家一千多年的任意n次代数方程的表达便变得非常容易了。
不仅如此，李冶还引进记号○来代替空位，这样一来，传统的10进制便有了完整的数码。由于在南方，比《测圆海镜》早一年问世的《数书九章》也采用了同一记号，因此〇号在中国迅速得以普及。除了〇号以外，李冶还发明了负号（在数字上方加划一斜线）和一套相当简便的小数记法，这两种记号比欧洲人分别早了2个世纪和4个世纪，也使得中国的代数学“半符号化”，因为尚缺少等号等运算符号。既然有如此先进的思维，李冶必然是个有哲学头脑的人，他认为数虽奥妙无穷，却是可以认识的。
李冶去世那年，正好南宋也被元灭亡了。此前，南北方之间包括数学在内的交流是非常少的。朱世杰在“宋元四大家”中出生得最晚，因而幸运地得以博采南北两地数学之精华。由于朱世杰一生未入仕途，我们对他的家世和生卒年一无所知，现有的资料是从友人为他的两部著作《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）所作的序言里获得的。与李冶一样，朱世杰也出生在北京附近，但那时元已灭金，北京（燕京）已成为重要的政治和文化中心。
经过了长达20多年的游学之后，朱世杰终于在扬州安定下来，在那里刊印了前面提到的两部数学著作。《算学启蒙》从简单的四则运算入手，一直讲到当时数学的重要成就——开高次方和天元术，包括了已有数学的方方面面，形成了一个完备的体系，是一部很好的数学启蒙教材。可能受南宋日用和商用数学的影响，以及杨辉著作的启发，朱世杰在书的最前面给出了包括乘法九九歌诀、除法九归歌诀等口诀，以利于更多的人阅读。
据史载，明世宗也曾学习《算学启蒙》，并与大臣商讨过，可是到了明末这部书却在中国失传。好在它出版不久便流传至朝鲜和日本，并被多次注释，对日本的和算尤有影响，直到清朝道光年间（1839），才在它的诞生地扬州依据朝鲜的一个版本重新刻印。与《算学启蒙》的通俗性相比，《四元玉鉴》则是朱世杰多年研究成果的结晶，其中最重要的成果是，把李冶的天元术从一个未知数推广到二元、三元乃至四元高次联立方程组上，这就是所谓的“四元术”。
朱世杰的“四元术”是这样的，令常数项居中，然后“立天元一于下，地元一于左，人元一于右，物元一于上”。也就是说，他用天、地、人、物来表示四个未知数，即今天的x、y、z、w。例如，方程 x + 2y +3 z + 4w + 5xy + 6zw = A 可以表示成下列图表
4 6
2 A 3
5 1
朱世杰不仅给出了这种图表的四则运算法则，还发明了消元法，可以依次消元，最后只留一个未知数，从而求得整个方程的解。在欧洲，直到18世纪，才由西尔维斯特、凯莱等人用近代方法（譬如矩阵）对消元法进行了较为全面的研究。除了四元术以外，朱世杰还对高阶等差级数求和做了深入探讨，在沈括、杨辉工作的基础上，给出了一系列更为复杂的三角垛的计算公式，并在牛顿（1676）之前给出了插值法（招插术）的计算公式。
比利时出生的美国人乔治·萨顿（1884-1955）被公认为是科学史这门学科的奠基人，并享有“科学史之父”的美名，“萨顿奖章”是科学史界的最高荣誉，而第一个获奖人就是他自己（1955年，李约瑟也曾在1968年获此奖），萨顿精通包括汉语、阿拉伯语在内的14种文字，是中国语言学家赵元任留学哈佛时的导师。就是这样一个萨顿，他评价朱世杰是“汉民族的，他所生存的时代的，同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”，并称赞《四元玉鉴》是“中国数学著作中最重要的一部，同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。
四、结束语
遗憾的是，《四元玉鉴》之后，元朝再无高深的数学著作出现。到了明朝，虽然农、工、商业仍在发展，《几何原本》等西方典籍也传入了中国，却由于理学统治、八股取士、大兴文字狱，禁锢了人们的思想，扼杀了自由创造。明朝数学水平远低于宋元，数学家看不懂祖先取得的增乘开方法、天元术、四元术。汉唐宋元数学著作不仅没有新的刻本，反而大多失传。直到清朝后期，才出了一个李善兰，他是近代科学的先驱人物和传播者。可惜，由于当时的中国数学已经远远落后于西方，李氏一个人已经无力追赶。
写到这里，我想提一下深受中国文化影响的日本数学，在明末清初中国数学停滞不前状态时，江户（今东京）诞生了数学神童关孝和（1642-1708）。关仅比牛顿大几个月，后来被公认为是日本数学的奠基人。关的养父是一位武士，他自己也曾担任慕府直属的武士和首相府的会计检查官。他改进了朱世杰饿天元术算法，建立起了行列式的数学理论，比莱布尼兹的理论更早也更广泛。在微积分学方面他也有重要发展，只是由于武士的谦逊和各学派之间的保密，我们不知道那些成就属于他个人。他和他的学生组成的“关流”是和算最大的流派，他本人被尊称为日本的“算圣”，
综观包括中世纪在内的古代中国数学史，数学家们大多是在以八股文取得一定的功名之后，才从事自己喜欢的数学研究。他们没有希腊的亚历山大大学和图书馆那样的群体研究机构和资料信息中心，只能以文养理或以官养理。这样一来，就难以全身心地投入研究。以数学进步较快的宋朝为例，多数数学家出身低级官吏，他们的注意力主要放在平民百姓和技术人员关心的问题上，因此忽略了理论工作。即使是著述，也大多以注释前人著作的方式进行。
不过，若是把中国古代数学与其他古代民族，如埃及人、巴比伦人、印度人、阿拉伯人的数学，甚至中世纪的欧洲各国进行比较，还是很值得骄傲的。希腊数学就其抽象性和系统性而言，以欧几里得几何为代表，它的水平无疑是很高的，但在代数领域，中国人的成就不见得逊色，甚至可能略胜一筹。中国数学的最大弱点是，缺少一种严格求证的思想，为数学而数学的情形极为罕见（一个突出的例子是规矩和欧几里得作图法的差异），这一点与贪求功名的文人一样，归因于一种功利主义。
功利主义当然有它的社会根源，学者们总是首先致力于统治阶级要求解决的问题。在中国古代，数学的重要性主要是通过它与历法的关系显现出来，后者因为与信仰有关而成为帝王牢牢掌控的一个特权。赵爽证明勾股定理以后，便用它来求取某些与历法相关的一元二次方程的根；祖冲之之所以偏爱用约率和密率来表示圆周率，目的是为了准确地计算闰年的周期；而秦九韶的大衍术（中国剩余定理）主要用来上元积年的推算，后者可以帮助确定回归年、朔望月等天文常数。
在古代中国，一旦农业连续几年欠收，饥荒导致人口减少，统治者便担心民众造反，尤其是农民揭竿起义。把责任归咎于历法不够准确，影响了农事，无疑是一种很好的借口和逃脱。如此一来，朝廷便会颁布诏书，着令学者们重新制订历法。这样一来，数学家们便忙碌开了，其结果必然是，最杰出的头脑总是围绕着那几个古老的计算问题，他们普遍缺乏开创新天地的勇气和胆量。
印度人和波斯人
人们可以写一部印度历史，一直写到距今四百年前而不提到一个“海”字。
——韦尔斯
从《鲁拜集》的诗篇里可以看出，宇宙的历史是神构思、演出、观看的戏剧。
——博尔赫斯
一、从印度河到恒河
1、雅利安人的出场
大约在4000年以前，正当埃及人、巴比伦人和中国人以不同的方式各自发展河谷文明的时候，有一支操印欧语的游牧民族长途跋涉，从中亚细亚越过外喜马拉雅山进入北印度并留了下来。这些人被称为雅利安人（Aryan），这个词源自梵文，本意是“高贵的”或“土地所有者”。另一部分雅利安人则西迁，成为伊朗人和欧洲人的祖先。据说北欧和日耳曼诸民族是最纯粹的雅利安人，以至于有人鼓吹“高贵人种”说，这个谬论在上个世纪三、四十年代曾被希特勒及其追随者利用。
