几何难题4

aimisiyou

阿氏圆，切割线定理。

nyy

利用二倍角公式，与方程组，吊打这个问题。

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. (*BC=3*x,则CD=2*x *)
   
5. ans=Solve[{
   
6.     cs[2*x,AC,AD]==cs[3*x,AC,AB]==2*(AB/AD)^2-1,(*AC平分∠BCD,且为∠BAD的2倍,利用了二倍角公式*)
   
7.     AB^2+10^2==AD^2,(*三角形ADB勾股定理*)
   
8.     cs[2*x,3*x,10]==2*cs[2*x,AC,AD]^2-1(*∠BCD=2∠ACD,二倍角公式*)
   
9. },{AC,x,AB,AD}]//Simplify
   
10. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
11. aaa=Select[ans,(And[AC>0,x>0,AB>0,AD>0]/.#)&]
    

复制代码

\[\begin{array}{llll}
\text{AC}\to -30 & x\to 10 & \text{AB}\to 0 & \text{AD}\to -10 \\
\text{AC}\to 30 & x\to -10 & \text{AB}\to 0 & \text{AD}\to -10 \\
\text{AC}\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to -10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to -20 i \\
\text{AC}\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to 10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to -20 i \\
\text{AC}\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to -10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to -20 i \\
\text{AC}\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to 10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to -20 i \\
\text{AC}\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to -10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to 20 i \\
\text{AC}\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to 10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to 20 i \\
\text{AC}\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to -10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to 20 i \\
\text{AC}\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} & x\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & \text{AB}\to 10 i \sqrt{5} & \text{AD}\to 20 i \\
\text{AC}\to -30 & x\to 10 & \text{AB}\to 0 & \text{AD}\to 10 \\
\text{AC}\to 30 & x\to -10 & \text{AB}\to 0 & \text{AD}\to 10 \\
\text{AC}\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to -10 \sqrt{7} & \text{AD}\to -20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to 10 \sqrt{7} & \text{AD}\to -20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to -10 \sqrt{7} & \text{AD}\to -20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to 10 \sqrt{7} & \text{AD}\to -20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to -10 \sqrt{7} & \text{AD}\to 20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to 10 \sqrt{7} & \text{AD}\to 20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to -10 \sqrt{7} & \text{AD}\to 20 \sqrt{2} \\
\text{AC}\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} & x\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & \text{AB}\to 10 \sqrt{7} & \text{AD}\to 20 \sqrt{2} \\
\end{array}\]

过滤后得到
\[\left\{\left\{\text{AC}\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}},x\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}},\text{AB}\to 10 \sqrt{7},\text{AD}\to 20 \sqrt{2}\right\}\right\}\]

aimisiyou

nyy 发表于 2025-3-24 09:57
利用二倍角公式，与方程组，吊打这个问题。

杀鸡焉用牛刀？

nyy

aimisiyou 发表于 2025-3-24 10:19
杀鸡焉用牛刀？

杀鸡就是要用牛刀，这样有快感

nyy

TSC999 发表于 2025-3-20 17:43
初中解法来了：

上面这个做法是【数学中国】的 ataorj 网友给出的。

怎么看都觉得我的思路简单，虽然方程组求解计算量很大，但是思路非常的清晰

nyy

四面体体积等于0。利用这个。有时间到电脑上试试。

nyy

nyy 发表于 2025-3-26 09:49
四面体体积等于0。利用这个。有时间到电脑上试试。

利用四面体体积等于零作为其中一个条件，列方程组，解方程组

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
5. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
6. (*线段长度赋值*)
   
7. AB=BA=b
   
8. BC=CB=3*a
   
9. CD=DC=2*a
   
10. AD=DA=c
    
11. AC=CA=d
    
12. BD=DB=10
    
13. (*列方程组解决问题*)
    
14. ans=Solve[{
    
15.     cs[CD,CA,AD]==cs[CA,CB,AB],(*AC平分∠BCD,因此这两个角的余弦值相等*)
    
16.     cs[CA,CB,AB]==2*(AB/AD)^2-1,(*∠ACB为∠BAD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    
17.     AB^2+BD^2==AD^2,(*三角形ADB勾股定理*)
    
