蔡天新：数学与人类文明
精品文章转自：http://bbs.longcity.net/viewthread.php?tid=368040&extra=&page=1蔡天新，浙江大学数学系教授、博士生导师。先后主持多项数论、数学史方向的国家自然科学基金和外国文学方向的国家社会科学基金，并为《读书》、《南方周末》等报刊撰写了大量的科学随笔和文化批评。新近承担国家级规划教材《数学与人类文明》的写作和同名通识课程的教学工作，已出版诗集、随笔集、译作集、传记等十多种和数种外版著作。 数学的起源 埃及和巴比伦
当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。
——伯特兰·罗素
一、数学的起源
1、记数的开始
如同古代世界的许多伟人一样，数学史上的先驱人物也消失在历史的迷雾中。然而，数学每前进一步，都伴随着人类文明的一次进步。亿万年前，那些居住在岩洞里的人就有了数的概念，在为数不多的事物中间增加或取出几个同样的事物，他们能分辨出多寡（不少动物也具有这类意识）。本来，对食物的需求出自人类的生存本能。慢慢地，人类就有了明确的数的概念：1，2，3，……正如部落的头领需要知道有多少成员，牧羊人也需要知道他拥有多少只绵羊。
在有文字记载以前，记数和简单的算术就发展起来了。打猎的人知道，把2枚箭矢和3枚箭矢放在一起就有了5枚箭矢。就像不同种族称呼家庭主要成员的声音大同小异一样，人类最初的计数方法也是相似的，例如，当数羊的只数时，每有一只羊就扳一个手指头。后来，才逐渐衍生出三种有代表性的记数方法，即石子记数（有的是用小木棍）、结绳记数和刻痕记数（土坯、木头、石块或兽骨上），这样不仅可以记录较大的数字，也便于累计和保存。
在古希腊的荷马史诗《奥德赛》中有这样一则故事：当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后，那个不幸的盲老人每天都坐在自己的山洞里照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子里捡出一颗。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子全都扔光时，他就确信所有的羊儿返回了山洞。这则故事告诉我们，很可能是牧羊人计算羊群的只数产生了数学，正如诗歌起源于乞求丰收的祷告，这两项人类最古老的发明均源于生存的需要。
说来有点残酷，一些美洲印第安人通过收集被杀者的头皮来算计他们杀敌的数目，而一些非洲的原始猎人通过积累野猪的牙齿来算计他们杀死野猪的数目。据说，居住在乞力马扎罗山坡上游牧民族的少女习惯在颈上佩戴铜环，其个数等于自己的年龄，这比起如今缅甸某些少数民族的妇女所保持的相似的习俗多了审美以外的含义。从前，英国酒保往往用粉笔在石板上画记号来计数顾客饮酒的杯数，而西班牙酒保则通过向顾客的帽子里投放小石子来做这一计数，这两种不同的计数方法似乎也反映出这两个民族不同的个性：谨慎和浪漫。
后来，就产生了各种各样的语言，包括对应于大小不同的数的语言符号。再后来，随着书写方式的改良，就形成了代表这些数的书写符号。最初，在诸如两只羊和两个人所用的语音和用词也是不同的。例如，在英语中team of horses （共同拉车或拉犁的两匹马）， yoke of oxen（共轭的两头牛）， span of mules（两只骡）， brace of dogs（一对狗）， pair ofshoes（一双鞋），等等。至于汉语里的量词变化，那就更多了，且一直保留至今。
可是，人类把数2作为共同性质抽象出来，并采用与大多数具体事物均无关的某个语音来替代它，或许是经过了很长时间才实现的。如同英国哲学家兼数学家伯特兰·罗素所说的，“当人们发现一对雏鸡和两天之间有某种共同的东西（数字2）时，数学就诞生了。”而在我看来，数学的诞生或许要稍晚一点，即是在人们从“2只鸡蛋加3只鸡蛋等于5只鸡蛋，2枚箭矢加3枚箭矢等于5枚箭矢，等等”中抽象出“2 + 3 = 5”之时。
2、数基和进制
当需要进行更广泛的数字交流时，就必须将计数方法系统化。世界各地的人们不约而同地采取了以下方法：把从1开始的若干连续的数字作为基本数字，以它们的组合来表示大于这些数字的数。换言之，如果大于1的某个数b作为计数的进位制或基（base），并确定出数目1，2，3，……，b的名称，则任何大于b的数均可以用这b个数的一个组合表示。
有证据表明，2，3和4都曾被当作原始的数基。例如，澳大利亚昆士兰州的原住民是这么计数的，“1，2，2和1，两个2，……”。某些非洲矮人是这么称呼最前面的6个自然数的，“a，oa，ua，oa-oa，oa-oa-a，oa-oa-oa。”这两种计数均为2进制，它的应用后来导致了电子计算机的发明。而阿根廷火地岛的一个部落和南美的其他一些部落则分别以数字3和4为基。
不难设想，由于人类的每只手和脚均有5个手指或脚趾，5进制一度得到了广泛的应用。至今某些南美部落仍用手计数，“1，2，3，4，手，手和1，等等”。直到1880年，德国的农历仍以5为数基。1937年，在捷克摩拉维亚地区出土的一块幼狼胫骨上，几十道刻痕明显是以5进制排列的。而西伯利亚的尤卡吉尔人居住在世界上最寒冷的地方（勒拿河下游），至今仍采用一种类似于5-10混合进制的方式计数。
12也常被用来作数基，这可能与它被6个数整除有关，也可能是因为一年有12个溯望月。例如，1英尺有12英寸，1英寸有12英分，1先令是12便士，1英镑是12盎司（金衡制，常衡制是16盎司）。有意思的是，直到上个世纪70年代，中国乡村的秤还刻有两种进制，包括16进制。与此同时，没有12进制的中国人的文字里也有“打”这个概念。而英语里除了dozen（打）以外，甚至还有gross（箩），一箩是12打，一打是12个。
20进制也曾被广泛使用，它使我们想起人类的赤脚时代，一双脚和一双手共有20个指头。美洲印第安人使用过它，包括高度发达的玛雅文明。在法语里，至今仍用4个20来表示80（quatre-vingts），4个20加10来表示90（quatre-vingt-dix）。丹麦人、威尔士人和盖尔人的语言中也能发现这种痕迹，令人惊奇的是，这些地方并非都是温带。在英语里20（score）是个常用字，而汉语里也有“廿”这个字。至于古代巴比伦人使用的60进制，即使在今天仍在时间和角度计量单位中不可或缺。
可是，人类最终仍普遍接受了10进制。在有记载的历史中，包括古埃及的象形数字、中国的甲骨文数字和筹算数码、希腊的阿提卡数字、印度的婆罗门数字，等等，都采用了10进制。在我们的头脑里，10已成为数制的必然单位，正如2已被电脑特别拥有。原因十分简单，博学的希腊哲学家亚里士多德已经为我们指出，“10进制的广泛采纳，只不过是由于我们绝大多数人生来具有10个手指这样一个解剖学的事实结果。”
除了口说以外，用手指表达数也曾长期被采纳。英语里的digit原本是指手指或脚趾，后来才表示从1到9这些数字，如今我们正处于数字时代（digitalage）。事实上，原始人甚或开化的人，在进行口头计数时往往同时做出一些手势。例如，当说到“十”字，往往用一只手拍另一只手的手心。而某些部落或民族，我们可以通过观察他们计数时的手语来判断其归属。在今天的中国，我们仍然可以通过一个人划拳的手势大致弄清楚他或她究竟来自哪个地区或省份。
3、阿拉伯数系
据考古学发现，刻痕记数大约出现在三万年以前，经过极其缓慢的发展，大约在公元前三千多年，终于出现了书写记数和相应的数系。可能是受手指表达数的影响，最早的表示数1，2，3和4的书写符号大多是相应数目的竖或横的堆积。前者有古埃及的象形文字、希腊的阿提卡数字和中国的纵式筹码数字和玛雅数字，后者有中国的甲骨文数字和横式筹码数字以及印度的婆罗门数字（数4例外）。
有意思的是，以上提到的受手指影响用竖或横来表达前4个数的数系均不约而同的采用了10进制，而另外两种著名的数系，即巴比伦的楔形数字和玛雅数字，分别用一个个锐利的小等腰三角形和小圆点来表示，却采用了60进制和20进制。在数5和5以后，即使同属竖写的数系也有不同表达法，以10为例，古埃及人用轭或锺骨∩（集合论中的“并”），古希腊人用△（第4个希腊字母），而中国人则用4个竖上面加1横。
所谓阿拉伯数系是指由0，1，2，3，……，9这10个记号及其组合表达出来的10进制数字体系。例如，在911这个数中，右边的1表示1个，中间的1却表示1乘以10，而9表示9乘以100。在今天世界上存在的数以千计的语言系统里，这10个阿拉伯数字是惟一通用的符号（比拉丁字母使用范围更广）。可以想象，假如没有阿拉伯数系，全球范围内的科技、文化、政治、经济、军事和体育方面的交流将变得十分困难，甚至不可能进行。
阿拉伯数系也被称为印度-阿拉伯数系，这是因为它是印度人发明的，经由阿拉伯人改造后传递到西方。后一项文明的流通是在12世纪完成的，前一项发明的起源就不得而知了，只是由于近代考古学的进展，在印度的一批石柱和窑洞的墙壁上发现这些数字的痕迹，其年代大约在公元前250年到公元200年之间。值得一提的是，那些痕迹里并没有零号，而在公元825年前后，阿拉伯人花拉子密的著作《印度的计算术》里却描述了已经完备的印度数码，今日英文和德文里的零就是依据阿拉伯文音译的。
阿拉伯数字是随着阿拉伯人鼎盛时期的远征传入北非和西班牙的，据说一位叫莱奥拉多的意大利人曾受教于西班牙的穆斯林数学家，还曾游历北非。他回到意大利以后，于1202年出版了一部数学著作，这是阿拉伯数字传入穆斯林以外的欧洲的里程碑，对稍后的意大利文艺复兴时期的数学有一定的促进作用。有意思的是，也是在13世纪，威尼斯人马可·波罗实现了欧洲人对东方的首次访问。其时横跨欧亚大陆的君士坦丁堡是个战乱纷争之地，这位旅行家也是经由北非和中东绕过地中海，不过是沿着与阿拉伯数字传播路线相反的方向。
4、形而几何学