在雅利安人到来之前，印度已经有被称为达罗毗荼人的原住民，他们的历史至少可以上溯到此前1000多年，据说是从巴基斯坦的西部越过印度河延扩而来，至今仍有四分之一的印度人操属于达罗毗荼语系的语言，其中南方的泰卢固语和泰米尔语等四种语言还属于印度官方语言。遗憾的是，早期达罗毗荼人所用的象形文字和中国的殷商甲骨文一样尚未解破，因此，那个时期（也可谓是河谷文明）包括数学在内的印度文明我们所知甚少。
雅利安人在印度西北部站稳脚跟以后，继续向东推进，横穿了恒河平原，抵达今天的比哈尔邦（人口逾亿，密度是日本的两倍）一带。他们征服了达罗毗荼人，使得北部地区成为印度的文化核心区，包括吠陀教（印度教前身）、耆那教、佛教以及很久以后的锡克教等均诞生在这里。雅利安人的影响逐渐扩散到整个印度，他们在到达以后的第一个千年里，创造了书写和口语的梵文。吠陀教也是雅利安人创造的，这是印度最古老而又有文字记载的宗教。可以说，古代印度的文化便是根值于吠陀教和梵语之上。
吠陀教是一种重视祭礼的多神教，尤其崇拜一些与天空和自然现象有关的男性神灵，与继而兴起的印度教很不相同。祭礼以宰牲献祭为中心内容，同时还要榨制和饮用苏摩酒（Soma）。苏摩是一种属性不明的植物，茎中的液汁经过羊毛过滤，和以水与奶。信徒珍视苏摩酒，因为它使人兴奋，甚至会产生幻觉。至于献祭的目的，自然是为了神灵能以大量牲畜、好运、健康长寿和男性子孙等物质利益相回报。可是，过于繁琐的仪式和清规戒律使得吠陀教日渐衰落。
吠陀教因其惟一的圣典《吠陀》而得名，后者成书于公元前15世纪到前5世纪，历时1000年左右。吠陀（Veda）的本意是“知识”、“光明”，这部圣典的主体部分是用梵文写的，其中最重要、也是最古老的是几个吠陀本集，既有对诸神的颂诗，也有散文体或韵文体的祭辞。书中把印度社会分成4个等级或种姓，分别是婆罗门（祭司）、刹帝利（统治者）、吠舍（商人）和首陀罗（非雅利安族奴隶），这种划分基本上仍存在于后世的印度教中。
除了本集以外，《吠陀》还有《婆罗门之书》作为附属，用以对祷颂诗和祭辞的阐释和说明。《婆罗门之书》分为三部分，即《梵书》、《森林书》和《奥义书》。《梵书》说的是祭典方法，《森林书》描述礼拜上天和灵性修持的各种不同方法，《奥义书》则揭示如何摧毁个体灵魂的无明，引导灵性修持者获得最高的智慧和完美的成就，以及解脱我们对物质世界、世俗诱惑和肉体小我的执着。以上著作均属于“天启”，而根据人们记忆“传承”的经典则首推《薄伽梵歌》，这本书的一条箴言是：宁静即瑜伽。
《吠陀》最初由祭司口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上。虽然大部分已经失传，但幸运的是，残留的《吠陀》中也有论及庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》，即《绳法经》。这是印度最早的数学文献，此前只有在钱币和铭文上看到零碎的数学符号，其中有一些数学问题涉及祭坛设计中的几何图形和代数计算，包括勾股定理的应用，矩形对角线的性质、相似图形的性质，以及一些作图法等等，拉绳测量和基本几何体的面积计算是必不可少的。
2、《绳法经》和佛经
《绳法经》成书年代大约为公元前8世纪至2世纪，不晚于印度两大古典史诗《摩诃婆罗多》和《罗摩衍那》。据说现在保存较好的《绳法经》共有4种，分别以其作者或作者所代表的学派命名。书中包含了修筑祭坛的法则，包括祭坛的形状和尺寸，最常用的三种形状是正方形、圆和半圆，但不管那种形状，祭坛的面积必须相等。因此，印度人要学会（或已经学会）作出与正方形等面积的圆，或两倍于正方形面积的圆，以便采用半圆形的祭坛。另外一种形状是等腰梯形，甚至其他等面积的几何图形，这就提出了新的几何问题。
在设计这类规定形状的祭坛时，必须要懂得一些基本的几何知识和结论，例如毕达哥拉斯定理。按照数学史家M·克莱因的描述，印度人陈述这个定理的方式非常独特，“矩形对角线生成的面积（正方形）等于矩形两边各自生成的两块面积之和。”显而易见，不同与《周髀算经》里源自日高测量的需要。这段时期的印度数学只不过是一些不相连贯的用文字表达的求面积和体积的近似法则，这些法则当然都是经验的，没有任何演绎证明。
举例来说，如果要修筑两倍于某正方形面积的圆形或半圆祭坛，需要用到圆周率，《绳法经》里记载了以下近似值：
$pi = 4(1 – 1/8 +1/{8xx29} - 1/{8xx20xx6} - 1/{8xx29xx6xx8} )^2= 3.0883$
此外，还有人用到了 和$pi=4xx{8/9}^2 = 3.16049$的近似值。而在设计面积为2的正方形祭坛的边长时，又需要知道$sqrt(2)$的值。《绳法经》有这样的记载，
$sqrt{2} = 1+1 /3+1/(3xx4)- 1/(3xx4xx34}= 1.4124215686$
精确到小数点后五位。值得注意的是，这里的表达式和上文$pi$的表达式全部采用了单位分数，这与埃及人的记法完全一致，不知是属于“惊人的巧合”，还是一种传承。
公元前599年，耆那教的创始人摩诃毗罗（又称大雄）出生在比哈尔邦，与比他小36岁的佛教始祖释迦牟尼的出生地颇为邻近。两人还有许多共同点，例如，他们都是部落首领的儿子，都在优越的环境中长大，都是在30岁前后放弃财产、家庭和舒适的生活，离家去过流浪生活并寻找真理。不同的是，（除了妻子以外）释迦牟尼扔下的是襁褓中的儿子，而摩诃毗罗抛弃的是年幼的女儿。耆那教和佛教几乎是同时兴起，都是为了反对吠陀教的繁文缛节和婆罗门至上的种姓制度。
耆那在梵语里的本意是胜利者或征服者，这门宗教认为没有创世之神，时间无尽无形，宇宙无边无际，万物分为灵魂与非灵魂。耆那教的兴趣和原始经典所涉及的范围非常广泛，除了阐明教义以外，还在文学、戏剧、艺术、建筑学等方面作出了重要贡献，也包含了数学和天文学上的基础原理和结论。在公元前5世纪到2世纪一些用普拉克利特方言（比梵文更古老的语言，原意是俗语，梵文即雅语）书写的读物中，出现了诸如圆周长$C =sqrt{10 r}$，弧长$s =sqrt{a^2+ 6h^2}$等近似计算公式。
相比之下，佛陀认为一切无常，无论是外在事物或个人的身心总体，都在不断变化。因此，它不可能规定诸如祭坛的面积。佛教接纳一切人，不分种姓，不承认人与人之间有任何本质差异。比起耆那教和印度教来，佛教更像是一种哲学观念，尤其在印度。佛教的时间观念也很特别，多少体现出一种数学味道。例如，可能是因为印度一年有三个季节（雨季、夏季、旱季），佛经里把昼夜也各分三个部分，分别是上日、中日和下日，初夜、中夜和后夜。至于年份，则一百年为一世，五百年为一变，一千年为一化，一万两千年为一周。
更有意思的是时间的分割，佛学中大抵以“剎那”为最小时间单位。梵语里有“剎那”和“一念”，一念有90剎那，所谓“少壮一弹指，六十三剎那”。可是，“剎那”的真量，除佛陀外皆不能尽知。于是，有了以下诗歌，
我们看到月亮的圆缺，知道时间运转不息；
我们体察心念的生灭，知道光阴的短暂。
在耆那教和佛教兴起的同时（公元前6世纪），灵魂再生、因果报应和通过冥思苦想来摆脱轮回的观念在吠陀教徒中广为流传，它也脱胎变成了印度教。从此以后，这个涉及几乎全部人生的新教逐步主宰了整个印度次大陆（耆那教在印度仅限于西部和北部的少数几个邦，而佛教的影响主要在东南亚等地，在印度则已蜕化成为一种哲学体系和道德规范），甚至成为南亚许多民族的信仰、习俗和社会宗教制度。与此同时，数学也逐渐脱离了宗教的影响，成为天文学的有力工具。
