论坛 › 难题征解 › 几何难题4

aimisiyou 发表于 2025-3-21 11:54:39

阿氏圆，切割线定理。

nyy 发表于 2025-3-24 09:57:15

利用二倍角公式，与方程组，吊打这个问题。

Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*BC=3*x,则CD=2*x *)
ans=Solve[{
    cs==cs==2*(AB/AD)^2-1,(*AC平分∠BCD,且为∠BAD的2倍,利用了二倍角公式*)
    AB^2+10^2==AD^2,(*三角形ADB勾股定理*)
    cs==2*cs^2-1(*∠BCD=2∠ACD,二倍角公式*)
},{AC,x,AB,AD}]//Simplify
Grid(*列表显示*)
aaa=Select/.#)&]


\[\begin{array}{llll}
\text{AC}\to -30 & x\to 10 & \text{AB}\to 0 & \text{AD}\to -10 \\
\text{AC}\to 30 & x\to -10 & \text{AB}\to 0 & \text{AD}\to -10 \\
\text{AC}\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to -10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to -20 i \\
\text{AC}\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to 10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to -20 i \\
\text{AC}\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to -10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to -20 i \\
\text{AC}\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to 10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to -20 i \\
\text{AC}\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to -10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to 20 i \\
\text{AC}\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to 10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to 20 i \\
\text{AC}\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to -10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to 20 i \\
\text{AC}\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to 10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to 20 i \\
\text{AC}\to -30 & x\to 10 & \text{AB}\to 0 & \text{AD}\to 10 \\
\text{AC}\to 30 & x\to -10 & \text{AB}\to 0 & \text{AD}\to 10 \\
\text{AC}\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to -10 \sqrt{7} & \text{AD}\to -20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to 10 \sqrt{7} & \text{AD}\to -20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to -10 \sqrt{7} & \text{AD}\to -20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to 10 \sqrt{7} & \text{AD}\to -20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to -10 \sqrt{7} & \text{AD}\to 20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to 10 \sqrt{7} & \text{AD}\to 20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to -10 \sqrt{7} & \text{AD}\to 20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to 10 \sqrt{7} & \text{AD}\to 20 \sqrt{2} \\
\end{array}\]

过滤后得到
\[\left\{\left\{\text{AC}\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}},x\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}},\text{AB}\to 10 \sqrt{7},\text{AD}\to 20 \sqrt{2}\right\}\right\}\]

aimisiyou 发表于 2025-3-24 10:19:04

nyy 发表于 2025-3-24 09:57
利用二倍角公式，与方程组，吊打这个问题。




杀鸡焉用牛刀？

nyy 发表于 2025-3-24 12:03:25

aimisiyou 发表于 2025-3-24 10:19
杀鸡焉用牛刀？

杀鸡就是要用牛刀，这样有快感

nyy 发表于 2025-3-24 14:37:31

TSC999 发表于 2025-3-20 17:43
初中解法来了：

上面这个做法是【数学中国】的 ataorj 网友给出的。

怎么看都觉得我的思路简单，虽然方程组求解计算量很大，但是思路非常的清晰

nyy 发表于 6 天前

四面体体积等于0。利用这个。有时间到电脑上试试。

nyy 发表于 4 天前

nyy 发表于 2025-3-26 09:49
四面体体积等于0。利用这个。有时间到电脑上试试。

利用四面体体积等于零作为其中一个条件，列方程组，解方程组
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
(*线段长度赋值*)
AB=BA=b
BC=CB=3*a
CD=DC=2*a
AD=DA=c
AC=CA=d
BD=DB=10
(*列方程组解决问题*)
ans=Solve[{
    cs==cs,(*AC平分∠BCD,因此这两个角的余弦值相等*)
    cs==2*(AB/AD)^2-1,(*∠ACB为∠BAD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    AB^2+BD^2==AD^2,(*三角形ADB勾股定理*)
    fun==0 (*四面体ABCD的体积等于零*)
},{a,b,c,d}]//Simplify
Grid(*列表显示*)
aaa=Select/.#)&]
Grid(*列表显示*)

所有的解为
\[\begin{array}{llll}
a\to -10 & b\to -10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to -40 \\
a\to -10 & b\to -10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to -40 \\
a\to -10 & b\to 10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to -40 \\
a\to -10 & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to -40 \\
a\to 10 & b\to 0 & c\to -10 & d\to -30 \\
a\to 10 & b\to 0 & c\to 10 & d\to -30 \\
a\to -10 & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to -20 \\
a\to -10 & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to -20 \\
a\to -10 & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to -20 \\
a\to -10 & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to -20 \\
a\to 10 & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to 20 \\
a\to 10 & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to 20 \\
a\to 10 & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to 20 \\
a\to 10 & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to 20 \\
a\to -10 & b\to 0 & c\to -10 & d\to 30 \\
a\to -10 & b\to 0 & c\to 10 & d\to 30 \\
a\to 10 & b\to -10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to 40 \\
a\to 10 & b\to -10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 40 \\
a\to 10 & b\to 10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to 40 \\
a\to 10 & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 40 \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
\end{array}\]