数系的出现使得数的书写和数与数之间的运算成为可能，在此基础上加、减、乘、除乃至于初等算术便在几个古老的文明地区发展起来，而后来数系的统一则使世界数学的研究和应用插上了翅膀。与数的概念形成一样，人类最初的几何知识也是他们从对形的直觉中萌发出来的，例如，不同种族的人都注意到了圆月和挺拔的松树在形象上的区别。可以想见，几何学便是建立在对这类从自然界提取出来的“形”的总结的基础之上。
一条直线只是一段拉紧了的绳子，来自希腊文的英文Hypotenuse（斜边、弦）的原意就是“拉紧”。我们可以设想，这是将一个直角的两臂拉紧后的联线，而arms（手臂）也就成了两条直角边。如此看来，三角形的概念是人们通过对自己身体的观察得到的。巧合的是，在古代中国也是这样，勾、股作为小腿和大腿同时也是直角三角形中较短或较长的直角边，因而我们才有勾股定理的称谓。在西安半坡出土的陶器残片上，我们可以看到完整的全等三角形图案，每条边由间隔相等的8个小孔连接而成。同样，圆、正方形、长方形等一系列几何形式的概念也来自于人们的观察和实践。
正如古罗马历史学家希罗多德所指出的，埃及的几何学是“尼罗河的馈赠”。早在公元前14世纪或更早，埃及的一个国王将土地分封给所有的国民，每个人都得到一块同样面积大小的土地，然后据此纳税。如果一年一度的尼罗河洪水冲毁了某个人的土地，那么它就必须向法老报告所受的损失。法老会派专人来测量所失去的土地，再按相应的比例减税。这样一来，几何学（geomerty）就产生并发展起来了，geo意指土地，metron是测量。这类专门负责测量事物的人有专门的名称，叫做“司绳”（rope-stretcher）。
巴比伦人的几何学也是源于实际的测量，它的重要特征是其算术性质，至少在公元前1600年，他们就已熟悉长方形、直角三角形和等腰三角形和某些梯形的面积计算。古印度几何学的起源则与宗教和建筑实践密切相关，公元前8世纪至5世纪形成的所谓绳法经，便是关于祭坛与寺庙建造中的几何问题及其求解。在古代中国，几何学的起源更多地与天文观测相联系，至晚在公元前2世纪成书的《周髀算经》讨论的正是天文测量中所用的几何方法。 二、尼罗河文明
1、独特的地形
在欧洲人的地理概念中，近东是指地中海东岸，也包括土耳其的亚洲部分和北非，即从黑海到直布罗陀海峡之间的环地中海沿岸及附近。近东既是人类文明的摇篮，也是西方文化的发祥地。如同美国数学史家M·克莱因所指出的，“当那些喜欢四处迁徙的游牧民族远远离开其出生地，在欧洲平原上漫游时，与他们毗邻的近东人民却在致力于辛勤耕作，创造文明和文化。若干个世纪以后，居住在这片土地上的东方贤哲们不得不负担起教育未开化的西方人的任务。”
埃及位于地中海的东南角，处于中东和北非的交汇之地。它的西面和南面是世界上最大的撒哈拉大沙漠，东面、北面大部分被红海、地中海环绕，惟一的陆上出口是面积只有6万平方公里的西奈半岛。这座半岛的大部分被沙漠和高山覆盖，东西两侧又夹在亚喀巴湾和苏伊士湾之间。只有一条狭窄的通道连结以色列，古罗马的统治者如尤利西斯·凯撒便是沿着这条路入侵埃及的。而在远古时代，这种外敌的侵犯几乎是不可能的，因此，埃及得以维持长期的安定。
除了拥有天然的地理屏障之外，埃及还拥有一条清澈的河流，那便是世界上最长的尼罗河。这条自南向北贯穿埃及全境、最后注入地中海的河流两岸构成一条狭长而肥沃的河谷，素有“世界上最大的绿洲”之称，因为它的西边是浩瀚的撒哈拉沙漠，东边是阿拉伯沙漠。事实上，Nile这个词的希腊文原意便是谷地或河谷。正是由于上述两个优越的地理因素，才造就了以古老的象形文字和巨大的金字塔为标志的绵延三千年的古埃及文明。
埃及象形文字产生于公元前三千年以前，是一种完全图象化的文字，后来被简化成一种更易书写的僧侣文和通俗文。公元3世纪前后，随着基督教的兴起，不仅古埃及原始宗教趋于消亡，象形文字也随之同归于尽，现存资料中使用这种文字的最后年代是公元394年的一块碑铭。与此同时，埃及基督徒改用一种稍加修改的希腊字母（这种文字随着7世纪穆斯林的入侵又逐渐被阿拉伯文取代）。于是，这些神秘的古代文字就成了不解之谜。
1799年，跟随拿破仑远征埃及的法国士兵在距离亚历山大城不远的古港口罗塞塔发现一块面积不足一平方米的石碑，上面刻着用象形文字、通俗文和希腊文三种文字记述的同一铭文。在英国医生兼物理学家杨的工作基础上，最后由法国语言学家商博良完成了全部碑文的释读。这样一来，就为人们阅读象形文字和僧侣文文献，理解包括数学在内的古埃及文明打开了方便之门，而那块石碑也被后人命名为“罗塞塔石碑”，如今它被收藏在伦敦大英博物馆。
2、草纸书上的数学
如果你有机会到开罗旅行，那么除了造访金字塔、参观博物馆，在尼罗河上乘船、看肚皮舞表演以外，你的朋友或导游还会领你去看销售或制作纸莎草纸（Papyrus）的商店或作坊（通常它们是合二为一的）。原来，纸莎草这种植物生长在尼罗河三角洲中，采摘后，用其茎杆中心的髓切成细长的狭条，压成一片，经过干燥处理，形成薄而平滑的书写表面。古埃及人一直在这种纸上书写，并被后来的希腊人和罗马人沿用，直到3世纪才被价钱更低、可以两面书写的羊皮纸（Parchment，源自今土耳其）取代，而埃及人则一直使用到8世纪。
所谓草纸书即是用纸莎草书写并装订起来的书籍（确切的说是书卷），我们今天了解的关于古埃及人的数学知识，主要是依据两部草纸书。一部以苏格兰古董商人莱茵德命名，现藏于大英博物馆，另一部叫莫斯科草纸书，由一位俄国贵族购得，现藏于莫斯科普希金艺术博物馆。莱茵德纸草书又称为阿姆士纸草书，以纪念公元前1650年左右一位复制此书的抄写员。值得一提的是，该书卷长525厘米，宽33厘米，中间有少量缺失，其缺失的碎片现藏于纽约布鲁克林博物馆。
这两部纸草书均用僧侣文书写，年代已经十分久远，阿姆士在前言里称到那时为止此书至少流传了两个多世纪，而据专家考证，莫斯科纸草书的成书年代大约在公元前1890年。因此，这两部书堪称流传至今的最古老的用文字记载数学的书籍。从内容上看，它们只不过是各种类型的数学问题集。莱茵德纸草书的主体部分由85个问题组成，莫斯科纸草书则由25个问题组成。书中的问题大多来自现实生活，比如面包的成分和啤酒的浓度，牛和家禽的饲料比例及谷物储存，但作者却将它们作为示范性的例子编集在一起。
既然几何学是“尼罗河的赠礼”，那我们就来看看埃及人在这方面的成就。在一份古老的地方契约中，人们发现他们求任意四边形的面积公式，如果用a和b, c和d分别表示四边形的对边长度，S表示面积，则
$S={(a+b)(c+d)}/4$
尽管这种尝试十分大胆，但却是相当粗略的近似，只有在长方形这个特殊情形下才是正确的。我们再来看圆面积的计算。在莱茵德纸草书第50题中，假设一直径为9的圆形，则其面积等于边长为8的正方形。如果比较圆面积计算公式，就会发现埃及人心目中的圆周率（如果有这个概念的话）相当于
${8 xx 2/ 9}^2 ≈ 3.1605$
让人惊讶的是，埃及人在体积计算（其目的是为了储存粮食）问题上达到了相当高的水平，例如他们已经知道圆柱体的体积是底面积乘高。又如，对高为h、上下底面分别是边长a和b的正边形的平截头方锥体的体积公式，埃及人得到的公式是（莫斯科纸草书第14题），
$V = h/3 (a^2 + ab + b^2)$
这个结论是正确的，这是一项非常了不起的成就。美国数学史家E·T·贝尔称其为“最伟大的金字塔”（注：在英文里，锥体和金字塔同一个字，即 pyramid。）
3、埃及分数
在石器时代，人们只需要整数，但进入到更为先进的青铜时代以后，分数概念和记号便随之产生了。从纸草书中我们发现，埃及人有一个重要而有趣的特点，喜欢使用单位分数，即形如1/n的分数。不仅如此，他们可以把任意一个真分数（小于1的有理数）表示成若干不相同的单位分数之和。例如，
$2/5 =1/ 3 + 1/15$
$7/29=1/6 + 1/24 +1/58+1/87+1/232$
埃及人为何对单位分数情有独钟，我们就不得而知了，无论如何，利用单位分数，分数的四则运算得以进行了，尽管做起来比较麻烦。也正因为如此，才有了被后人称埃及分数(Egyptian fractions)的数学问题，这也是莱茵德纸草书中最有价值的问题。埃及分数属于数论的一个分支——不定方程（也称丢番图方程，以古希腊最后一个大数学家命名），它讨论的是下列方程的正整数解
$4/n = 1/x_1+ 1/x_2 +...+ 1/x_k$
埃及分数引出了大量的问题，其中有许多至今尚未获得解决，同时它还不断产生新的问题。可以毫不夸张地说，每年世界各国都有硕士、博士论文甚至大师们的工作是围绕着这个问题开展研究的。下面我们我们来举几个例子，20世纪匈牙利数学家爱多士（与陈省身分享沃尔夫奖）曾经猜测：
$4/n = 1/x + 1/y + 1/z$
当 n>1 时总有解。英国数学家莫代尔（为了他的一个猜想的证明颁发了一枚菲尔茨奖）证明了，除了n同等余于$1,11^2,13^2,17^2,19^2,23^2 (mod 840)$之外，此猜想皆成立。这里表示m整除a-b。还有人验证了，当n<10^8时猜想正确。接下来，数论学家要考虑的问题是
$5/n = 1/x + 1/y + 1/z$
有人验证了当$n<10^9$，或者n不是形如278460k + 1的数时，此方程均有解。
之所以在这里展开这个问题的部分细节无非是想表明，古埃及人的数学并不是我们所想象的那样简单明了。另一方面，也想借此说明，研读某些看似简单的经典问题，常常会给处于现代文明中的我们带来新的启示。费尔马定理便是一个很好的例子，那是一个17世纪的法国人阅读3世纪的希腊人的著作所产生的灵感。难怪20世纪抽象艺术的开创者、俄国画家康定斯基也说，“最古老的也是最现代的。” 三、在河流之间
1、巴比伦尼亚
尼罗河即使到入海处附近的首都开罗其水流依然是平缓的，可是流经巴格达的底格里斯河和与之比肩的幼发拉底河却是汹涌湍急，正如居住这块被称作美索不达米亚（希腊文的含意为在河流之间，即今天的伊拉克）的土地上的人民所经历的诸多战乱一样（和平时经济发展速度也快，是大型商队的必经之地）。自有历史记载以来，它先后被十多个外来民族所侵占，但却一直维持着高度统一的文化，并曾经三次达到人类文明的最高点。或许，这是因为一种特殊的被称作楔形文字的使用，成为文化统一的融合剂。