3、零号和印度数码
到了公元前5世纪中叶，位于比哈尔邦的摩揭陀国征服了整个恒河平原，为日后的孔雀帝国（约公元前321-前185）的繁荣昌盛打下了基础，这一泛印度国家在阿育王（公元前3世纪）时代达到鼎盛。阿育王被认为是印度历史上最伟大的君主，毕生致力于佛教的宣扬和传播，他是佛陀之后使佛教成为世界性宗教的第一人，犹如基督教的使者保罗。阿育王的祖父是孔雀王朝的创立者，他在驱逐亚历山大大帝的同时或稍后，征服了印度北部，建立起印度历史上第一个帝国。
说到亚历山大的入侵，那是一次奇迹般的漫游，架起了一座连接西方的希腊和东方的印度的桥梁。在到达里海南岸后，亚历山大的军队继续向东行进，建造了阿富汗的两座名城：赫拉特和坎大哈，向北进入中亚的撒马尔罕。他并没有占领，而是挥师南下，穿过兴都库什山脉的缝隙，从喀布尔以东的开伯尔山口（很可能就是当年雅利安人迁徙的路线）进入印度，与一支由阿育王的祖父率领的英勇的军队打了一仗，本来还想继续东进，越过沙漠到达了恒河地区。可是由于经过多年征战，士兵们已精疲力尽，亚历山大只好掉头返回波斯。
可是，这次短暂的远征留下了不可磨灭的痕迹，开启了希腊和印度的交流，据说到了罗马时代，亚历山大商人在南印度拥有许多定居区，他们甚至在那里建立起奥古斯都神庙，由此可见其影响力。定居点通常由两队罗马士兵守卫，罗马皇帝也曾派遣使臣到南印度。至于在数学和其他科学领域，希腊文明对印度人肯定也有影响。公元5世纪的一位印度天文学家这样写到，“希腊人虽不纯正（凡信仰不同的人都被视为不纯正的）但必须受到崇敬，因他们对科学训练有素并在这方面超过他人。”
1881年夏天，在今天巴基斯坦（当时和古代大部分时间属于印度）西北部距离白沙瓦约80公里的一座叫巴克沙利的村庄，一个佃户在挖地时发现了书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”，上面记载了公元纪年前后数个世纪的数学（也称耆那教数学），内容十分丰富，涉及到分数、平方数、数列、比例、收支与利润计算、级数求和和代数方程等等。还引进了减号，状如今天的加号，不过写在减数的右边。最有意义的是，手稿中出现了完整的10进制数码，其中零号用实心的点表示。
表示零的点号后来逐渐演变成为圆圈，即现在通用的“0”号，它至晚在公元9世纪就已出现，因为在876年的一块瓜廖尔石碑上，清晰地刻着数“0”。（有意思的是，在阿拉伯人的文献中，0号出现得更早。）瓜廖尔是印度北方的一座城市，属于人口最密集、且与比哈尔邦相邻的中央邦，它们同处于恒河流域。据说石碑是在一个花园里，上面刻着宽和长，预备每天供给当地庙宇的花环或花冠数，其中的两个“0”号虽然不大，但却写得非常清晰。
印度人用正数表示财产、负数表示欠债。而用圆圈符号“0”表示零，则是印度人的一大发明。“0”既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，它是数的一个基本单位，可以与其他数一起计算。相比之下，早期巴比伦楔形文书和宋元以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号。后来的巴比伦人和采用20进制的玛雅人虽然引进了零号（玛雅人是用一只贝壳或眼睛），但仅仅是表示空位而没有把它看作是一个独立的数。
值得一提的是，瓜廖尔石碑上所刻的数字比起阿拉伯文中的数字来，更接近于今天全世界通用的“阿拉伯数字”。难怪它的学名叫做“印度-阿拉伯数系”，或“印度数码”。公元8世纪以后，印度数码和零号便先后传入阿拉伯世界，再通过阿拉伯传到欧洲，13世纪初，斐波那契的《算盘书》里已有包括零号在内的完整的印度数码的介绍。印度数码和10 进制记数法被欧洲人普遍接受后，在近代科学的进步中扮演了重要的角色。而在印度，数学史也成了几个顶尖数学家的历史。
二、 从北印度到南印度
1、阿耶波多
公元476年，在距离巴特那不远的恒河南岸，诞生了一位现今我们所知有确切生年的最早的印度数学家阿耶波多。巴特那现在是比哈尔邦的首府，原先的名字叫华氏城（巴特那是16世纪阿富汗人重建时取的名），释迦牟尼晚年曾行教至此，它是印度历史上最强盛的两个王朝——孔雀和笈多（约公元320-540）的都城。笈多王朝是中世纪统一印度的第一个王朝，疆域包括今天印度北部、中部和西部的大部分地区，期间诞生了10进制记数法、印度教艺术和伟大的梵文史诗、戏剧《沙恭达罗》和她的作者迦犁陀娑。
阿耶波多出生时，笈多王朝的首都已经西迁，华氏城开始衰落，但仍为学术中心（玄奘后来曾来此取经）。与后来的印度数学家一样，阿耶波多的数学工作是为了研究天文学和占星术而产生的，他在故乡和华氏城著书立说，代表作有两部，一部是《阿耶波多历书》（499），另一部算术书已失传。《阿耶波多历书》的主要部分是天文表，但也包含了算术、时间的度量、球等数学内容。该书在公元800年左右被译成拉丁文，流传到了欧洲，在印度尤其是南印度影响甚广，曾被多位数学家评注。
阿耶波多在印度率先求得$pi=3.1416$，但其方法不得而知（有人说他是通过计算圆内接正384边形的周长），或许与中国的$pi$有关系。在三角学方面，阿耶波多以制作正弦表闻名。古希腊的托勒玫也制作过正弦表，但他把圆弧和半径的长度用不同的度量划分，非常不便。阿耶波多作了改进，他默认曲线和直线用同一单位度量，制作了从0度到90度每隔$3^@3'/4$的正弦表。阿耶波多把半弦称作jiva，意思是猎人的弓弦，阿拉伯人把它译成dschaib，意思是胸膛、海湾或凹处，到了拉丁文里又变成了 sinus，“正弦”（sine）一词即来源于此。
在解答算术问题时，阿耶波多经常采用试位法和反演法。所谓反演法就是从已知条件逐步往回推，例如，他曾描述过这样的问题：“带着微笑眼睛的美丽少女，请你告诉我，什么数乘以3，加上这个乘积的$3/4$，然后除以7，减去此商的$1/3$，自乘，减去52，取平方根，加上8，除以10，得2？”根据反演法，我们从2这个数开始往回推，于是， $(2xx10-8) ^2 + 52=196$，$sqrt{196}=14$，$14xx3/2xx7xx4/7-:3=28$，即为答案。从中我们也可以看出，印度数学家是用数的语言来表达这类算术问题的。
阿耶波多最有意义的工作是求解一次不定方程 $a x + b y = c$，他利用了所谓的库塔塔（kuttaka，意思是粉碎或碾细）方法。例如，设 $a > b > 0$，$c =(a, b)$ 是 a和b的最大公因数，则
$a = b q_1 + r_1, 0 <= r_1 < b$,
$b = r_1 q_2 + r_2, 0 <= r_2 < r_1$,
$ ... $
$r_{n-2} = r_{n-1} q_{n-1} + r_n, 0 <= r_n < r_{n-1}$,
$r_{n-1} = r_n q_n$
依次迭代，可将$c =(a, b)= r_n$最后表示成a和b的线性组合，即求得上述不定方程的整数解x和 y。
事实上，这种方法就是中国人所说的辗转相除法（在西方则叫欧几里得算法），只是希腊人的这套方法并不完善，即使是最后一个数论大家丢番图，仍只考虑此类方程的正整数解，阿耶波多和他的后继者则取消了这个限制。在天文学上，阿耶波多也有很多贡献，他用数学方法计算出了黄道、白道的升交点和降交点的运动，某些星辰的最迟点和迟速运动，甚至提出过日食和月食的推算方式，以及地球自转的想法，可惜未得到后世同胞的认可和响应。为了纪念阿耶波多，印度发射成功的第一颗人造卫星以他的名字命名（1975）。