18.     fun[AB,AC,AD,CD,BD,BC]==0 (*四面体ABCD的体积等于零*)
    
19. },{a,b,c,d}]//Simplify
    
20. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
21. aaa=Select[ans,(And[a>=0,b>=0,c>=0,d>=0]/.#)&]
    
22. Grid[aaa,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

所有的解为
\[\begin{array}{llll}
a\to -10 & b\to -10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to -40 \\
a\to -10 & b\to -10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to -40 \\
a\to -10 & b\to 10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to -40 \\
a\to -10 & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to -40 \\
a\to 10 & b\to 0 & c\to -10 & d\to -30 \\
a\to 10 & b\to 0 & c\to 10 & d\to -30 \\
a\to -10 & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to -20 \\
a\to -10 & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to -20 \\
a\to -10 & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to -20 \\
a\to -10 & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to -20 \\
a\to 10 & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to 20 \\
a\to 10 & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to 20 \\
a\to 10 & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to 20 \\
a\to 10 & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to 20 \\
a\to -10 & b\to 0 & c\to -10 & d\to 30 \\
a\to -10 & b\to 0 & c\to 10 & d\to 30 \\
a\to 10 & b\to -10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to 40 \\
a\to 10 & b\to -10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 40 \\
a\to 10 & b\to 10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to 40 \\
a\to 10 & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 40 \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
\end{array}\]

非负数解为
\[\begin{array}{llll}
a\to 10 & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 40 \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
\end{array}\]
第一组解看起来多余

nyy

nyy 发表于 2025-3-24 09:57
利用二倍角公式，与方程组，吊打这个问题。

利用方程组，余弦的二倍角公式，来解决这个问题

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. (*子函数,四面体体积公式，a,b,c分别是从一个顶点出发的三条棱，x,y,z分别是对棱*)
   
5. fun[a_,b_,c_,x_,y_,z_]:=Sqrt[Det[{{0,1,1,1,1},{1,0,a^2,b^2,c^2},{1,a^2,0,z^2,y^2},{1,b^2,z^2,0,x^2},{1,c^2,y^2,x^2,0}}]/288]
   
6. (*线段长度赋值*)
   
7. AB=BA=b
   
8. BC=CB=3*a
   
9. CD=DC=2*a
   
10. AD=DA=c
    
11. AC=CA=d
    
12. BD=DB=10
    
13. (*列方程组解决问题*)
    
14. ans=Solve[{
    
15.     Numerator@Together[cs[CD,CA,AD]-cs[CA,CB,AB]]==0,(*AC平分∠BCD,因此这两个角的余弦值相等*)
    
16.     Numerator@Together[cs[CD,CB,BD]-(2*cs[CD,CA,AD]^2-1)]==0,(*∠BCD为∠ACD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    
17.     Numerator@Together[cs[CA,CB,AB]-(2*(AB/AD)^2-1)]==0,(*∠ACB为∠BAD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    
18.     AB^2+BD^2==AD^2(*三角形ADB勾股定理*)
    
19. },{a,b,c,d}]//Simplify
    
20. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
21. aaa=Select[ans,(And[a>=0,b>=0,c>=0,d>=0]/.#)&]
    
22. Grid[aaa,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

这回把零解也带上，28组解
\[\begin{array}{llll}
a\to 10 & b\to 0 & c\to -10 & d\to -30 \\
a\to -10 & b\to 0 & c\to -10 & d\to 30 \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to -20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to \frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to -\frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to -10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to -\frac{10 i}{\sqrt{29}} & b\to 10 i \sqrt{5} & c\to 20 i & d\to \frac{80 i}{\sqrt{29}} \\
a\to 10 & b\to 0 & c\to 10 & d\to -30 \\
a\to -10 & b\to 0 & c\to 10 & d\to 30 \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to -20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to -110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to -10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}} & b\to 10 \sqrt{7} & c\to 20 \sqrt{2} & d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}} \\
a\to -2 i \sqrt{5} & b\to -6 i \sqrt{5} & c\to -4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to -2 i \sqrt{5} & b\to 6 i \sqrt{5} & c\to -4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to 2 i \sqrt{5} & b\to -6 i \sqrt{5} & c\to -4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to 2 i \sqrt{5} & b\to 6 i \sqrt{5} & c\to -4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to -2 i \sqrt{5} & b\to -6 i \sqrt{5} & c\to 4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to -2 i \sqrt{5} & b\to 6 i \sqrt{5} & c\to 4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to 2 i \sqrt{5} & b\to -6 i \sqrt{5} & c\to 4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
a\to 2 i \sqrt{5} & b\to 6 i \sqrt{5} & c\to 4 i \sqrt{5} & d\to 0 \\
\end{array}\]