所谓巴比伦尼亚是指美索不达米亚的东南部，即巴格达周围向南直到波斯湾，巴比伦城是这一地区的首府，因此又简称巴比伦。和埃及人一样，巴比伦人也是居住在河流之滨，那里土地肥沃，易于灌溉。这里孕育出灿烂的文明，除了创造出楔形文字以外，还制订出最早的法典、建立了城邦，发明陶轮、帆船、耕犁等。同时，他们还是锲而不舍的建筑师，通天塔和空中花园便是这种精神的产物。正如大英百科全书的编者所写的，巴比伦人的文学、音乐和建筑式样影响了整个西方文明。
在计数方式上，巴比伦人更是独出心裁，与任何其他民族都不同，他们采用了60进制。有趣的是，巴比伦人只用了两个记号，即垂直向下的楔子和横卧向左的楔子。通过排列组合，便可以表示所有的自然数。更有意思的是，巴比伦人把一天分成24小时，每小时60分钟，每分钟60秒。这种计时方式后来传遍全世界，并一直沿用了4000多年。
与埃及人在纸草书上书写的习惯不同，两河流域的居民用尖芦管在潮湿的软泥板上刻下楔形的文字，然后将其晒干或烘干，这样制作的泥版文书比纸草书易于保存，迄今已有50万块出土，成为我们了解古代巴比伦文明的主要文献和工具。只是，人们对楔形文字的释读比埃及象形文字要晚，大约在19世纪中期才完成，这有赖于一块叫贝希斯敦的石崖，它座落在今天伊朗西部邻近伊拉克的城市巴赫塔兰郊外。
和罗塞塔石碑一样，贝希斯敦石崖上也用三种文字刻着同一篇铭文，分别是巴比伦文、古波斯文和埃兰文，其中埃兰是古波斯的一个国家，连同它的语言一起消亡了。解破石碑上的巴比伦文的是一名叫罗林森的英国军官，他早年作为一名军校学生被派往印度，在英国的东印度公司任职。23岁那年，罗林森与其他英国军官奉命赴伊朗整编伊朗国王的军队，由此对波斯古迹发生兴趣。他利用古波斯文的知识，释读了楔形文字书写的巴比伦语。
原来，这篇铭文讲的是波斯帝国最负盛名的统治者大流士一世如何杀死国王的继承人、击溃反对者、取得王位的故事，那事发生在公元前六世纪。他的国土横跨亚欧非三大洲，自然也把巴比伦置于波斯的版图之内。值得一提的是，按照希罗多德的说法，大流士是在得知他的军队在著名的马拉松战役中溃败的消息之后去世的，那是他对希腊发动的第一次进攻。不过，即便破解了巴比伦语，对泥版书中数学部分的释读也要等到20世纪三、四十年代才取得突破。
2、泥版书上的根
在那50万块出土的泥版文书中，有300多块是数学文献。我们今天对于巴比伦人的数学了解，便是基于这些材料上的文字。如同前文所介绍的，巴比伦人创造了一套60进制的楔形文字记数体系（用重复的短线或圆圈表示），并把小时和分钟划分成60个单位。同时，还把昼和夜划分成12小时。与古埃及人相比，巴比伦人的数字符号有所不同，一个数处于不同位置可以表示不同的值，这种位置原理是一项突出的成就。稍后，他们甚至把这个原理应用到整数以外的分数。这样一来，他们在处理分数时就不会像古埃及人那样依赖于单位分数了。
比起埃及人来，巴比伦人更擅长算术。他们创造出许多成熟的算法，开方根即是其中的一例。这种方法简单有效，具体步骤如下：为求$sqrt(a)$的值，设为其$a_1$近似值，先求出$b_1=a/a_1$,令$a_2=(a_1+b_1)/2$；再求出$b_2=a/a_2$，令$a_3=(a_2+b_2)/2$；继续下去，这个数值会越来越靠近$sqrt(a)$，并在其正确值附近震荡。例如，在由美国耶鲁大学收藏的一块泥版书（编号7289）里，$sqrt(2)$的近似值是 1.414213，这是相当精确的估计。
巴比伦人在代数领域也取得了不错的成绩，埃及人只能求解线形方程，对于二次方程他们只会解$ax^2=b$这类最简单的情形。还是在耶鲁大学收藏的一块泥版书里，给出了二次方程 $x^2 –px–q = 0$的求根公式，
$x = sqrt((p/2)^2+q) +- p/2$
由于正系数二次方程没有正根，因此除了上述情形以外，还有另外两种类型，对此泥版书里也给出了正确的求解程序。这与16世纪法国数学家韦达发明的根与系数关系式如出一撤，只不过韦达考虑的是更一般的情形，即方程$ax^2+bx+c=0$。遗憾的是，由于约定成俗，“韦达公式”没有更改成“巴比伦公式”。不仅如此，对于$x^3=a$或$x^3+x^2=a$这类特殊的三次方程，巴比伦人虽然没有办法来求得一般的解法，但却制订出相应的表格（前者即立方根表）。
可是，在几何学方面，巴比伦人的成就并没有超过埃及人。例如，他们对四边形的面积估算与埃及人的计算公式一致，即同样的粗糙。至于圆的面积，他们通常认定其值为半径平方的三倍，相当于取圆周率为3，其精确度尚不及埃及人。不过，有证据表明，巴比伦人懂得用相似性的概念来求线段的长度。对于希罗多德所称赞的莫斯科纸草书中“最伟大的金字塔”，巴比伦也能推导出类似的公式。
3、普林顿322
有一些泥版文书上的问题说明巴比伦人对数学除了实用目的以外，还有理论上的兴趣，这一点是埃及人难以企及的。在一块叫“普林顿322”的泥版书上有很好的体现，这块泥版书的来历已经无法考证，只知道曾被一个叫普林顿的人收藏过，322是他个人的收藏编号，现存于纽约哥伦比亚大学图书馆。其实，普林顿322是一块更大的泥版文书的右半部分，因为其左边是断裂的，留有胶水的痕迹，这说明缺损部分是出土后丢失的。
现存的这块泥版面积很小，长度和宽度分别只有12.7厘米和8.8厘米。书写在上面的文字是古巴比伦语，因此年代至晚在公元前1600年。实际上，这块泥版只刻着一张表格，由4列15行60进制数字组成。因此，在相当长的时间内，它被人们误认为是一张商业帐目表而未受重视。直到1945年，时任美国《数学评论》编辑的诺伊格包尔发现了普林顿322的数论意义，才引起了人们对它的极大兴趣。
诺伊格包尔的研究表明，普林顿322与毕达哥拉斯数组有关。所谓毕达哥拉斯数组是指满足$a^2 + b^2 = c^2$的任何正整数数组（a,b,c），它在古代中国也被称为整勾股数（最小的一组数是3，4，5）。从几何上讲，每一组毕达哥拉斯数皆构成某个整数边长的直角三角形（又称毕达哥拉斯三角形）的三条边长。诺伊格包尔发现，第2、3列的相应数字，恰好构成毕达哥拉斯三角形的斜边c和一条直角边b。只有四行例外，诺伊格包尔认为那是笔误，并作了纠正。
在这张表上，第1、5和11行分别是数组（1，59；2，49），（1，5；1，37），（45；1，15），转化成10进制就是（120，119，169），（72，65，97），（60，45，75），这里每组第一个数是计算后得出来的另一条直角边a，它们恰好是整数。在补出空缺数字后，诺伊格包尔发现，第4列（第1列是序号）的数字是s=(c/a)^2，也就是说，s是b边所对的角的正割的平方。大约过了一千年以后，希腊人才知道，互素的毕达哥拉斯数可由一个参数公式导出。巴比伦人是如何计算出这些数字的，这无疑是一个谜。
由于诺伊格包尔天才的发掘，提升了巴比伦人的数学成就。因此，我想在这里介绍一下这位奥地利人。诺伊格包尔于19世纪的最后一年出生，自小父母双亡，由叔叔抚养成人。18岁那年，为了逃避毕业考试，他入伍当了炮兵。一战结束时，他在意大利的俘虏营里与同胞哲学家维特根斯坦成为狱友。战后他辗转于奥地利和德国的几所大学，学习物理学和数学，最后在哥廷根大学攻读数学史，毕业后先后执教布朗大学和普林斯顿大学。诺伊格包尔精通古埃及文和巴比伦文，他是德国和美国两家《数学评论》的创始人。
四、结束语
除了上面介绍的数学公式和成就以外，埃及人和巴比伦人还将数学大量地应用于实际生活中。他们在纸草、泥版书上记载着帐目、期票、信用卡、卖货单据、抵押契约、待发款项，以及分配利润等事项。算术、代数被用于商业交易，几何公式则用来推算土地面积，计算储存在圆形仓或锥形包中的粮食。当然，无论埃及人的金字塔，还是巴比伦的通天塔和空中花园，都凝聚着数学的智慧和光芒。
在数学和天文学被用于计算历法和航海之前，人类本能的好奇心和对大自然的恐惧存在已久，他们受一种不可抑制的冲动的驱使，年复一年地观察太阳、月亮和星星的运行。埃及人已经知道一年共有365天，他们对季节的变化也有所了解和掌握。人们通过对太阳方位和角度的观察，预计尼罗河水泛滥的时间；通过对星星的位置和方向的辨别，确定在海洋（地中海或红海）中航船的方向。
另一方面，在巴比伦和埃及，数学与绘画、建筑、宗教以及自然界的探究之间的联系，在密切性和重要性方面丝毫不逊色于数学在商业、农业等方面的应用。巴比伦和埃及的祭司掌握了的数学原理，但他们对这些知识秘而不宣。只用口头的方法传授这方面的知识，从而在人民大众中加剧了对统治阶级的敬畏。这样一来，尤其是与没有僧侣阶级统治的文明比较起来，显得不利于数学和其他文明的发展。
当然，宗教神秘主义本身也对自然数的性质产生了好奇，并将数作为表达神秘主义思想的一个重要媒介。一般认为，巴比伦的祭司发明了这种有关数的神秘甚或魔幻的学说，后来又为希伯来人加以利用并发展了。比如数字7，巴比伦人最早注意到了，它是上帝的威力和复杂的自然界之间的一个和谐点，到了希伯来人手里，7又成为一个星期的天数。《圣经》里说，上帝用六天时间造物和人，第7天是休息天。
可以说，是人类层出不穷的需要和兴趣，加上对天空的无法抑制的冥想，激发了自身的数学灵感和潜能。巧合的是，自然界本身也刚好存在数学的规律，或者说，是以数学的形式存在着的。这样一来，我们就更容易明白，数学不仅来源于人们生存的需要，最终也还是要返回到这个世界中去的。 希腊数学与希腊文明
古希腊的数学家和哲学家人才辈出，就如同文艺复兴时期意大利的作家和艺术家一样。
——作者
一、数学家的诞生
1、希腊人的出场