2、婆多摩笈多
阿耶波多之后，印度要等上一个多世纪才出现下一个重要的数学家，那就是598年出生的婆罗摩笈多。有意思的是，在这段时间，整个世界（无论东方还是西方）都没有产生一个大数学家。婆罗摩笈多的祖籍可能是在今天巴基斯坦南部的信德省，该省的首府是全国最大城市——卡拉奇，但婆罗摩笈多出生在印度中央邦西南部的城市乌贾因，并在这里长大。与比哈尔邦毗邻的中央邦是印度面积最大的邦，这两个邦是古代印度政治、文化和科学的中心地带。
乌贾因虽说不曾做过统一王朝的都城（笈多王朝之后印度一直处于分裂状态），却是印度7大圣城之一，北回归线经过城市的北郊，印度地理学家确定的第一条子午线也穿越其中，它是继巴特那之后印度古代数学和天文学的中心，也是大诗人、戏剧家迦犁陀娑的诞生地，他被认为是印度历史上最伟大的作家。由于这两座城市相距将近一千公里（乌贾因离开孟买比离开巴特那更近），这就意味着印度科学中心向西南转移。据说阿育王继位以前，父王曾派他到乌贾因担任总督。婆多摩笈多成年以后，一直在故乡乌贾因天文台工作，在望远镜出现之前，它可谓是东方最古老的天文台之一。
婆多摩笈多留下了两部天文学著作，《婆罗多修正体系》（628）和《肯德卡迪亚格》（约665），后者是在作者去世后刊出的，其中包括了正弦函数表，他利用了不同于阿耶波多的方法，即二次插值法。《婆罗多修正体系》包含的数学内容更多，全书共分24章，其中《算术讲义》和《不定方程讲义》两章是专论数学的，前者研究三角形、四边形、二次方程、零和负数的算术性质、运算规则，后者研究一阶和二阶不定方程。其他各章虽然是关于天文学研究，但也涉及到不少数学知识。
以零的运算法则为例，婆多摩笈多这样写到，“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零……零除以零是空无一物，正数或负数除以零是一个以零为分母的分数”。最后这句话是印度人提出以零为除数问题的最早记录，将零作为一个数进行运算的思想被后来的印度数学家所继承。他也提出了负数的概念和记号，并给出了运算法则，“一个正数和一个负数之和等于它们的差”，“一个正数与一个负数的乘积为负数，两个正数的乘积为正数，两个负数的乘积为正数”，这些在世界上都是领先的。
婆多摩笈多最重要的数学贡献是解下列不定方程
$n x^2 + 1 = y^2$
其中n是非平方数，虽然婆多摩笈多是第一个研究此类方程的数学家，却被欧拉错误地命名为佩尔方程（Pell’sequation，佩尔是17世纪的英国数学家）。婆多摩笈多给出了佩尔方程的一种特殊解法，并命名为“瓦格布拉蒂”，他的方法是非常巧智的，这项成就在数学史上占有一席之地。
此外，婆多摩笈多给出了有关一元二次方程根和系数关系的韦达定理，可惜丢了一个根。他还得到边长分别为a、b、c、d的四边形的面积公式，即
$S =sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}
其中$p = {a+b+c+d}/2$。可以想象，婆多摩笈多一定为这个结果感到得意，但实际上，它仅仅对圆内接四边形才正确。最后，值得一提的是，利用两组相邻三角形的边长比例关系，给出了毕达哥拉斯定理的一个漂亮证明。
3、马哈维拉
婆多摩笈多是个有思想的数学家，可惜这方面和他的生平资料一样留下来的很少，他曾经说过，“正如太阳之其光芒使众星失色，学者也以其能提出代数问题而使满座高朋逊色，若其能给予解答则将使侪辈更为相形见拙。”想必在他生活的年代，乌贾因地区有着很好的学术氛围，史上也有所谓的乌贾因学派之说。遗憾的是，在婆多摩笈多去世后的4个多世纪里，乌贾因再没有出现杰出的数学家。倒是在南印度的卡纳塔克邦，诞生了两位数学天才——马哈维拉和婆什迦罗。
印度的面积不过300万平方公里，且南北的长度少于东西的长度，可是“南印度”的概念却扎根在人们心中，在世界上找不到第二个国家。印度南方有地势高耸的德干高原及其北缘的两座山脉形成天然屏蔽，加上纳巴达（讷尔默达）河的护卫，使其免受北方历代王朝或帝国的入侵，来自北方的多次征讨都遭到南方的猛烈抵抗。雅利安人并没有带来他们的饮食习惯，亚历山大的军队未曾涉足，穆斯林和蒙古人的入侵只是点到为止，甚至法兰西和不列颠的影响也微乎其微。
我们对阿育王时代以前的南印度了解甚少，但有一点是明确的，即使分裂成相互对抗的集团，南印度也完全与雅利安人控制下的北方有着同样丰富和先进的文化，无论宗教、哲学、价值观、艺术形式和物质生活等方面。南方几个较大的独立政权国家或王朝为取得支配权而相互竞争，但谁也始终未能将整个地区统一起来置于自己的控制之下。每个王朝都与东南亚保持着发达的海上贸易关系，每个王朝的政治和文化生活都围绕着以寺庙建筑为主的首都展开。
在南方的诸多王朝里，有一个叫拉喜特拉库塔，大约在公元755至975年统治着德干高原及其附近的一块土地（“德干”来源于一个意思为“南方”的梵文词汇）。这个王朝最初可能起源于达罗毗荼族农民，一度建立起庞大的帝国，以至于有一个穆斯林旅行者在他的书里把王朝的统治者称为世界四大帝王之一（另外三个是哈里发、拜占廷皇帝和中国皇帝）。特立尼达出生的印裔英国作家奈保尔也提到过，在离开班加罗尔200英里外的地方有一处维加雅那加王国的都城遗址，曾经是世界上最伟大的城市之一，但那是在14世纪。
就在拉喜特拉库塔王朝处于鼎盛时期时，马哈维拉出生于迈索尔的一个耆那教徒家庭，他的名字与耆那教的创始人大雄相同。迈索尔如今是印度西南海岸卡纳塔克（本意是“高地”）邦的第二大城市，位于两座名城班加罗尔和卡利卡特之间。班加罗尔作为是克纳塔克邦的首府，如今已是印度的硅谷和国立数学研究所的所在地；而卡利卡特既是中国航海家郑和的葬身之地，也是葡萄牙人达·伽马绕过好望角抵达印度的港口。马哈维拉成年后，在拉喜特拉库塔王朝的宫廷里生活过很长一段时间。
大约在公元850年，马哈维拉撰写《计算精华》一书，该书曾在南印度被广泛使用。1912年，这部书又被译成英文在马德拉斯出版。此书是印度第一部初具现代形式的教科书，现今数学教材中的一些论题和结构已在其中可以见到。更为稀罕的是，《计算精华》是一部纯粹的数学书，几乎没有涉及到任何天文学问题，这也是与前辈们不同的地方。全书共分9章，其中最有价值的研究成果包括：零的运算、二次方程、利率计算、整数性质和排列组合。
马哈维拉指出，一数乘以0得0，并说减去0并不使此数减少，他还给出了除以一分数等于乘以此数的倒数，甚至提到一数除以零为无穷量。有趣的是，以中国数学家杨辉潜心于幻方一样，马哈维拉也着迷于一种叫花环数的游戏。将两整数相乘，若其乘积的数字呈中心对称，马哈维拉称之为“花环数”。他对这种特殊整数的构成规律进行了研究，例如，
14287143×7 = 100010001，
12345679×9 = 111111111，
27994681×441 = 12345654321。
耆那教的典籍中含有一些简单的排列组合问题，马哈维拉率先给出了今天我们熟知的二项式系数的计算公式，即若 ，
$C_n^r={n(n-1)...(n-r+1)}/{r(r-1)...1}$，
此时离开贾宪生活的时代尚有2个世纪。此外，他改进了一次不定方程的库塔卡方法，对古老的埃及分数做了深入研究，证明1可表示成任意多个单分数之和，任何分数均可表示成偶数个指定分子的分数之和，等等。他还详细地研究了平面几何的作图问题，以及椭圆周长和弓形面积的近似计算公式，后者与中国《九章算术》里的结果不谋而合。