非负数解为
\[\begin{array}{llll}
a\to 10 & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 40 \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
\end{array}\]
第一组解看起来多余

nyy 发表于 4 天前

nyy 发表于 2025-3-24 09:57
利用二倍角公式，与方程组，吊打这个问题。




利用方程组，余弦的二倍角公式，来解决这个问题
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
fun:=Sqrt/288]
(*线段长度赋值*)
AB=BA=b
BC=CB=3*a
CD=DC=2*a
AD=DA=c
AC=CA=d
BD=DB=10
(*列方程组解决问题*)
ans=Solve[{
    Numerator@Together-cs]==0,(*AC平分∠BCD,因此这两个角的余弦值相等*)
    Numerator@Together-(2*cs^2-1)]==0,(*∠BCD为∠ACD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    Numerator@Together-(2*(AB/AD)^2-1)]==0,(*∠ACB为∠BAD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    AB^2+BD^2==AD^2(*三角形ADB勾股定理*)
},{a,b,c,d}]//Simplify
Grid(*列表显示*)
aaa=Select/.#)&]
Grid(*列表显示*)


这回把零解也带上，28组解
\[\begin{array}{llll}
a\to 10 & b\to 0 & c\to -10 & d\to -30 \\
a\to -10 & b\to 0 & c\to -10 & d\to 30 \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to 10 & b\to 0 & c\to 10 & d\to -30 \\
a\to -10 & b\to 0 & c\to 10 & d\to 30 \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -2 i \sqrt{5} & b\to -6 i \sqrt{5} & c\to -4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to -2 i \sqrt{5} & b\to 6 i \sqrt{5} & c\to -4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to 2 i \sqrt{5} & b\to -6 i \sqrt{5} & c\to -4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to 2 i \sqrt{5} & b\to 6 i \sqrt{5} & c\to -4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to -2 i \sqrt{5} & b\to -6 i \sqrt{5} & c\to 4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to -2 i \sqrt{5} & b\to 6 i \sqrt{5} & c\to 4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to 2 i \sqrt{5} & b\to -6 i \sqrt{5} & c\to 4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to 2 i \sqrt{5} & b\to 6 i \sqrt{5} & c\to 4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
\end{array}\]

非负数解为
\[\left\{\left\{a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}},b\to 10 \sqrt{7},c\to 20 \sqrt{2},d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}}\right\}\right\}\]

nyy 发表于 4 天前

本帖最后由 nyy 于 2025-3-28 12:40 编辑

nyy 发表于 2025-3-28 10:17
利用方程组，余弦的二倍角公式，来解决这个问题




代码优化，结果优化

Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*线段长度赋值,AB与BA都赋值,这样两个变量都能用了,这样再不用考虑线段的两个端点哪个在前、哪个在后了*)
AB=BA=b
BC=CB=3*a
CD=DC=2*a
AD=DA=c
AC=CA=d
BD=DB=10
(*列方程组解决问题*)
ans=Solve[{
    Numerator@Together-cs]==0,(*AC平分∠BCD,因此这两个角的余弦值相等*)
    Numerator@Together-(2*cs^2-1)]==0,(*∠BCD为∠ACD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    Numerator@Together-(2*(AB/AD)^2-1)]==0,(*∠ACB为∠BAD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    AB^2+BD^2==AD^2,(*三角形ADB勾股定理*)
    a>=0&&b>=0&&c>=0&&d>=0(*限制变量范围*)
},{a,b,c,d}]//Simplify
Grid(*列表显示*)
aaa=Thread[{"AB","AC","AD","BC","BD","CD"}->({AB,AC,AD,BC,BD,CD}/.ans[])]


求解结果
\[\left\{\left\{a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}},b\to 10 \sqrt{7},c\to 20 \sqrt{2},d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}}\right\}\right\}\]

\[\left\{\text{AB}\to 10 \sqrt{7},\text{AC}\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}},\text{AD}\to 20 \sqrt{2},\text{BC}\to 30 \sqrt{\frac{2}{23}},\text{BD}\to 10,\text{CD}\to 20 \sqrt{\frac{2}{23}}\right\}\]

vim的编辑器的命令
(*把AB=3,修改成AB=BA=3*)
.,$s/\(\(\)\(\)=\)/\1\3\2=/gec


代码再修改修改
Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
cs:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
(*线段长度赋值,AB与BA都赋值,这样两个变量都能用了,这样再不用考虑线段的两个端点哪个在前、哪个在后了*)
AB=BA=b
BC=CB=3*a
CD=DC=2*a
AD=DA=c
AC=CA=d
BD=DB=10
(*列方程组解决问题*)
ans=Solve[{
    (*AC平分∠BCD,因此这两个角的余弦值相等,∠ACB为∠BAD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    cs==cs==(2*(AB/AD)^2-1),
    cs==(2*cs^2-1),(*∠BCD为∠ACD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    AB^2+BD^2==AD^2,(*三角形ABD勾股定理*)
    a>=0&&b>=0&&c>=0&&d>=0(*限制变量范围*)
},{a,b,c,d}]//Simplify
Grid(*列表显示*)
aaa=Thread[{"AB","AC","AD","BC","BD","CD"}->({AB,AC,AD,BC,BD,CD}/.ans[])]

nyy 发表于 前天 20:44

我写的代码太棒了，清晰容易懂
虽然有一点点长。

查看完整版本: 几何难题4