大约在公元前7世纪，在今天的意大利南部、希腊和小亚细亚一带兴起了希腊文明，在许多方面不同于上一章讲述的埃及和巴比伦文明。按照英国作家韦尔斯的说法，巴比伦和埃及经过了长期的发展，从原始农业社会开始，围绕着庙宇和祭司缓慢地成长起来，而希腊牧民是外来的民族，他们侵占的土地上本来就有农业、航运、城邦甚至文字。因此，希腊人并没有产生自己的文明，而是破坏了一个文明，并在它的废墟上重新集合成另一个文明。也正因为这个原因，当后来被马其顿人攻占，希腊人也能坦然接受，并把入侵者同化了。
正如罗素在谈及埃及人和巴比伦人时所言，宗教的因素约束了智力的大胆发挥。埃及人的宗教主要是关心死后的日子，金字塔就是一群陵墓建筑；而巴比伦人对宗教的兴趣主要在于现世的福利，记录星辰的运动以及进行有关的法术和占卜，也都是为了这个目的。可是在希腊，既没有相当于先知或祭司那样的人，也没有一个君临一切的耶和华的概念。游牧出身的希腊人有着勇于开拓的精神，他们不愿意因袭传统，更喜欢接触并学习新鲜的事物。例如，希腊人把他们使用过的象形文字悄悄地改换成腓尼基人的拼音字母。
另一方向，每一个到过希腊的游客都会发现，这个国家的土地崎岖不平，贫瘠的山脉把国土分隔，陆路交通极为不便。没有通畅的河流和水网，仅有少量肥沃的平原。当无法容纳所有的居民时，有些人便渡海去建设新的殖民地。从西西里岛、南意大利到黑海之滨，希腊人的城镇星罗棋布。既然有如此多的移民，返乡探亲和贸易往来便不可缺少，于是定期航线把东地中海和黑海的各个港口相连。（这一现象一直延续至今，雅典与爱琴海岛屿之间的航线密布。）加上早先由于地震移居到小亚细亚的克里特人，希腊人与东方的接触越来越多。
本来，希腊离开两大河谷文明不远，易于吸取那里的文化。现在，当大批游历埃及和巴比伦的希腊商人、学者返回故乡，他们带回了那里的数学和科学知识。在城邦社会特有的唯理主义氛围中，这些经验的算术和几何法则被上升到具有逻辑结构的论证数学体系中。人们常常这样发问，“为什么等腰三角形的两底角相等？”“为什么圆的直径能将圆两等分？”美国数学史家伊夫斯指出，古代东方以经验为依据的方法，在回答“如何”这个问题时，是自信满满的，但当答复更为科学的追问“为什么”时，就不那么胸有成竹了。
最后，我们来谈谈希腊的城邦和政治特色。如同前面提到的，希腊早就有了城邦，但与东方文明古国不同，这些城邦始终处于割据状态，这当然与它的地理因素有关，山脉和海洋把人们分散在遥远的海岸上。再来看希腊的社会结构，它主要由贵族和平民两个阶级构成（有些地区有原住民充当农民、技工或奴隶），他们并不彼此截然分开，在战争中同属一个国王领导，而这个国王不过是某个贵族家庭中的首领。这样一来，这个社会便容易产生民主和唯理主义氛围。这一切，都为希腊人在世界文明的舞台上准备好了一个重要的角色。
2、论证的开端
在人类文明史上不乏接踵而至那样的巧合，古希腊的数学家和哲学家人才辈出，就如同文艺复兴时期的意大利作家和艺术家一样。在大诗人但丁降生佛罗伦萨的第二年，这座城市又诞生了那个世纪最杰出的艺术家乔托, 意大利人一般认为, 艺术史上最伟大的时代,就是从他开始的。而按照贡布里奇爵士的说法，在乔托以前, 人们看待艺术家就像看待一个出色的木匠和裁缝一样，他们甚至经常不在自己的作品上署名,而在乔托以后, 艺术史就成了艺术家的历史。
相比之下，数学家却要幸运得多，第一个扬名后世的数学家是希腊的泰勒斯（Thales ofMiletus，约公元前625-前547），他生活的年代比乔托早了18个世纪。泰勒斯出生在小亚细亚的米利都城（今天土耳其亚洲部分西海岸一条叫门德雷斯的河口），其时它是希腊在东方最大的城市，周围的居民大多是爱奥尼亚移民，因此，那个地区也被称作爱奥尼亚。这座城市里商人统治代替了氏族贵族政治，因而思想较为自由和开放，产生了多位文学界和科学哲学界的著名人物，相传诗人荷马也来自爱奥尼亚，但不知他是否来自米利都。
对于泰勒斯的生平，我们主要依赖于后世哲学家的著作。他早年经商，曾游历巴比伦和埃及，很快便学会并掌握了那里的数学和天文学知识，他本人的研究除了这两个领域以外，还涉及物理学、工程和哲学。亚里士多德讲到一则故事，有一年，泰勒斯预见到橄榄必然获得特大丰收，于是提前低价垄断了该地区的所有榨油机，后来果然如他所料，便高价出租，结果获得巨额财富。他这样做并不是想成为富翁，而是想回答有些人对他的讥讽：如果你真聪明的话，为什么不发财呢？
柏拉图记述了另一桩轶事，有一次泰勒斯仰观天象，不小心跌进沟渠，一位美丽的女子嘲笑说，近在足前都看不见，怎么会知道天上的事情呢？对此泰勒斯并未回应，倒是雅典执政官梭伦的发问刺痛了他。据传记作家普鲁塔克记载，有一天梭伦来米利都探望泰勒斯，问他为何不结婚。泰勒斯可能是许许多多终身独居的智者中的第一人，当时未予回答，几天以后，梭伦得到消息，他的儿子不幸死于雅典，这令他悲痛欲绝。这时候泰勒斯笑着出现了，在告之消息是虚构的以后，说明自己不愿娶妻生子的原因，就是害怕面对失去亲人的痛苦。
科学史上的第一个数学史家欧德莫斯曾经写道，“……（泰勒斯）将几何学研究（从埃及）引入希腊，他本人发现了许多命题，并指导学生研究那些可以推出其他命题的基本原理。”传说泰勒斯根据人的身高和影子的关系测量出埃及金字塔的高度，而柏拉图的一位门徒在书里写到，泰勒斯证明了平面几何中的四条命题：即圆的直径将圆分成两个相等的部分；等腰三角形的两底角相等；两条相交直线形成的对顶角相等；如果两个三角形有两角、一边对应相等，那么这两个三角形全等。
当然，泰勒斯最有意味的工作是如今被称作“泰勒斯定理”的命题：半圆上的圆周角是直角。更为重要的是，他引入了命题证明的思想，即借助一些公理和真实性已经得到确认的命题来论证，可谓开启了论证数学之先河，这是数学史上一次不同寻常的飞跃。虽然没有原始文献可以证实泰勒斯取得了所有这些成就，但以上记载流传至今，使得他获得了第一个数学家和论证几何学鼻祖的美名，而“泰勒斯定理”自然也就成了数学史上第一个以数学家名字命名的定理。
在数学以外，泰勒斯也成就非凡。他认为，阳光蒸发水分，雾气从水面上升而形成云，云又转化为雨，因此断言水是万物的本质。虽然此观点后来被证明是错误的，但他敢于揭露大自然的本来面目，并建立起自己的思想体系（他还认定地球是个圆盘，漂浮在水面上），因此被公认为是希腊哲学的鼻祖。在物理学方面，琥珀摩擦产生静电的发现也归功于泰勒斯。有着“历史之父”美誉的史学家希罗多德声称，泰勒斯曾准确地预测过一次日食。欧德莫斯则相信，他已经知道按春分、夏至、秋分和冬至来划分的四季是不等长的。 3、毕达哥拉斯
在泰勒斯的引导下，米利都接连又产生了两位哲人，阿那克西曼德和阿那克西米尼，还有一位作家赫卡泰奥斯（他不仅用简洁优美的文笔写出了最早的游记，同时也是地理学和人种学的先驱）。阿那克西曼德认为世界不是由水组成的，而是由特殊的不为我们熟知的某种基本形式组成的，他认为地球是一个自由浮动的圆柱体。不仅如此，他还创造出一种归谬法，并由此推断出人是由海鱼演化而来的。阿那克西米尼的观点又有所不同，他认为世界是由空气组成的，空气的凝聚和疏散产生了各种不同的物质形式。
在离开米利都城只有一箭之遥的爱琴海上，有一座叫萨摩斯的小岛。岛上的居民比陆地上保守一些，盛行一种没有严格教条的奥尔菲主义，经常把有共同信仰的人召集在一起。这或许是让哲学成为一种生活方式的开端。这种新哲学的先驱是毕达哥拉斯（Pythagoras ofSamos，约公元前580-前500），他成年后离开萨摩斯岛，到米利都求学，可是泰勒斯却以年事已高为由拒绝了他，但建议他去找阿那克西曼德。毕达哥拉斯不久发现，在米利都人眼里，哲学是一种高度实际的东西，这与他本人超然于世界的冥想习惯相反。
按照毕达哥拉斯的观点，人可以分三类，最低层是做买卖交易的，其次是参加（奥林匹克）竞赛的，最高一层是旁观者，即所谓的学者或哲学家。之后，毕达哥拉斯离开了米利都，独自一人一路游历来到埃及，在那里居住了十年，学习了埃及人的数学。后来，他在埃及作了波斯人的俘虏，又并被掳到了巴比伦，在那里又住了五年，掌握了更为先进的数学。加上旅途的停顿，当毕达哥拉斯乘船返回自己的故乡，时间已经过去了19年，比后来中国的法显和玄奘法师到印度取经所用时间还久。
没想到的是，保守的萨摩斯人仍无法容纳毕达哥拉斯的思想，他只好再度漂洋过海，到意大利南部的克罗内托，在那里安顿下来，娶妻生子并广收弟子，形成了所谓的毕达哥拉斯学派。尽管这个社团是个秘密组织，有着严格的纪律，但他们的研究成果并没有被宗教思想所左右，反而形成了一个传递两千多年的科学（主要是数学）传统。“哲学”( )和“数学”( )这两个词本身便是毕达哥拉斯本人所创造的，前者的意思是“智力爱好”，后者的意思是“可以学到的知识”。
毕达哥拉斯学派的数学成就主要包括：毕达哥拉斯定理，特殊的数和数组的发现如完美数、友好数、三角形数、毕氏三数，正多面体作图，的无理性，黄金分割，等等。这些问题中有的保留至今（完美数、友好数），有的被应用日常生活的方方面面，有的如毕氏定理则提炼出了费尔马大定理这样深刻而现代的定律。与此同时，毕达哥拉斯学派注重和谐与秩序，并重视限度，认为这即是善，同时强调形式、比例和数的表达方式的重要性。
毕达哥拉斯曾用诗歌描述了他发明的第一个定理：
斜边的平方，
如果我没有弄错，
等于其他两边的
平方之和。
这个早已被巴比伦人和中国人发现的定理的第一个证明是由毕达哥拉斯给出的，据说他当时紧紧抱住哑妻大声喊道，“我终于发现了！”毕达哥拉斯还发现，三角形的三个内角和等于两个直角的和，同时证明了，平面可以用正三角形、正四边形或正六边形填满。用后来的镶嵌几何学可以严格推导出，不可能用其他正多边形来填满平面。
关于自然数，毕达哥拉斯最有趣的发现和定义是亲和数（amicable number）和完美数（perfectnumber）。所谓完美数是这样一个数，它等于其真因子的和，例如6和28，因为6 = 1+2+3，28 =1+2+4+7+14。《圣经》里提到，上帝用6天的时间创造了世界（第7天是休息日），而相信地心说的古希腊人认为，月亮围绕地球旋转所需的时间是28天。必须提到的是，迄今为止，还没有人找到一对奇完美数，当然也没有人能够否定它的存在。