4、婆什迦罗
最后，我们终于要谈到印度古代和中世纪最伟大的数学家、天文学家婆什迦罗了。公元1114年，婆什迦罗出生在印度南方德干高原西侧的比德尔，该城位于海德拉巴到孟买的公路和铁路线上，和马哈维拉的故乡迈索尔同属于卡纳塔克邦。婆什迦罗的父亲是正统的婆罗门，曾写过一本很流行的占星术著作。婆什迦罗成年后，来到乌贾因天文台工作，成为婆多摩笈多的继承者，后来还做了这家天文台的台长。
到12世纪，印度数学已经积累了相当多的成果。婆什迦罗通过吸收这些成果并作进一步研究，取得了高出前人一筹的成就。他的文学造诣也很深，其著作弥漫着诗一般的气息。婆什迦罗的重要数学著作有两部——《莉拉瓦蒂》和《算法本源》。《算法本源》主要探讨代数问题，涉及到正负数法则、线性方程组、低阶整系数方程求解等，还给出毕达哥拉斯定理的两个漂亮证明，其中一个与赵爽的方法相同，另一个直到17世纪才被英国数学家沃利斯重新发现。他在书中谈到了朴素而粗糙的无穷大概念，他写到，
一个数除以零便成为一个分母是符号0的分数。例如3除以0得$3/0$。这个分母是符号0的分数，称为无穷大量。在这个以符号0作为分母的量中，可以加入或取出任意量而无任何变化发生，就像在世界毁灭或创造世界的时候，那个无穷的、永恒的上帝没有发生任何变化一样，虽然有大量的各种生物被吞没或被产生出来。
《莉拉瓦蒂》的内容更广泛一些，全书从一个印度教信徒的祈祷开始展开。说到这部书，流传着一个浪漫的故事。据说莉拉瓦蒂是婆什迦罗宠爱的女儿的名字，占卜得知，她婚后将有灾祸降临。按照父亲的计算，如果婚礼在某一时辰举行，灾祸便可以避免。但到了那天，正当新娘等待着“时刻杯”中的水平面下落，一颗珍珠不知什么原因从她的头饰上滑落，堵在杯孔上，水不再流出了，从而无法确认“吉祥的时辰”。婚礼未能如期举行，婚后果然莉拉瓦蒂失去了丈夫。为了安慰她，婆什迦罗教她算术，并以她的名字命名了自己的著作。
婆什迦罗对数学的主要贡献有，采用缩写文字和符号来表示未知数和运算，熟练地掌握了三角函数的和差化积等公式，比较全面地讨论了负数，他称之为“负债”或 “损失”，并在数码上方加小点表示。婆什迦罗写到，“正数、负数的平方常为正数，正数的平方根有两个，一正一负；负数无平方根，因为它不是一个平方数。” 希腊人虽然早就发现了不可通约量，但却不承认无理数是数。婆什迦罗和其他印度数学家则广泛使用了无理数，并在运算时和有理数不加区别。
作为婆多摩笈多数学事业的继承人，婆什迦罗对这位老前辈的每项工作都曾深入了解和研究，并将有些结果做了改进，尤其是佩尔方程$n x^2 + 1 = y^2$的求解。而作为一个天文学家，婆多摩笈多也是硕果累累，他涉及的领域包括球面三角学、宇宙结构、天文仪器，等等。无不带有数学家的观点和眼光，例如，他用微分学的“瞬时法则”来研究行星的运动法则。据说后人在巴特勒发现一块石碑，记载了1207年8月9日，当地权贵捐给一个教育机构一笔款项，用以研究婆多摩笈多的著作，此时他已经去世二十多年了。
值得一提的是，在印度这块殖民地上，除了诞生萨克雷、奥威尔和吉卜林这样的英国作家，也诞生过两位英国数学家。19世纪初和20世纪初，在南印度泰米尔纳德邦的马杜赖和马德拉斯，数理逻辑学家德·摩尔根和拓扑学家亨利·怀特海相继出生。前者断言亚里士多德传下的逻辑不必要地受到了限制，并成为现代数理逻辑学的奠基人。后者对拓扑学中同伦论的发展做出了重大贡献，并最先给出了微分流形的精确定义。有意思的是，也是在泰米尔纳德邦，19世纪后期还诞生了一位享誉世界的印度数学天才拉曼纽扬。
三、神赐的土地
1、阿拉伯人的帝国
阿拉伯帝国的兴盛被认为是人类历史上最精彩的插曲之一，这当然与先知穆罕默德的传奇经历有关。公元570年，穆罕默德出生在阿拉伯半岛西南部的麦加。与耆那教和佛教的始祖摩诃毗罗和释迦牟尼不同，他的祖父虽是部落首领，但他从小就是孤儿，并因此无权继承遗产。麦加当时是一个远离商业、艺术和文化中心的落后地区，穆罕默德在极其艰苦的条件下长大成人。25岁那年，由于他娶了一位富商的遗孀，经济状况才得到改善。直到40岁前后，他的生命才有了奇妙的变化。
穆罕默德领悟到有且只有一个全能的神主宰世界，并确信真主安拉选择了他作为使者，在人间传教。这就是伊斯兰教的来历，它在阿拉伯语里的意思是“顺从”，其信徒叫穆斯林（已顺从者）。根据伊斯兰教的教义，世界末日死者会复活，每个人将依照自己的行为受审。穆斯林有解除他人、救济贫穷这样的义务，而聚敛财富或否认穷人权利将导致社会腐败，会在后世受到严惩。伊斯兰教还强调，一切信徒皆为兄弟，他们共同生活在紧密的集体中，安拉比颈部的血管离你更近。
公元622年，穆罕默德率领大约70名门徒被迫出走，他们来到麦加以北200公里的麦地那。这是伊斯兰教的又一个转折点，其信徒人数迅速增加。居住在阿拉伯半岛上的贝都因人是讲阿拉伯语的游牧民族，以勇猛善战著称，但他们四分五裂，一直不是生活在半岛北部可耕作土地上的其他部落的对手。穆罕默德通过伊斯兰教以及联姻等世俗手段把他们团结起来，开始了史无前例的大规模征战（圣战），他本人曾亲率穆斯林大军进逼叙利亚的边界。
在穆罕默德去世（632）后的10年里，这支军队在他的两任哈里发继承人（均是他的岳父）率领下，击败了波斯萨珊王朝的大军，占领了美索不达米亚、叙利亚和巴勒斯坦，并从拜占廷手中夺取了埃及（给了亚历山大的文明以最后一击）。大约在650年，依据穆罕默德和他的信徒所讲的启示辑录而成的《古兰经》问世，这部书被穆斯林认为是上天的启示，用真主安拉的语言写成，并成为伊斯兰教的四项基本原则（乌苏尔）之首（其它三项分别是圣训、集体的意见和个人判断）。
那以后，阿拉伯人的征战并未结束，公元711年，他们扫平北非，直指大西洋。接着，又向北穿越直布罗陀海峡，占领西班牙。那会儿中国仍处于唐朝的太平盛世，李白还是个孩童，杜甫则在母亲的腹中。在数学界，印度的婆多摩笈多过世已经半个世纪，无论是东方还是西方均没有一个数学家在世。看起来，信奉基督教的整个欧洲岌岌可危，将要被穆斯林的军队攻克。可是，公元732年，已经抵达法国中部的阿拉伯人在图尔战役中战败。
尽管如此，阿拉伯人已经把他们的疆域拓展到东起印度，西至大西洋，北达里海和中亚。迄今为止，这可能是人类历史上最大的帝国。穆斯林军队每到一处，就在那里不遗余力地传播伊斯兰教。公元755年，由于哈里发的权力之争，帝国分裂成了东西两个独立王国，西边的定都西班牙的科尔多瓦，东边的定都叙利亚的大马士革。后者由阿拔斯家族掌握权力之后，重心逐渐东移到了伊拉克的巴格达，在那里阿拉伯人创建了“一座举世无双的城市”，阿拔斯王朝也成为伊斯兰历史上最驰名和最长久的朝代。
2、巴格达的智慧宫
巴格达位于底格里斯河畔距离幼发拉底河最接近处，四周是一片平坦的冲积平原。巴格达一词在波斯语里的意思是“神赐的礼物”，自从公元762年被阿拔斯王朝的第二代哈里发曼苏尔选定为首都之后，这座城市开始兴旺发达，在一个圆形的城墙内，一座座宫殿和建筑拔地而起。到8世纪后期和9世纪前半叶，巴格达在马赫迪及其继承人哈伦·拉希德和麦蒙的领导下，经济繁荣和学术生活都达到顶点，成为继中国长安城之后世界上最富庶的城市。
在世界史上，9世纪是以两位皇帝的姓名开端的，他们在国际事务中占有优越的地位。一位是法兰克国王查理曼，他的爷爷曾成功地在法国图尔阻止了穆斯林军队的扩张，另一位是哈伦·拉希德。这两个人中，哈伦的势力无疑更大一些。出于各自的目的，这两位同时代的东西方领袖人物之间建立了私人的友谊和同盟关系，经常互赠贵重的礼品。查理曼希望哈伦和他一起反对自己的敌人——拜占廷帝国，而哈伦也希望利用查理曼对抗自己的死对头——西班牙的伍麦叶王朝。