非负数解为
\[\left\{\left\{a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}},b\to 10 \sqrt{7},c\to 20 \sqrt{2},d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}}\right\}\right\}\]

nyy

nyy 发表于 2025-3-28 10:17
利用方程组，余弦的二倍角公式，来解决这个问题

代码优化，结果优化

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. (*线段长度赋值,AB与BA都赋值,这样两个变量都能用了,这样再不用考虑线段的两个端点哪个在前、哪个在后了*)
   
5. AB=BA=b
   
6. BC=CB=3*a
   
7. CD=DC=2*a
   
8. AD=DA=c
   
9. AC=CA=d
   
10. BD=DB=10
    
11. (*列方程组解决问题*)
    
12. ans=Solve[{
    
13.     Numerator@Together[cs[CD,CA,AD]-cs[CA,CB,AB]]==0,(*AC平分∠BCD,因此这两个角的余弦值相等*)
    
14.     Numerator@Together[cs[CD,CB,BD]-(2*cs[CD,CA,AD]^2-1)]==0,(*∠BCD为∠ACD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    
15.     Numerator@Together[cs[CA,CB,AB]-(2*(AB/AD)^2-1)]==0,(*∠ACB为∠BAD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    
16.     AB^2+BD^2==AD^2,(*三角形ADB勾股定理*)
    
17.     a>=0&&b>=0&&c>=0&&d>=0(*限制变量范围*)
    
18. },{a,b,c,d}]//Simplify
    
19. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
20. aaa=Thread[{"AB","AC","AD","BC","BD","CD"}->({AB,AC,AD,BC,BD,CD}/.ans[[1]])]
    

复制代码

求解结果
\[\left\{\left\{a\to 10 \sqrt{\frac{2}{23}},b\to 10 \sqrt{7},c\to 20 \sqrt{2},d\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}}\right\}\right\}\]

\[\left\{\text{AB}\to 10 \sqrt{7},\text{AC}\to 110 \sqrt{\frac{2}{23}},\text{AD}\to 20 \sqrt{2},\text{BC}\to 30 \sqrt{\frac{2}{23}},\text{BD}\to 10,\text{CD}\to 20 \sqrt{\frac{2}{23}}\right\}\]

vim的编辑器的命令

1. (*把AB=3,修改成AB=BA=3*)
   
2. .,$s/\(\([A-Z]\)\([A-Z]\)=\)/\1\3\2=/gec
   

复制代码

代码再修改修改

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
3. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
4. (*线段长度赋值,AB与BA都赋值,这样两个变量都能用了,这样再不用考虑线段的两个端点哪个在前、哪个在后了*)
   
5. AB=BA=b
   
6. BC=CB=3*a
   
7. CD=DC=2*a
   
8. AD=DA=c
   
9. AC=CA=d
   
10. BD=DB=10
    
11. (*列方程组解决问题*)
    
12. ans=Solve[{
    
13.     (*AC平分∠BCD,因此这两个角的余弦值相等,∠ACB为∠BAD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    
14.     cs[CD,CA,AD]==cs[CA,CB,AB]==(2*(AB/AD)^2-1),
    
15.     cs[CD,CB,BD]==(2*cs[CD,CA,AD]^2-1),(*∠BCD为∠ACD的2倍,利用了余弦的二倍角公式*)
    
16.     AB^2+BD^2==AD^2,(*三角形ABD勾股定理*)
    
17.     a>=0&&b>=0&&c>=0&&d>=0(*限制变量范围*)
    
18. },{a,b,c,d}]//Simplify
    
19. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
20. aaa=Thread[{"AB","AC","AD","BC","BD","CD"}->({AB,AC,AD,BC,BD,CD}/.ans[[1]])]
    

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nyy

我写的代码太棒了，清晰容易懂
虽然有一点点长。