而亲和数是指这样一对数，其中的任意一个是另一个的真因子之和，例如，220和284。后人为亲和数添加了神秘色彩，使其在魔法术和占星术方面得到应用，《圣经》里提到，雅各送孪生兄弟以扫220只羊，以示挚爱之情。直到两千多年以后，第二对亲和数（17926，18416）才由法国数论学家费尔马找到，他的同胞、数学家兼哲学家笛卡尔则找到了第三对。虽然运用现代数学技巧和计算机，数学家们发现了一千多对亲和数，不过第二小的一对（1184，1210）却是在19世纪后期才由一位16岁的意大利男孩找到的。
更为难得的是，毕达哥拉斯的思想持续影响了后世的文明。在中世纪时，他被认为是“四艺”（算术、几何、音乐、天文）的鼻祖。文艺复兴以来，他的观点如黄金分割、和谐比例均被应用于美学。16世纪初期，哥白尼自认为他的“日心说”是属于毕达哥拉斯的哲学体系，稍后，自由落体定律的发明者伽利略也被称之为毕达哥拉斯主义者，而17世纪创建微积分学的莱布尼兹则自认为是继承毕达哥拉斯传统的最后一位哲学家和科学家。
谈到音乐，这在毕达哥拉斯看来，是最能对生活方式起到净化作用的。他发现了音程之间的数的关系。一根调好的琴弦如果长度减半，将会奏出一个高八度音。同样地，如果缩短到三分之二，就奏出一个第四音，如此等等。调好的琴弦和和谐的概念在希腊哲学中占据重要地位。和谐意味着平衡，对立面的调整和联合，就像音程适当调高调低。罗素认为，伦理学（又称道德哲学）里中庸之道等概念，可以溯源到毕达哥拉斯的发现。
音乐上的这类发现也直接导出了“万物皆数”的理念，这可能是毕达哥拉斯哲学最本质的东西，它区别开了米利都的三位先哲。在毕达哥拉斯看来，一旦掌握了数的结构，就控制了世界。在此以前，人们对数学的兴趣主要源于实际的需要，例如埃及人是为了测量土地和建造金字塔，而到了毕达哥拉斯那里，却是（按希罗多德的说法）“为了探求”。这一点从毕达哥拉斯对“数学”和“哲学”的命名也可以看出，又如，“计算”一词的原意是“摆布石子”。
二、柏拉图学园
1、芝诺的乌龟
毕达哥拉斯学派在政治上倾向于贵族制，因而在希腊民主力量高涨时受到冲击并逐渐瓦解，毕达哥拉斯本人也逃离了克罗托内，不久被杀。在持续不断的波（斯）希（腊）战争之后，雅典成为获胜的希腊的政治、经济和文化中心，希腊数学和哲学也随之走向繁荣，并产生了许多学派。第一个著名的学派叫伊利亚学派，创建人是毕达哥拉斯学派成员巴门尼德，他居住在意大利南部伊利亚（今那波利东南一百多公里处），代表人物是他的学生芝诺（Zeno,约公元前490-430），师徒俩堪称前苏格拉底时期最有智慧的希腊人。
巴门尼德是少数几个用诗歌的形式表达哲学观点的希腊哲学家之一，他留下的诗集《论自然》残片第一部分叫《真理之路》，包含了后来的哲学家们十分感兴趣的逻辑学说。巴门尼德认为，存在物的多样性及其变化形式和运动，不过是惟一永恒的存在之现象而已，于是产生了“一切皆一”的巴门尼德原理。巴门尼德认为无法想到的东西不能存在，因此能存在的是可以被想到的，这就与前辈哲学家赫拉克利特的“它存在又不存在”相对抗。他还引入理性证明的方法，作为论断的基础，因而被看作形而上学的创立者。
柏拉图在对话《巴门尼德》篇里，记叙了巴门尼德和他的弟子芝诺去雅典的一次访问，其中写到：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发灰白，但仪表堂堂。那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的人了。”虽然后世的希腊学者推测这次访问是柏拉图虚构的，但却认为书中对芝诺观点的描写是准确可靠的。据信芝诺为巴门尼德的“存在论”作了辩护，但是不像他的老师那样从正面去证明存在是‘一’而不是“多”，他用归谬法去反证：“如果事物是多数的，将要比‘一’的假设得出更可笑的结果。”
这一方法就成了所谓“芝诺悖论”的出发点，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出了40个不同的悖论。可惜由于著作失传，至今只留下来8个，其中以4个关于运动的悖论最为著名，这依赖于亚里士多德的《物理学》等著作的记载。即便是这几个悖论，后人的领会也是不得要领，他们认同亚里士多德的引述，认为它们只不过是些有趣的谬见而加以批判。直到19世纪下半叶，学者们重新研究芝诺的悖论，才发现它们与数学中连续性、无限性等概念紧密相关。
下面我们来依次介绍芝诺的4个运动悖论，括号内的是文字是亚里士多德《物理学》中的原话。
一、二分说。“运动不存在。原因在于，移动事物在到达目的地之前必须先抵达一半处。”
二、阿基里斯追龟。阿基里斯（荷马史诗《伊利亚特》中善跑的猛将）永远追不上一只乌龟，因为阿基里斯每次必须首先跑到乌龟的出发点。
三、飞箭静止说。“如果移动的事物总是在‘现在’占有一个空间，那么飞驰的箭也是不动的。”
四、运动场。空间和时间不是由不可分割的单元组成。例如，运动场跑道上有三排队列A、B、C，令A往右移动，C往左移动，其速度相对于B而言均是每瞬间移动一个点。这样一来，A就在每个瞬间离开C两个点的距离，因而必存在一更小的时间单元。
前两个悖论针对的是事物无限可分的观点，而后两个则蕴涵着不可分无限小量的思想。要澄清这些悖论需要高等数学的知识，尤其是极限、连续和无穷集合等概念，这在当时的希腊人看来是无法理解的，因此包括亚里士多德在内的智者也不能给出解释。可是，亚里士多德分明注意到了，芝诺是从对方的论点出发，再用反证法将其论点驳倒，因此，他称芝诺是雄辩术的发明者。当然，这一切首先是由于希腊的言论自由和学派林立的氛围给了学者们探求真理的机会。
芝诺自幼在乡村长大，运动是他所热爱的，也许他提出这些悖论纯粹出于好奇和好胜，并非要给城里的大人物们制造恐慌。可是，正如E·T·贝尔所言，芝诺曾“以非数学的语言，记录下最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。”在2400年以后的今天，人们已经明白，芝诺的名字将永远不会从数学史或哲学史中消除。黑格尔指出，芝诺主要是客观而辨证地考察了运动，因此他称芝诺是“辨证法的创始人。” 2、柏拉图学园
现在我们要谈论古希腊三大哲学家之一的柏拉图（Plato，公元前427-347），还有两位分别是他的老师苏格拉底和学生亚里士多德。这三位都与雅典有关，苏格拉底和柏拉图出生在雅典，亚里士多德则在那里学习之后又执教。苏格拉底既无著作流传后世，也没有建立什么学派，有关他的生平和哲学思想我们主要通过柏拉图和另一位弟子色诺芬来了解。后者是一位将军，同时也是历史学家和散文家。苏格拉底在数学方面并无太大的建树，但正如两位弟子所评价的，他在逻辑学上有两大贡献，即归纳法和一般定义法。
苏格拉底对柏拉图的影响是无法估量的，尽管后者出生于显赫家庭，而前者的双亲分别是雕刻匠和助产士。苏格拉底貌不惊人，且不修边幅，却对肉体有着惊人的克制力，有时说话时突然停下来陷入沉思。尽管很少饮酒，但每饮必有酒友滚倒在桌子底下而他自己毫无醉意。苏格拉底之死（因受指控腐蚀雅典青年的灵魂而被判服毒），以及临死前表现出来的大无畏精神，给了柏拉图以深深的刺激，使他放弃了从政的念头，终其一生投入哲学的研究，他称他的导师是“我所见到的最智慧、最公正、最杰出的人物”。
苏格拉底死后，柏拉图离开了雅典，开始了长达10年（或许是12年）的漫游，先后游历了小亚细亚、埃及、昔兰尼（今利比亚）、南意大利和西西里等地。途中柏拉图接触了多位数学家，并亲自钻研了数学。返回雅典之后，柏拉图创办了一所颇似现代私立大学的学园（Academy，这个词现在的意思是科学院或高等学府）。学园里有教室、饭厅、礼堂、花园和宿舍，柏拉图自任园（校）长，他和他的助手们讲授各门课程。除了几次应邀赴西西里讲学以外，他在学园里度过了生命的后四十年，而学园本身则奇迹般地存在了9百年。
作为哲学家，柏拉图对欧洲的哲学乃至整个文化、社会的发展有着深远的影响。他一生共撰写了36本著作，大部分用对话的形式写成。内容主要关于政治和道德问题，也有的涉及形而上学和神学。例如，在《国家篇》里他提出，所有的人，不论男女，都应该有机会展示才能，进入管理机构。在《会饮篇》里这位终生未娶的智者也谈到了爱欲，“爱欲是从灵魂出发，达到渴求的善，对象是永恒的美。”用最通俗的话讲就是，爱一个美人，实际上是通过美人的身体和后嗣，求得生命的不朽。
虽然柏拉图本人并没有在数学研究方面作出特别突出的贡献（有人将分析法和归谬法归功于他），却是那个时代希腊数学活动的中心，大多数重要的数学成就均由他的弟子取得。例如，一般整数的平方根或高次方根的无理性研究（包括由无理数的发现导致的第一次数学危机的解脱），正8面体和正20面体的构造，圆锥曲线和穷竭法的发明（前者的发明是为了解决倍立方体问题*），等等，甚至连大数学家欧几里德早年也来阿卡德米攻读几何学，这一切使得柏拉图及其学园赢得了“数学家的缔造者”的美名。
对数学哲学的探究，也起始于柏拉图。在他看来，数学研究的对象应该是理念世界中永恒不变的关系，而不是感觉的物质世界的变化无常。他不仅把数学概念和现实中相应的实体区分开来，也把它和在讨论中用以代表它们的几何图形严格区分。举例来说，三角形的理念是惟一的，但存在许多三角形，也存在相应于这些三角形的各种不完善的摹本，即具有各种三角形形状的现实物体。这样一来，就把起始于毕达哥拉斯的对数学概念的抽象化定义又向前推进了一步。
在柏拉图的所有著作中，最有影响的无疑要数《理想国》了。这部书由10篇对话组成，核心部分勾勒出形而上学和科学的哲学。其中第6篇谈及数学假设和证明。他写到，“研究几何、算术这类学问的人，首先要假定奇数、偶数、三种类型的角以及诸如此类的东西是已知的。……从已知的假设出发，以前后一致的方式向下推，直至得到所要的结论。”由此可见，演绎推理在学园里已经盛行。柏拉图还严格把数学作图工具限制为直尺和圆规，这对于后来欧几里德几何公理体系的形成有着重要的促进作用。