无论历史还是传说，都证实了巴格达最辉煌的时代是在哈伦·拉希德在位的时代。不到半个世纪的时间，这座城市就从一个荒村，巴格达发展成为一个拥有惊人的财富的国际大都会，只有拜占廷的君士坦丁堡可以与之抗衡。哈伦是个穆斯林君主的典型，他所表现出来的慷慨大方，像磁石一样，把诗人、乐师、歌手、舞女、猎犬和斗鸡的驯养师，以及所有有一技之长的人都吸引到首都来了。以至于在《一千零一夜》里，哈伦成为灰金如土、穷奢极侈的君主。
与此同时，大约在公元771年，即巴格达建都的第9年，有一位印度旅行家曾带来两篇科学论文，一篇是天文学的。曼苏尔命人把这篇论文译成阿拉伯文，结果那个人就成了伊斯兰世界的第一个天文学家。阿拉伯人还在沙漠里生活的年代，就对星辰的位置很感兴趣，可却没有做过任何科学研究。他们信奉伊斯兰教后，增加了对天文学研究的动力，因为无论处身何地，每天需要5次向麦加方向祈祷朝拜，此乃伊斯兰5功之一的拜功，另4功分别是念功、课功（纳财供赈济贫民）、斋功和朝功（朝觐麦加）。
另一篇是婆多摩笈多的数学论文，欧洲人所谓的阿拉伯数字，阿拉伯人所谓的印度数码，就是由这篇文章传入穆斯林世界的。不过，印度人的数学文化输出十分有限。在阿拉伯人的生活中，希腊文化最后成为一切外国影响中最重要的。事实上，在阿拉伯人征服叙利亚和埃及以后，他们接触到的希腊文化遗产便成为他们眼里最宝贵的财富。之后，他们四处搜寻希腊人的著作，包括欧几里德的《几何原本》、托勒密的《地理志》和柏拉图等人的著作便陆续译成了阿拉伯语。
在哈伦的儿子麦蒙继任哈里发之后，希腊的影响达到了极点。麦蒙本人对理性十分痴迷，据说他曾梦见亚里士多德向他保证，理性和伊斯兰教的教义之间没有真正的分歧。公元830年，麦蒙下令在巴格达建造了智慧宫。那是一个集图书馆、科学院和翻译局于一体的联合机构，无论从哪方面来看，它都是公元前3世纪亚历山大图书馆建立以来最重要的学术机关。很快，它就成为世界的学术中心，研究的内容包括哲学、医学、动物学、植物学、天文学、数学、机械、建筑、伊斯兰教教义或阿拉伯语语法学，等等。
3、花拉子密的《代数学》
在阿拔斯王朝早期这个漫长而有成效的翻译时代的后半时期，巴格达迎来了一个对于科学具有独创性的年代。这其中，最重要、最有影响力的人物便是数学家、天文学家花拉子密（约783-约850）。可惜他的生平资料很少流传下来，一般认为，花拉子密出生在注入咸海的阿姆河下游的花拉子模地区，即今天乌兹别克斯坦境内的希瓦城附近。另一个说法是他生在巴格达近郊，祖先是花拉子模人。但有一点比较肯定，花拉子密是拜火教徒的后裔。
所谓拜火教又名琐罗亚斯德教或袄教、帕西教，迄今已有2500多年的历史，以对火的尊崇，反对戒斋、禁欲、独身和二元神论著称。其创始人琐罗亚斯德比耆那教的创始人摩诃毗罗还要长30岁，他的故乡在今天伊朗的北部，死后他创立的宗教几度成为波斯帝国的国教。从花拉子密是拜火教徒我们可以推测，花拉子密很有可能是波斯人的后裔，即便不是（或许是中亚人），他的精神世界也倾向于波斯这个富有悠久文化传统的民族。反正，他不是纯粹的阿拉伯人，但他无疑精通阿拉伯文。
花拉子密早年在故乡接受教育，后到中亚古城默夫继续深造，并到过阿富汗、印度等地游学，不久成为远近闻名的科学家。时任东部地区总督的麦蒙曾在默夫召见过他。公元813年，麦蒙成为阿拔斯王朝的哈里发后，聘请花拉子密到首都巴格达工作。后来麦蒙创建智慧宫后，他就担任了智慧宫的主要领导人之一。在麦蒙去世后，花拉子密仍在后继的哈里发统治下留在巴格达工作，直至去世。那时的阿拉伯帝国处于政治稳定、经济发展、文化科学事业繁荣的阶段。
花拉子密在数学方面留下了两部传世之作——《代数学》和《印度的计算术》。《代数学》的阿拉伯文原名是《还原与对消计算概要》，其中还原一词al-jabr 也有移项之意。这部书在12世纪的后翻译时代被译成拉丁文，在欧洲产生了巨大影响，其中的al-jabr被译成了algebra，这正是今天包括英文在内的西方文字中的“代数学”，花拉子密的书遂也被称为《代数学》。可以说，正如埃及人发明了几何学，阿拉伯人命名了代数学。
《代数学》大约完成于820年，所讨论的数学问题本身并不比丢番图或婆多摩笈多的问题简单，但它探讨了一般性解法，因而远比希腊人和印度人的著作更接近于近代初等代数，这是难能可贵的。书中用代数方式处理了线性方程组，并率先给出了二次方程的一般代数解法，同时，还引进了移项、合并同类项等代数运算方法。这一切为作为“解方程的科学”的代数学开拓了道路，难怪花拉子密的书在欧洲被用作标准的课本使用了数百年，这对东方数学家来说十分罕见。
婆多摩笈多只给出一元二次方程一个根的求法，花拉子密则求出了两个根。可以说，他是世界上最早认识到二次方程有两个根的数学家。遗憾的是，尽管他意识到负根的存在，但却舍弃了负根和零根。他还指出，（用现在的语言）如果判别式是负的，则方程无（实）根。在给出各种典型方程的解以后，花拉子密还用几何方法给予证明，这一点明显受到欧几里德的影响。因此我们可以说，花拉子密与后来的其他阿拉伯数学家一样，深受希腊和印度两大文明的熏陶，这当然与他们所处的地理位置有关。
《印度计算法》也是数学史上非常有价值的一本书，该书系统地介绍了印度数码和10进制记数法。尽管此前已被那位印度旅行家介绍到巴格达，但并未引起广泛注意，花拉子密使它们在阿拉伯世界流行起来。12世纪，这本书便传入欧洲并广为传播，其拉丁文手稿现存于剑桥大学图书馆。印度数码也逐渐取代希腊字母记数系统和罗马数字，成为世界通用的数码字，以至于人们习惯称印度数码为阿拉伯数字。值得一提的是，该书的原名是《花拉子密的印度计算法》Algoritmide numero indorum ，其中Algoritmi 本是花拉子密的拉丁文译文，现代数学术语“算法”（Algorithm）即来源于此。
在几何学方面，尤其是在面积测量上，花拉子密也有自己的贡献。他把三角形和四边形进行了分类，分别给出了相应的测量公式。又如，他给出了圆面积的近似计算公式，
$S = d^2 -1/7 d^2 - 1/2xx1/7d^2$
此处为圆的半径，该公式相当于圆周率等于$3 1/7~=3.14$。这里阿拉伯人和印度人一样，沿用了埃及人使用单位分数的习惯。花拉子密还给出了弓形面积的公式，并把弓形分为大于（小于）半圆两种情况。
除了数学以外，花拉子密在天文学方面也作出了重要贡献。他汇编了三角表和天文表，以便测定星辰的位置和日月食，并撰写了多部专述星盘、正弦平方仪、日晷和历法的著作。花拉子密用阿拉伯文写出了最早的历史著作，有力地推动了历史学这门学科的发展。因为军事和商业贸易（阿拉伯人是精明的商人）的需要，制作世界地图在当时非常重要，这要用到复杂的数学和天文学知识，花拉子密的《地球景象书》是中世纪阿拉伯世界的第一部地理学专著，书中描述了当时已知世界的重要居民点以及山川湖海和岛屿，并附有四幅地图。
四、波斯的智者
1、欧玛尔·海亚姆
在中世纪的阿拉伯，虽然在数学和科学领域主要受希腊和印度的影响，但在文化方面，无疑波斯的影响更大，这一点不亚于处于希腊文明影响之下的马其顿，后者产生了亚里士多德那样的全才。除了果断和英勇善战以外，阿拉伯人的优点还在于，他们具有出色的组织和管理才能，以及包容大度的良好心态，但在理性和智慧方面，他们尚不及波斯人。事实上，阿拉伯人只有两样东西保全下来，一样是变成国教的伊斯兰教，另一样是是变成国语的阿拉伯语。在首都巴格达，波斯头衔、波斯酒、波斯太太、波斯情妇、波斯歌曲等等，逐渐成为时尚。
