几何难题4

leimou

需要初中解法

nyy

等有时间用电脑算算看

wayne

答案是$20\sqrt{2}$, 就设$BD=1, AC=y,BC=3x,DC=2x, \angle BAC = \alpha$,然后列出三个方程(两次余弦定理,一次勾股定理).
\[\left\{4 x^2-4 x y \cos (2 \alpha )+y^2=9 x^2-6 x y \cos (2 \alpha )+y^2+1,13 x^2-12 x^2 \cos (4 \alpha )=1,\sin ^2(\alpha ) \left(4 x^2-4 x y \cos (2 \alpha )+y^2\right)=1\right\}\]
这三个方程很好消元 先消去$x,y$: 消元之前,先设$k=\cos(2\alpha)$,简化表达,就是${-4 k x y+4 x^2+y^2=-6 k x y+9 x^2+y^2+1,13 x^2-12 \left(2 k^2-1\right) x^2=1,\frac{1}{2} (1-k) \left(-4 k x y+4 x^2+y^2\right)=1}$,
解得,$k=\frac{3}{4}$,余略.

1. f[x_,y_,a_]:=x^2+y^2-2 x y Cos[a];
   
2. FullSimplify[Sqrt[f[2 x,y,2 \[Alpha]]]/.   Solve[{f[2 x,y,2 \[Alpha]]==f[3 x,y,2 \[Alpha]]+1,f[2 x,3 x,4 \[Alpha]]==1,f[2 x,y,2 \[Alpha]] Sin[\[Alpha]]^2==1},{x,y,\[Alpha]},Reals]]

复制代码

l4m2

令AC交BD于E，那么DE=4,BE=6。然后不会了

王守恩

∠BAC=b, ∠BAD=a,

1. Solve[{Cot[a]/Cot[b] == 6/10, Cos[2 a + b]/Cos[2 a - b] == 2/3, 10/Sin[a] == AD/Sin[Pi/2], 1 > a > b > 0}, {a, b, AD}] // FullSimplify

复制代码

{{a -> ArcCot[Sqrt[7]], AD -> 20 Sqrt[2]}}

aimisiyou

很简单啊

leimou

需要初中解法

TSC999

leimou 发表于 2025-3-17 23:21
需要初中解法

初中解法来了：

上面这个做法是【数学中国】的 ataorj 网友给出的。

wayne

如果楼上的正切的 二倍角公式 属于 初中做法的话，那么 正余弦的二倍角也可以接受， 那么2#的代数方法也算初中方法。
一定要评论。 2#是纯代数方法，简洁清晰，只需要无脑的消元就行。8#是 几何与代数方法的混杂，突兀，杂乱无章。

王守恩

TSC999 发表于 2025-3-20 17:43
初中解法来了：

上面这个做法是【数学中国】的 ataorj 网友给出的。

有这个图，可以这样。

Solve[{5/Cos[2 a] == JG/Sin[2 a], 10/Sin[a] == 6*JG/Cos[a] == AD/Sin[Pi/2], 1 > a > 0}, {a, JG, AD}] // FullSimplify

{{a -> ArcCot[Sqrt[7]], JG -> (5 Sqrt[7])/3, AD -> 20 Sqrt[2]}}