谈到几何学，我们都知道那是柏拉图极力推崇的学问，是他构想的要花费10年学习的精密科学的重要组成部分。柏拉图认为创造世界的上帝是一个“伟大的几何学家”，他本人对五种正多面体的特征和作图有过系统的阐述，以至于它们被后人称为“柏拉图体”。从公元6世纪以来广为流传的一则故事说，在柏拉图学园门口刻着，“不懂几何学的人请勿入内”。无论如何，柏拉图充分意识到了数学对探求人类理想的重要性，在他晚年的一部著作中，他甚至把那些无视这种重要性的人形容为“猪一般”。
（* 倍立方体是所谓古希腊三大几何问题之一，另外两个问题是化圆为方、三等分角。直到19世纪，数学家们才弄清楚，这三个问题实际上是不可解的。）
3、亚里士多德
公元前347年，柏拉图在参加一位朋友的结婚宴会时，忽感不适，退到屋子一角平静地辞世，享年80岁。虽然没有记载，但参加他葬礼的人中间，应该有他亲自教诲过的学生亚里士多德（Aristotle，公元前384年-前322年）。自从17岁那年被监护人送入柏拉图学园，他跟随老师已经整整20年了。亚里士多德无疑是学园培养的最出色的学生，他后来成为世界古代史上最伟大的哲学家和科学家，对西方文化的取向和内容有着深远的影响，是其他任何思想家无法相比的。
亚里士多德出生在希腊北部哈尔基季基半岛上，当时是马其顿的领土（如今是希腊北部的旅游中心），其父曾担任马其顿国王的御医。或许是受父亲的影响，他对生物学和实证科学饶有兴趣，而在柏拉图的影响下，他后来又迷恋上哲学推理。在柏拉图死后，亚里士多德开始了漫游（正像苏格拉底去世后柏拉图开始漫游一样）。他和他的同学兼好友先到小亚细亚的阿苏斯停留了三年，接着到附近莱斯沃斯岛上的米蒂利亚创办了一个研究中心（这两处地方的地理位置恰如南面的米利都和萨摩斯岛），开始了生物学的研究。
42岁那年，亚里士多德应马其顿国王菲力二世的邀请，来到首都培拉担任13岁的王子亚历山大的家庭教师。他试图依照荷马史诗《伊利亚特》中的英雄塑造王子，使其体现希腊文明的最高成就。三年之后，亚里士多德返回了故乡。直到公元前335年亚历山大继承了王位，他又来到了雅典，并创办了自己的学园（吕园）。此后的12年间，除了研究和写作，他把自己的精力投入到吕园的教学和管理事务上。据说亚里士多德授课时喜欢在庭园里边走边讲，以至于今日英文里演讲或论述一词（discourse）的原意就是“走来走去”。
吕园和学园均坐落在雅典的郊外，只不过柏拉图的兴趣偏向数学方面，而亚里士多德的兴趣却在生物学和历史方面。但亚里士多德毕竟在学园里熏陶了20年，因而继承了柏拉图的部分数学思想。他对定义作了更为细致的讨论，同时深入研究了数学推理的基本原理，并将它们区分为公理和公设。在他看来，公理是一切科学共同的真理，而公设则是为某一门科学所特有的最初原理。
亚里士多德在数学领域里最重要的贡献是将数学推理规范化和系统化，其中最基本的原理是矛盾律——一个命题不能既是真的又是假的，和排它律——一个命题要么是真的，要么是假的，两者必居其一，这两条早已成为数学证明的核心。在哲学领域，亚里士多德最大的贡献在于创立了形式逻辑学，尤其是俗称三段论的逻辑体系，这是他百科全书式的众多建树中的一个支柱。形式逻辑被后人奉为推理演绎的圭臬，在当时，则为欧几里德几何学奠定了方法论的基础，后者是希腊数学黄金时代的标志性成就。
三、亚历山大学派
1、《几何原本》
比起我们前面讲到的人物来，欧几里得出生要晚许多，但却没有留下任何生活细节或线索。我们甚至不知道他到底出生在哪个洲，欧洲、非洲还是亚洲？至于他的生卒年我们更是无从知晓。我们只知道，他曾在雅典的柏拉图学园学习，后来（大约在公元前300年前后）受聘来到埃及的亚历山大大学数学系任教，并留下一部《几何原本》的数学著作。由于这部书作为教科书被广泛地使用了两千多年，加上几何学和数学对人类智慧的重要性，他被认为是所有纯粹的数学家中对世界历史的进程最有影响力的一位。
现在我必须要介绍一下亚历山大这座城市。在伯罗奔尼撒战争以后，希腊处于政治上的分裂时期，北方的马其顿人乘虚而入，不久便攻陷了雅典。等到年轻的亚历山大继承了王位，在为希腊的文明所折服的同时，他开始实施征服世界的野心，在他的军队取得节节胜利的同时，也选择良好的位置建造一座座新的城市。当亚历山大占领埃及之后，便在地中海边的一个地方（开罗*西北方向两百多公里处）建起一座以他自己名字命名的城池，那是在公元前332年。他不仅请来最好的建筑师，还亲自监督规划、施工和移民。
9年以后，亚历山大远征印度回来，在巴比伦暴病身亡，年仅32岁。之后，他的庞大帝国一分为三，但仍然联合在希腊文化的旗帜下。等到托勒玫统治埃及，他便把亚历山大定为首都。为了吸引有学问的人到这座城市来，他下令建立了著名的亚力山大大学，其规模和建制堪与现代大学相比。该大学的中心是大图书馆，据说藏有60多万卷纸草书。那以后，亚历山大便成为希腊民族精神和文化的首都，持续了将近一千年。直到19和20世纪，希腊最负盛名的现代诗人卡瓦菲仍选择在亚历山大度过大半生。
欧几里得正是在上述背景下来到亚历山大的，他的《几何原本》应是在此期间写成的。书中提出的几乎所有定理在他之前就已经为人知晓，使用的证明也大体如此。但他却将这些已知的材料做了整理和系统的阐述，包括对各种公理和公设作了适当的选取。后一项工作并不容易，需要超乎寻常的判断力和洞察力。之后，他非常仔细地将这些定理做了安排，使得每一个定理与以前的定理在逻辑上保持一致。欧几里得因此被公认为是古希腊几何学的集大成者，《几何原本》问世以后，很快取代了以前的几何教科书。
在这部古代世界（也可以说是所有年代）最著名的教科书里，欧几里得从定义、公设和公理出发，他把点定义为没有部分的一种东西，线（现在称为弧线和曲线）是没有宽度的长度，直线是其上各点无曲折排列的线，等等。全书共分13篇，其中1-6篇讲的是平面几何，7-9篇讲的是数论，10篇讲的是无理数，11-13篇讲的是立体几何。全书共收入465个命题，用到了5条公设和5条公理。众所周知，对第5公设的证明或替换的尝试导致了非欧几何学的诞生，我们以后将会详细谈论这一点。
在这里，我想特别介绍一下数论部分，它们中相当一部分仍然出现在今天的初等数论教科书中。例如，第7篇谈到了两个或两个以上正整数的最大公约数的求法（今称为欧几里得算法），并用它来检验两个数是否互素。第九篇中命题14相当于算术基本定理，即任何大于一的数可以分解成若干素数的乘积；命题20讲的是素数无限多个，其证明被普遍认为是数学证明的典范，至今每本数论教科书不可或缺；命题36给出了著名的偶数完美数的充要条件，这个源自毕达哥拉斯的问题至今无人能够彻底解决。
现在我要讲述两则有关欧几里得的轶事，它们均来自他的希腊数学同行对《几何原本》的注释读本。据说有一次，国王托勒玫向欧几里得询问学习几何学的捷径时，他脱口回答，“几何学中没有王者之路”。还有一次，当有一个跟欧几里得学习几何学的学生问他，学这门功课会得到什么时，欧几里得没有直接回答，而是命令一个奴仆给他一个便士。然后说，“因为他总想着从学习中捞到什么好处。”
自从德国人谷登堡在15世纪中叶发明活字印刷术以来，《几何原本》在世界各地已经出版了上千个版本，它被认为是现代科学产生的一个主要因素，甚至思想家们也为它完整的演绎推理结构倾倒。值得一提的是，由于亚历山大图书馆相继被罗马军队和偏激的基督徒烧毁，这部著作最完整的拉丁文版本是从阿拉伯文转译的。它被意大利传教士利玛窦和徐光启译成中文已是17世纪的事情了，且仅译出前6篇；整整两个半世纪以后，才由英国传教士伟烈亚力和李善兰译出较为完整的译本。
（*虽说开罗的历史只有1300多年，但它的近郊已经毁坏的孟菲斯五千年前就曾是座大都市，尼罗河在此分成两个支流注入地中海，其中一条就叫罗塞塔。） 2、阿基米德
欧几里得来到亚历山大大学以后，使得该校数学系名声大震（他可能是系主任），引来各方青年才俊，其中最著名的要数阿基米德（Archimedes，公元前287-前212）。由于有多位罗马历史学家描述记载，阿基米德的生卒年较其他数学家更为可靠。他出生在西西里岛东南的叙拉古（又译锡拉库萨），与国王、王子或亲戚或朋友，其父是天文学家。早年阿基米德在埃及跟随欧几里得的弟子学习，回到故乡以后仍然和那里的人们保持密切的通信联系（他的学术成果多半通过这些信件得以发表和保存），因此可以算是亚历山大学派的成员。
阿基米德的著述甚丰，且多为论文手稿而非大部头著作的形式，这也可谓是数学史上的第一人。这些论著的内容涉及数学、力学及天文学，流传至今的几何学方面的有《圆的度量》、《抛物线求积》、《论螺线》、《论球和圆柱》、《论劈锥曲面和旋转椭球》、《论平面图形的平衡或重心》，力学方面的有《论浮体》、《处理力学问题的方法》，还有一部给小王子写的科普著作《沙粒的计算》（长大后他善待了阿基米德）。此外，他还有一部仅存拉丁文的著作《引理集》和一部用诗歌语言写的《牛群问题》，标题是给亚历山大数学家埃拉托色尼的信。
在几何学方面，阿基米德最善长探求面积和体积及其相关的问题，这方面他胜过欧几里德一筹。例如，他把穷竭法用于计算出圆的周长，他从圆内接正多边形着手，随着边数的逐渐增加，计算到96边时得到了圆周率的近似值22/7，这个值准确到小数点后两位，即3.14，那是公元前人类所获得的圆周率最好的结果。用类似的方法他还证明了，球的表面积等于大圆的四倍，这样一来，球表面积的计算公式也有了。
可是，穷竭法只能严格证明已知的命题，却不能用来发现新的结果，为此阿基米德发明了一种平衡法，其中蕴涵着极限的思想并借助了力学上的杠杆原理，同时它是近代积分学里微元法的雏形。例如，球的体积公式（r为圆半径）
$V ={4pi}/3r^3$
就是阿基米德用这个方法首先推算出来的，接着他用穷竭法给出了证明。这种发现和求证的双重方法无疑是阿基米德的独创，用这个方法他还得到，抛物线上的弓形面积与其相应的三角形面积之比为4 : 3，等等。