相传哈里发曼苏尔本人是第一个戴波斯高帽子的，他的臣民自然效仿了他。在他的政府中，首次出现了波斯的官职——大臣，并且是由一个拥有波斯血统的人担任。哈里发让妻子和这位大臣的妻子相互哺育对方的女儿，并让大臣的儿子教育自己的儿子哈伦。但是好景不长。当哈伦从麦加朝觐回来，却发现这位年轻的老师已让他自己的妹妹怀孕并偷偷地生子，而这个妹妹偏偏因为被哈伦过份宠爱以至于不让嫁人。结果人头落地，那位异乡人的尸体被剖成两半，挂在巴格达的两座桥上示众。
更为不幸的是，麦蒙死后，阿拔斯王朝便走上了下坡路。在巴格达周围，出现了许多小王朝，政局持续动荡，帝国被一点点瓜分，剩下的权力也逐渐被军人掌控。一支警卫军起义了，接着又爆发可黑奴跟名，宗教派别层出不穷，中央政权的根基不断瓦解。这个时候，波斯人和突厥人又把短剑对准了它的心脏。尽管在1067年，巴格达创立了伊斯兰世界的第一所大学——尼采米亚大学，但仍难以吸引像欧玛尔·海亚姆那样聪颖智慧的青年才俊。
大约在1048年，伊斯兰世界最具智慧象征的人物——欧玛尔·海亚姆出生在伊朗东北部霍拉桑地区的古城内沙布尔。“海亚姆”是指制造或经营帐篷的职业，这说明他的父亲或祖辈是从事这项工作的。因为这个原因，他得以跟随父亲在各地漫游，先在家乡，后在阿富汗北部小镇巴尔赫接受教育，接着来到中亚最古老的城市撒马尔罕，海亚姆在当地一位有政治背景的学者庇护下，从事数学研究，完成了用圆锥曲线解三次方程开高次方根等数学发现，并依此完成了一部《代数学》。此外，他在证明欧几里得平行公设方面也做了有益的尝试。
也是在11世纪，一个叫塞尔柱的土耳其突厥人的王朝兴起，领土从伊朗和外高加索一直延伸到地中海，他们也是举着伊斯兰教的旗帜。后来，海亚姆在塞尔柱苏丹马克沙利的邀请之下来到首都伊斯法罕，主持新建的天文台并进行历法改革。事实上，这是海亚姆的立足之本和生活的保障，而数学发现则是他的业余爱好，他提出在平年365天的基础上，每33年增加8个闰日。这样一来，与实际的回归年仅相差19.37秒，即每4460年才误差一天，比现在全世界实行的公历还要准确，可惜因为领导人的更迭未能实施。
海亚姆在伊斯法罕度过了一生的大部分时光，伊斯兰教义、塞尔柱宫廷和波斯血统这三者在他身上交替呈现，时局动荡和个性的怪异使他的生活并不称心如意，他终生独居，并不时把头脑里那些不合时宜的思想悄悄地用波斯语记录下来，以流行在霍拉桑地区的四行诗为载体。恐怕海亚姆自己也没有想到，800年以后一位叫爱德华·菲尔兹杰拉德的英国人把他的诗翻译成英文，取名《鲁拜集》，使他成为名扬世界的诗人，而他的数学发现则成为历史古董。例如，他在一首四行诗中叹息自己的历法改革的夭折（《鲁拜集》第57首），
啊，人们说我的推算高明
纠正了时间，把年份算准
可谁知道那只是从旧历中消去
未卜的明天和已逝的昨日
作为雅利安人的一支，伊朗人很可能是在公元前1000年到前2000年去往欧洲的那支印欧语系的中亚游牧民族的一部分，他们在西迁途中留了下来，“伊朗”一词的原意便是“雅利安人之乡”。那样一来，他们就与先前进入印度的那一支雅利安人同宗。不同的是，后者与被称作达罗毗荼人的原住民通婚，因此肤色变得黝黑。至于波斯（Persia）这个名字，则是由于伊朗中南部地区法尔斯（Fars）的古称为波尔斯（Persis），法尔斯的中心城市是有着“玫瑰花和诗人的城市”之誉的设拉子。
法尔斯是波斯的发祥地，波斯帝国的缔造者居鲁士大帝就出生在那里。公元前6世纪，他从故乡的一个小首领起家，打败了巴比伦等帝国，建立起了从印度到地中海的大帝国。居鲁士死后，他的一个儿子以及他的一个大臣的儿子大流士继续扩张，把埃及也纳入帝国版图，以至于在那里游学的毕达哥拉斯被捕获到巴比伦，而帮助解破巴比伦楔形文字之谜的伊朗西部贝希斯敦石崖上所刻文字正是讲述大流士如何登上王位的一篇铭文。据说柏拉图学园被迫关闭以后，许多希腊学者跑到波斯，播下了文明的种子。
2、大不里士的纳西尔丁
在海亚姆过世约70年（其间意大利的斐波那契和中国的李冶相继出世）以后，波斯的图斯城（也属霍拉桑省）又诞生了一位了不起的智者纳西尔丁。图斯是当时阿拉伯的文化中心，纳西尔丁的父亲是位法理学家，他给儿子以启蒙教育，同城的舅舅则教他逻辑学和哲学，此外，他还学习代数和几何。后来，他来到海亚姆的故乡内沙布尔深造，跟随波斯哲学家兼科学家伊本·西拿的门徒学习医学和数学，逐渐成名。值得一提的是，伊本·西拿的拉丁文名叫阿维森特，他在东方被尊为“卓越的智者”，在西方则被誉为“最杰出的医生”。
此时，蒙古大军正大举西进，阿拉伯帝国摇摇欲坠。为了求得一个安宁的学术环境，纳西尔丁受邀到几处要塞居住，写出了一批数学、哲学等方面的论著。1256年，成吉思汗的孙子、蒙哥大汗的胞弟旭烈兀征服了波斯北部，占领了纳西尔丁所在的要塞。没想到旭烈兀相当敬重纳西尔丁，邀请其入朝担任科学顾问。两年后，纳西尔丁又随他远征巴格达，那是一次残酷血腥的战争，同时宣告了阿拔斯王朝的最后灭亡。
长兄蒙哥去世后，四哥忽必烈继位，成了元世祖，旭烈兀被封为伊儿汉，从此便留在波斯，定都大不里士（伊朗西北部名城，邻近阿塞拜疆，以至于阿国也发行纳西尔丁的纪念邮票）。此前在旭烈兀的批准和资助下，纳西尔丁在城南建造了一座天文台。他广招贤士，著述立说，还制作了许多先进的观察仪器，使得天文台成为当时的重要学术中心。1274年，73岁的纳西尔丁出访巴格达，不幸患病逝世，被安葬在郊外。旭烈兀死在他前面，早已把整个波斯纳入版图，巴格达也不在话下。到他的孙子统治时期，伊儿汗国的领土“东起阿姆河，西至地中海，北自高加索，南抵印度洋”。
纳西尔丁一生勤于著述，留下的论著和书信无数，大多是用阿拉伯文书写，少数哲学逻辑学的用波斯文书写。据说他还懂得希腊语，个别论著中甚至出现了土耳其语。至于内容，涉及了当时伊斯兰世界的所有学科，其中尤以数学、天文学、逻辑学、哲学、伦理学和神学方面的影响较大，它们不仅在伊斯兰世界被奉为经典，也对欧洲科学的觉醒产生了影响，据说纳西尔丁制作的天文观察仪器还被带到了中国，并被同行借鉴。
纳西尔丁在数学方面的著作一共有三部。《算板与沙盘计算方法集成》主要讲算术，他继承了海亚姆的成果，将数的研究扩展到无理数等领域。书中采用了印度数码，谈到了帕斯卡尔（贾宪）三角形，还讨论了求一个数四次或四次以上方根的方法，成为现存的记载这种方法最早的论著。有意思的是，纳西尔丁得出了“两个奇数的平方和不可能是一个平方”这一重要的数论结论，这个结论的证明通常依赖于数论中同余数的理论。
更值得注意的是《令人满意的论著》，这部书讨论几何学特别是欧几里德平行公设。纳西尔丁曾两次修订和注释《几何原本》，对平行公设做了较深入的探讨。纳西尔丁试图利用其他公理和公设证明平行公设，为此沿用了海亚姆的方法，假设一个四边形ABCD，AB和CD等长且均垂直于BC边，则∠A和∠D相等。他证明了，如果∠A与∠D是锐角，则可推出一个三角形的内角和小于180°，这正是罗巴切夫斯基几何的基本命题。
纳西尔丁最重要的数学著作是《横截线原理书》，这是数学史上流传至今最早的三角学专著。在此以前，三角学知识只出现于天文学的论著中，是附属于天文学的一种计算方法，纳西尔丁的工作使得三角学成为纯粹数学的一个独立分支。正是在这部书里，首次陈述了著名的正弦定理：设A、B、C分别为三角形的三个角，a、b、c是它们所对应的边的长度，则
$a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)$
在天文学方面，纳西尔丁的贡献同样卓著，这里我就不多介绍了。据说他的两个儿子也在大不里士南郊的那座当时世界上最先进的天文台里工作，还有一个中国人，他的姓名和来历却无法查证了。据《元史》记载，元初曾有阿拉伯人在中国“造西域仪象”7件，有些仪器与纳西尔丁制作的颇为相象。同样，18世纪印度人在德里等地建造的几座天文台在外表和结构上也模仿了纳西尔丁的天文台。
3、撒马尔罕的卡西
伊斯兰教的魅力在于，穆斯林用武力夺取的领土可能在一段时间以后失去，但被征服的人民却大多数从此皈依伊斯兰教。伊朗或波斯便是一个典型的例子，自从公元640年由于与拜占廷帝国的战争付出高昂的代价而被阿拉伯穆斯林乘机征服后，这片土地几易其主，翻来覆去被不同的君王占领，可是，至今它的国微和国旗上仍带有浓厚的伊斯兰意味。前者由弯月、宝剑和书籍组成，弯月和宝剑分别是伊斯兰教和力量的象征，高高在上的书籍则是《古兰经》。后者是蓝、白、红三色，在蓝和白、白和红之间均用波斯语写满了“真主伟大”。
现在我们要谈谈阿拉伯世界（也是整个东方）中世纪最后一位重要的数学家和天文学家——卡西，人们常以他的卒年（1429）作为那个时代的终结。可是，卡西的生年却没有任何记载，他的活动最早见诸文献的是在1406年6月2日，当时他在家乡卡尚观察了一次月食。卡尚位于伊朗中央山脉的东麓，位于故都伊斯法罕和首都德黑兰的铁路线中间。尽管卡西可能出身平凡家庭，但他与波斯前辈同行海亚姆和纳西尔丁一样，很早就得到了权贵人士的赏识。
14世纪末，成吉思汗的后裔、中亚细亚的瘸子帖木儿建立了帖木儿王国，定都撒马尔罕。他本是信仰伊斯兰教的蒙古支族突厥化了部族成员，主要以其野蛮的征服从印度、俄罗斯到地中海的辽阔土地及王朝的文化成就载入史册。帖木儿打着重建蒙古帝国的旗号，所向披靡，直到埃及苏丹和拜占廷皇帝屈服纳贡以后，才返回撒马尔罕。虽然目不识丁，帖木儿却愿意与学者交往，并嗜好下棋，能够与第一流的学者讨论历史、伊斯兰教义和应用科学的各种问题。
1405年，正当帖木尔准备再度出发，率军远征中国（此时元朝早已灭亡），却因病去世了。他的孙子兀鲁伯痴迷于天文学，通过自己的观测，发现了亚历山大的天文学家托勒密的多处计算错误。同时，兀鲁伯还写诗、研究历史和《古兰经》，并且是科学与艺术的积极倡导者和早期保护者。年轻时，他就在撒马尔罕创办了一所高级的教授科学和神学的学校，不久又筹建了一座天文台，使撒马尔罕成为东方最重要的学术中心。
卡西的学术生涯与这位王子息息相关，他曾是一个医生，但他渴望从事数学与天文学的研究。在长期的贫困与彷徨之后，他终于在撒马尔罕找到了一个稳定而体面的职位，那就是在兀鲁伯的宫殿里协助策划开展科学工作。卡西积极参与天文台的修建和仪器的装备，成为王子的得力助手，并且在天文台建成以后又出任了第一任台长。在《天的阶梯》等天文学著作里，卡西论述了星辰的距离和大小，介绍了浑仪等天文仪器，有的是他的独创。当然，历法改革也是不可缺少的。
在给父亲的一封信里，卡西极力称赞兀鲁伯渊博的知识、组织能力和数学才华。信中他还提到当时讨论科学时的自由空气，声称这是科学进步的必要条件。另一方面，兀鲁伯对待科学家非常宽厚，特别谅解卡西对宫廷礼仪的疏忽，以及缺少良好的生活习惯。在还一部以他自己命名的历法书的序言中他提到了卡西之死，“他是一位杰出的科学家，是世界上最出色的学者之一。他通晓古代科学，并推动起发展，他能解决最困难的问题。”
卡西在数学上取得了两项世界领先的成就，一是圆周率的计算，二是给出$sin1^@$的精确值。在古代，对圆周率$pi$的研究和计算，在一定程度上反映了这个地区或时代的数学水平，就如同今天对最大的素数的求取，代表了某个大公司甚或国家计算机研发的先进程度。公元1424年，在中国数学家祖冲之在公元462年把$pi$的精确值算到小数点后7位数之后9个多世纪，卡西终于打破了这项世界记录，即
$pi= 3. 141 592 653 589 793 25$
精确到了小数点后16位。卡西一直算到了正$3xx2^28$边形的周长，直到1596年，荷兰的科伦才通过圆内接和外切正$60xx2^33$边形，算出小数后20位。
五、结束语
大约在1185年，婆什伽罗死于乌贾因。之后，印度的科学活动就逐渐走向衰落，数学上的进展停止了。1206年，历时久远的德里苏丹国建立，印度开始接受穆斯林的统治。一个世纪之后，南方的一部分地区独立出去，接着又开始了旷日持久的争夺统治权的斗争。相比之下，波斯的数学兴起得晚，衰败得也晚。但在兀鲁伯于1449年被处死后不久（据说他自己的儿子是幕后策划人），尚武且内耗不断的萨非王朝接踪而至，波斯数学的辉煌时代也随之宣告结束了。恰好这个时候，欧洲的文艺复兴之火开始在亚平宁半岛点燃。
与埃及一样，早期印度拥有数学教养的人几乎全是僧侣，不然也是种姓地位较高的人，这与希腊的情况完全不同，后者的数学大门是对所有人敞开的。后来，印度数学家（马哈维拉除外）差不多又成为天文学的“侍女”，而对于希腊人来说，数学则是独立存在的，并且是为了它本身进行研究的，即所谓的“为数学而数学”。再次，印度人用诗的语言来表达数学，他们的著作含糊而神秘（虽然发明了零号），且多半是经验的的，很少给出推导和证明。希腊人则表达得既清楚又富有逻辑性，并给出严格的证明。
相比之下，波斯人在几何学方面的才能稍强些（与希腊人仍无法相比），尤以海牙姆的三次方程几何解达到高峰。和印度人一样，阿拉伯数学家一般把自己看作天文学家，他们在三角学做出了较大贡献，前面论及的四位数学家均在天文学方面有重要建树。事实上，今天仍然沿用的许多星星的名字，如金牛座的毕宿五、天琴座里的织女一、猎户座里的参宿七、英仙座里的大陵五、大熊座里的北斗六，都是阿拉伯文的音译。至于代数方面，阿拉伯的贡献也很大，在斐波那契的《算盘书》里，有许多问题出自花拉子密的《代数学》。
阿拉伯人之所以重视天文学，是因为他们需要知道祈祷的准确时间（每天五次），使广大帝国内的臣民在祈祷时能够明辨方向（面朝麦加）。为此，他们不仅花费巨资修建天文台，更招聘数学才能的人到天文台工作。这些人的主要工作是充实天文数字表，同时改进仪器，修建观察台，这又带动了另一门科学——光学的发展。可以说，阿拉伯人对数学的需要主要是通过天文学、占星术和光学，除此以外，他们也是出色的商人，如同一位学者所说的，数学在“在分配、继承产业、合伙分红、土地测量方面最为需要。”因此，他们的工作偏重于代数，尤其是计算。
在数学史上，不仅印度数学经由他们的创造之手传递到西方，古希腊的大部分著作也是如此，那是数学史上著名的翻译时代。就在前文提到的巴格达智慧宫里，包括欧几里得《几何原本》在内的数学著作被翻译成阿拉伯文，完好地保存了几个世纪以后，（在希腊原文被悉数焚毁之后）又被后来的欧洲学者翻译成了拉丁文，后一项工作是在阿拉伯帝国的西端——西班牙完成的。遗憾的是，与中世纪的中国文明和印度文明一样，阿拉伯人的数学也讲究实效，加上前面提到的其他因素，这注定他们难以达到理论高度和可持续性发展。
最后，让我们比较一下东方智慧和希腊智慧的差异。20世纪法国哲学家雅克·马利坦认为，印度人把智慧视为解放、拯救或神圣的智慧，他们的形而上学从未取得实践科学中纯粹思辩的形式；这与希腊智慧恰好相反，希腊人的智慧是人的智慧、理性的智慧，即下界的、尘世的智慧，它始于可感触的实在、事物的变化和运动，以及存在的多样性。有意思的是，在神圣智慧的引导下，古代印度人或东方人对数学的要求反而简单实用；而在尘世智慧的助推下，希腊乃至于整个西方却追求逻辑演绎和完美，视数学为一种独立存在。
这个蔡天新，写的都是初等数学，没啥意思