与欧几里得相比，阿基米得可以说是应用数学家，这方面有许多故事。古罗马的建筑学家维特鲁威有一部10卷本的《建筑学》，其主要理想是在神庙和公共建筑中保存古典的传统。这部书的第9卷记述了一则传诵千古的轶事，随着叙拉古国王的政治威望日益高涨，他为自己定做了一顶金皇冠。完工之后，却有人揭发说里面掺入了银子。国王只得邀请阿基米德来鉴定，一日他正苦闷着，在浴盆地泡澡，忽然觉得身体轻盈起来，原来是水溢出了盆面。阿基米德恍然大悟，发现固体的体积可放入水中得以测量，由此可以判断其比重和质地。
更有意义的是，经过反复实验和思考以后，阿基米德还发现了流体力学的基本原理（又称浮体定律）：物体在流体中减轻的重量，等于排去的流体的重量。又据希腊最后一位大几何学家帕波斯记载，阿基米德曾宣称，“给我一个支点，我可以移动地球！”据说为了让人相信这点，他曾设计一组滑轮，使得国王亲手移动了一艘三桅大帆船。国王佩服得五体投地，当即宣布，“从现在起，阿基米德说的话我们都要相信。”即便在今天，通过巴拿马运河或苏伊士运河的巨轮，依然依靠有轨的滑轮车推动。
其实，阿基米德之所以发出那样的豪言壮语，是因为他发明并掌握了杠杆原理。不仅如此，他还用他的智慧和力学知识保卫故乡，最后为国捐躯。事情是这样的，叙拉古的近邻迦太基*由于商业和殖民利益上的冲突，在公元前3世纪和2世纪与罗马人发生了三次战争，史称布匿战争，布匿（Punic）是由腓尼（Poeni）转化而来。其中第二次战争把与迦太基人结盟的叙拉古人也卷了进来。公元前214年，罗马军队包围了叙拉古。
叙拉古人先是用阿基米德发明的起重机之类的家伙把靠近岸边或城墙的船只抓起来，再狠狠地摔下去。又用强大的机械把巨石抛出去，形同暴雨，打得敌人仓皇逃窜。还有一种夸张的说法，阿基米德用巨大的火镜反射阳光焚烧敌船，不过另一种说话更加可信，即将燃烧的火球抛向敌船使之着火。最后，罗马人改用长期围困的策略，叙拉古终于因粮尽弹绝而陷落，正在沙盘上画图的阿基米德也被一名莽撞的罗马士兵用长矛刺死。阿基米德之死标志着希腊数学和灿烂文化走向衰败的开始，从此以后，罗马人开始了野蛮和愚昧的统治。
（*古代国名，由腓尼基人建立，以今北非突尼斯为中心，鼎盛时期领土东起西西里，西达摩洛哥和西班牙。）
3、其他数学家
正当罗马人攻陷叙拉古之时，亚历山大学派的另一位代表人物阿波罗尼奥斯也快完成了一生的主要工作。他出生在小亚细亚，约比阿基米德年轻25岁，早年也在亚历山大大学学习数学，后来回到故乡，晚年又复返亚历山大，并卒于该城。阿波罗尼奥斯最主要的贡献是写出了一部《圆锥曲线论》，今天我们熟知的椭圆（ellipse）、双曲线（hyperbola）和抛物线*（parabola）便首次出现在这部书里。
阿波罗尼奥斯的圆锥是这样定义的，给定一个圆和该圆所在平面外面的一点，过该点和圆上的任意一点可连成一条直线（母线），让这根直线移动即得到所要的圆锥。然后，用一个平面去截圆锥，如果这个截平面不与底圆相交，所得的交线就是一个椭圆。如果相交但不与任何一条母线平行，所得的交线就是一条双曲线。如果相交且与其中一条母线平行，所得的交线就是一条抛物线。此外，他还研究了圆锥曲线的直径、切线、中心、渐进线、焦点，等等。
阿波罗尼奥斯用纯几何的方法得到了将近两千年以后解析几何的一些主要结果，不禁令人赞叹。可是说，他的《圆锥曲线论》达到了希腊演绎几何的最高成就，因此他和欧几里得、阿基米德被后人合称为亚历山大前期的三大数学家，他们共同造就了希腊数学的“黄金时代”。在这以后，随着罗马帝国的扩张，雅典及其他许多城市的学术研究迅速枯萎了，可是由于希腊文明的惯性影响，尤其是罗马人对稍远的亚历山大里亚自由思想的宽松态度，那里仍产生了一批数学家和了不起的学术成果。
亚历山大后期的数学家在几何学方面贡献不大，最值得一提的是海伦公式（数学家海伦而非美女海伦），即设三角形边长依次为$a,b,c,s = {a+b+c}/2$，则其面积Δ为，
$\Delta=sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
后来人们才知道，这个公式是阿基米德发现的，但却没有收入他现存的书里。相比之下，三角学的建立更值得称道，这方面的工作收在一部天文学著作《天文学大成》里，作者是一位与国王托勒玫同名的数学家、地理学家和天文学家，此书因为提出“地心说”而在整个中世纪成为西方天文学的经典。当然，他出世时托勒玫王朝已经落幕。几何学中所谓的“托勒玫定理”是这样陈述的：圆内接四边形中，两条对角线长的乘积等于两对边长乘积之和。
不过，亚历山大后期希腊数学的一个重要特点是，突破了前期围绕着几何学的传统，而使算术和代数成为独立的学科。希腊人所谓的“算术”（Arithmetic）即今天的数论（number theory），不过这个词仍沿用至今，波兰的《数论学报》即取名ActaArithmetic。《几何原本》之后，数论领域的代表著作当数丢番图的《算术》，其全译本书通过阿拉伯文转译的。书中以讨论不定方程的求解著称，此类方程又称丢番图方程，是指整系数的代数方程的整数解，一般来说，未知数的个数要多与方程的个数。
（*这三个名词的中文译名是由清代数学家李善兰率先使用的（1859），那一年〈物种起源〉正式出版。）
这本书中最有名的问题是第2卷问题8，丢番图这样表述：将一个已知的平方数表为两个平方数之和。17世纪的法国数学家费尔马在阅读此书的拉丁文译本时添加了一个注释，引出了后来举世瞩目的“费尔马大定理”。同样有趣的是丢番图的生平，一般认为他生活在公元250年前后。在6世纪元年前后收集的一本《希腊诗选》，其中有一首恰好是丢番图的墓志铭，
坟墓里边安葬着丢番图，
多么让人惊讶，
他所经历的道路忠实地记录如下：
上帝给予的童年占六分之一，
又过了十二分之一，两郏长须，
再过七分之一，点燃起婚礼的蜡烛。
五年之后天赐贵子，
可怜迟到的宁馨儿，
享年仅及父亲的一半，便进入冰冷的墓。
悲伤只有用整数的研究去弥补，
又过了四年，他也走完了人生的旅途。
这相当于解方程
$x/6 + x/12 + x/7 +5 +x/2 +4 = x$
答案是：x =84。由此人们便知他活了84岁。到了帕波斯生活的年代，中国数学家刘徽已在世。和丢番图一样，帕波斯也有一本传世著作《数学汇编》，此书被视为希腊数学的安魂曲。其中最突出的结论是：在周长相等的平面封闭图形中，圆的面积最大，这个问题已涉及极值问题。书中还给出了解决倍立方体问题的四种尝试，其中第一种尝试是由公元前三世纪的埃拉托色尼给出的，此人是个大学问家，有“柏拉图第二”的美誉，但他无疑更多才多艺，同时还是一位诗人、哲学家、历史学家、天文学家和五项全能运动员。
数论中有所谓埃拉托色尼筛法，提供了制造素数表的最初方法，有关偶数哥德巴赫猜想的研究主要依赖于这种方法及其变种。他还是第一个较为精确地计算出地球周长的人，而他在亚历山大大学的同事阿基米德所得结果却相去甚远。埃拉托色尼最有实用价值的工作是，他率先划分出地球的五个气候带，这种划分沿用至今；他在分析比较了大西洋和印度洋的潮涨潮落之后，断定它们是相通的，也就是说，可以从海上绕过非洲，这为15世纪末葡萄牙人达·伽马从水陆到达印度提供了理论依据。 四、结束语
从以上论述中我们不难发现，希腊数学有两个显著的特点，一是抽象化和演绎精神，二是它与哲学的关系非常密切。如果说埃及人和巴比伦人所积累的数学知识就像空中楼阁，或由沙子砌成的房屋，一触即溃。那么希腊人建造就是一座座坚不可摧的、永远的宫殿。如同音乐爱好者将音乐视为结构、音程和旋律的组合一样，希腊人也将美看作是秩序、一致、完整和明晰。柏拉图说了，“无论我们希腊人接受什么东西，我们都要将其改善并使之完美无缺。”
可以说，希腊人是天生的哲学家，他们热爱理性，爱好精神活动，这就使得他们与其他民族有了重要的区别。从公元前6世纪米利都的泰勒斯到公元前337年柏拉图去世，是数学和哲学的第一个蜜月，数学家和哲学家甚至同为一个人。说起希腊哲学，它的一个显著特点是把整个宇宙作为研究对象，也就是说，哲学是包罗万象的。这与那时候数学的发展处于初级阶段有关系，数学家只能讨论简单的几何学和算术，对运动和变化无能为力（因此才有了芝诺的悖论），哲学家就只好担当起重任。
可是，随着希腊诸城邦被马其顿控制（公元前338年），希腊数学中心从雅典转移到了地中海南面的亚历山大城，数学和哲学的蜜月就结束了。尽管如此，这一曾经有过的奇妙结合还是催生了一部堪称古代世界逻辑演绎最高结晶的书——欧几里得的《几何原本》。这部书的意义不仅在于贡献了一系列美妙的定理，更有价值的是孕育出一种理性的精神。可以说，后世一代代西方人正是从这部著作里学会了怎样进行无懈可击的推理。
由于希腊当时有许多原住民和被文明吸引过来的外来奴隶，他们负责耕种土地、收获庄稼，从事城邦里各项具体的劳动和杂务，使得许多人有闲从事唯理主义的思考和探讨。但终归，这样的生活在物质并非十分富足的情况下不会持久。讲究实效的罗马最后取代了精神至上的希腊，正如很久以后，热衷于物质进步的美国取代了理想主义的欧洲一样。公元415年，人类第一个有记载的女数学家希帕蒂娅在她的故乡亚历山大被一群暴徒残杀，宣告希腊文明难以避免最后衰败的结局。
希帕蒂娅的父亲是最权威的《几何原本》版本的注释者，她本人也是丢番图的《算术》和阿波罗尼奥斯的《圆锥曲线》的注释者，同时又是亚历山大城新柏拉图主义哲学家的领袖，据说以其美貌、善良和非凡的才智吸引了大批崇拜者。可惜，希帕蒂娅的所有注释本均已遗失，我们甚至不知道她是否写过哲学著作，只留下她的学生写给她的信件，信中向她讨教如何制造星盘和水钟的问题。
在希腊文明全身隐退之后，无论是在罗马统治时期，还是在漫长的中世纪（后面两章我们将会看到，这为几个东方古国再度登上世界历史的舞台提供了契机），数学与哲学都渐行渐远。直到16世纪，“意大利人文主义思想尤其强调了毕达哥拉斯和柏拉图的数学传统，世界的数字结构再次受到重视，从而取代了曾使之黯然失色的亚里士多德传统。”（罗素语）而到了17世纪，随着微积分学的诞生，哲学和数学再次得以靠拢，不过哲学的主要研究目标已缩小成为“人怎样认识世界”了。 中世纪的中国
可以肯定的是，中国（古代）科学所达到的境界是达·芬奇式的，而不是伽利略式的。
——李约瑟
一、引子
1、先秦时代
正当埃及和巴比伦的文明在亚、非、欧三大洲的接壤处发展的时候，另一个完全不同的文明在遥远的东方，也沿着黄河和长江流域发展并散播开来。学者们通常认为，在今天新疆的塔里木盆地和幼发拉底河之间，由于一系列高山、沙漠和蛮横的游牧部落的阻隔，远古时代任何迁徙的可能性都不存在。在公元前2700年到前2300年间，出现了传说中的五帝,之后，相继出现了一系列的王朝。虽说由于刻录文字的竹板不如泥版书和纸草书耐久，但由于中国人勤于记录，仍有相当多的资料流传下来。
与巴比伦和埃及一样，远古时代的中国就有数与形的萌芽。虽说殷商甲骨文的破译仍在进行，但已发现有完整的10进制，至迟在春秋战国时代，又出现了严格的筹算记数，这种记数法分为纵横两种形式，分别表示奇数位数和偶数位数，逢零则虚位以待。关于形，司马迁在《史记》（公元前1世纪）夏本纪（本纪即传记）里记载，“（夏禹治水）左规矩，右准绳”，“规”和“矩”分别是圆规和直角尺，“准绳”则用来确定垂线的器械，或许这算得上是几何学的早期应用。
更为难得的是，与热衷于对哲学和数学理论探讨的希腊雅典学派一样，处于同一个时代的中国战国（公元前475-前221）也有诸子百家，那是盛产哲学家的年代。其中，“墨家”的代表作《墨经》讨论了形式逻辑的某些法则，并在此基础上提出一系列数学概念的抽象定义，甚至涉及到“无穷”。而以善辩著称的名家，对无穷概念则有着更进一步的认识，道家的经典著作《庄子》记载了名家的代表人物惠施的命题“至大无外，谓之大一。至小无内，谓之小一。”此处“大一”是指无限宇宙，“小一”相当于赫拉克利特的原子。
惠施（约公元前370-前310）是哲学家，宋国（今河南）人，当时的声望仅次于孔子和墨子。他曾任魏相15年，主张联合齐楚抗秦，政绩卓著。惠施与以写作《梦蝶》、《逍遥游》闻名的同代哲学家庄周既是朋友，又是论敌，两人关于鱼乐之辩是很著名的辩论。他死后，庄周叹息再无可言之人。惠施涉及数学概念的精彩言论尚有
矩不方，规不可以为圆；
飞鸟之影未尝动也；
镞矢之疾，而有不行、不止之时；
一尺之棰，日取其半，万世不竭；
等等，可以看出，这与早他一个世纪的希腊人芝诺所发明的悖论有异曲同工之妙。惠施的后继者公孙龙以“白马非马”之说闻名，虽然在逻辑学上分开了“一般”和“个别”，却未免有诡辩之嫌了。
可惜的是，名、墨两家在先秦诸子中属于例外，其他包括更有社会影响力的儒、道、法等各家的著作则很少关心与数学有关的论题，只注重治国经世、社会伦理和修心养身之道，这与古希腊学派的唯理主义有很大的差异。始皇帝统一中国以后，结束了百家争鸣的局面，甚至搞了一场臭名昭著的焚书。到汉武帝时（公元前140年）则独尊儒术，名、墨著作中的数学论证思想，均失去进一步发展的机会。不过，由于社会稳定，加上对外开放，经济出现了空前的繁荣，带动数学在实用和算法方向发展，也取得了较大的成就。
2、《周髀算经》
公元前47年，亚历山大图书馆在尤利西斯·凯撒统率的罗马军队攻城时被部分烧毁，他是为了帮助他的情人克娄巴特拉夺取政权。后者是托勒密13世的次女，先后与她的两个弟弟托勒玫13世和14世，以及她和凯撒的儿子托勒密15世共同执政。此时中国正处于第一个数学高峰的上升阶段，即西汉后期。一般认为，中国最重要的古典数学名著《九章算术》就是在那个年代（公元前1世纪）成书的，而最古老的数学著作《周髀算经》的成书应该在此以前。
值得一提的是，对中国古代科学技术史很有研究的英国科学史家李约瑟虽然认同《九章算术》代表了比《周髀算经》更为先进的数学水准，但他却认为，我们对后者所能给出的确切的成书年代比起前者来还要晚两个世纪。显而易见，这是数学史家和考古学家的一大遗憾。李约瑟在其巨著《中国科学技术史》里叹息道，“这是一个比较复杂的问题……书中有部分结果是如此古老，不由得相信它们的年代可以追溯到战国时期。”
《周髀算经》不仅成书的年代无法考证，连作者也不详，这与《几何原本》的命运有别。这部著作中最让人感兴趣的数学结果有两个。一个当然是勾股定理了，即关于直角三角形的毕达哥拉斯定理，该定理的得出至少是在毕氏在世（公元前6世纪）以前，但是没有欧几里得在《几何原本》之第一卷命题47中所提供的证明。有意思的是，该定理是以记载西周初年（公元前11世纪）政治家周公与大夫商高讨论勾股测量的对话形式出现的。
周公是文王之子，武王之弟。武王卒后，他又摄政，亲自平定了叛乱，7年之后还政于成年的成王。商高答周公问时提到“勾广三，股修四，径五”，这是勾股定理的特例，因此它又被称为商高定理。书中还记载了周公后人的一段对话，包含了勾股定理的一般形式：
……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。
不难看出，这是从天文测量中总结出来的规律。在中国古文里，勾和股分别指直角三角形中较短和较长的直角边，而髀的意思是大腿或大腿骨，也是测量日高的两处立表。《周髀算经》中另一个重要的数学结论即所谓的日高公式，它在早期天文学和历法编制中被广泛使用。
此外，书中还有分数的应用、乘法的讨论以及寻找公分母的方法，表明平方根已经被应用了。值得一提的是，该书的对话中还提到了治水的大禹，伏羲和女娲手中的规和矩，这无疑表明已经需要测量术和应用数学了。此外，书中还有几何学产生于计量的个别观点。李约瑟认为，这似乎表明中国人从远古时代起就具有算术和商业头脑，他们对那种与具体数字无关的、单从某种假设出发得以证明的定理和命题所组成的抽象的几何学不太感兴趣。
值得欣慰的是，公元3世纪，三国时代的东吴数学家赵爽用非常优美的方法证明了勾股定理。他是在注释《周髀算经》时运用面积的出入相补法给出证明的。如图所示，直角三角形两条直角边a和b为边的正方形的合并图形，其面积应该为$a^2 +b^2$。如果将该合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置，将得到原三角形的斜边c为边长的正方形，其面积恰好是$c^2$，故而有
$a^2 + b^2 = c^2$
3、《九章算术》
与《周髀算经》不同的是，《九章算术》虽然作者和成书年份不详，但是基本可以确定，此书是从西周时期贵族子弟必修的六门课程（六艺）之一的“九数”发展而来，并经过西汉时期的两位数学家删补。其中为首的张苍也是著名的政治家，曾为汉文帝的丞相，在位期间亲自制订了律法和度量衡。一般认为，《九章算术》是从先秦至西汉中叶期间经过众多学者编撰、修改而成的一部数学著作。
《九章算术》采用问题集的形式，264个问题分成9章，依次为：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。可以看出，这部书的重点是计算和应用数学，仅有的涉及几何的部分也主要是面积和体积的计算，这与欧几里得的《几何原理》恰好相反。其中的三章栗米、衰分、均输集中讨论了数字的比例问题，这与希腊人用几何线段建立起来的比例论形成了鲜明的对照。“衰分”就是按一定的级差分配，“均输”则是为了解决粮食运输负担的平均分配。
书中最有学术价值的算术问题应该是所谓的“盈不足术”。为求方程$f(x) = 0$ 的根。先假设一个答数为$x_1$，$f(x_1) = y_1$，再假设另一个答数为$x_2$， $f(x_2) = y_2$，求出
$x =(x_1y_2 + x_2y_1) / (y_1+y_2) = (x_2 f(x_1) - x_1 f(x_2)) / (f(x_1) - f(x_2))$
如果f(x)是一次函数，则这个解答是精确的；而对于非线形函数，这个解答只是一个近似值。因此，在今天看来，盈不足术相当于一种线形插值法。
在13世纪意大利数学家斐波那契所著《算经》中有一章讲“契丹算法”，指的就是“盈不足术”，因为欧洲人和阿拉伯人古时候称中国为契丹。可以想见，“盈不足术”是借着丝绸之路，经过中亚流传到阿拉伯国家的，再通过他们的著作传至西方的。值得一提的是，1983年，在湖北张家界一座汉初古墓里出土了一部竹简《算数书》，已经谈到“盈不足术”了，而这本书的成书年代被认为比《九章算术》要早两个世纪。
在代数领域，《九章算术》的记载就更有意义了。“方程”一章里，已经有了线性联立方程组的解法，例如
{(x + 2y + 3z = 26), (2x + 3y + z = 34), (3x + 2y + z =39) :}
但《九章算术》没有表示未知数的符号，而是把未知数的系数和常数排列成一个如下的矩阵（方程）图表，
$((1,2,3),(2,3,2),(3,1,1),(26,34,39))$
再通过相当于消元法的“遍乘直除”法，把此“方程”前三行转化成只有反对角线上有非零元，即
$((0,0,4),(0,4,0),(4,0,0),(11,17,37))$
从而求得解答。考虑到消元法在西方被称为“高斯消元法”，难怪“方程术”被称为中国数学史上的一颗明珠。
除了“方程术”以外，《九章算术》中提到的另外两个贡献也非常值得称道。一是正负术，即正负数的加减运算法则；二是开方术，甚至有“若开之不尽者，为不可开”的语录。前者说明中国人很早就使用了负数，相比之下，印度人在7世纪才开始，而西方对负数的认识则更晚。后者表明中国人已经知道无理数的存在，可是由于是在“方程术”中遇到的，因此并没有认真对待，这是与重视演绎思维的希腊人不同之处，后者一般不轻易放过一个值得追究的机会。
在《九章算术》对几何问题的处理上，可以看出我们祖先的不足，例如“方田”里的圆面积计算公式表明，对圆周率的估算是3，这与巴比伦人的结果相当。而球体积的计算公式只有阿基米德所获得的精确值的一半，再考虑到圆周率取3，误差就更大了。不过，书中所列直线行的几何形的面积或体积的计算公式，基本上是正确的。《九章算术》的一个特色是，把几何问题算术化或代数化，正如《几何原本》把代数问题几何化。遗憾的是，书中几何问题的算法一律没有推导过程，因此只是一种实用几何。