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[原创] 几何难题4

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发表于 2025-3-11 17:41:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

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需要初中解法
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-3-12 13:37:43 | 显示全部楼层
等有时间用电脑算算看
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-3-12 20:51:14 | 显示全部楼层
答案是$20\sqrt{2}$, 就设$BD=1, AC=y,BC=3x,DC=2x, \angle BAC = \alpha$,然后列出三个方程(两次余弦定理,一次勾股定理).
\[\left\{4 x^2-4 x y \cos (2 \alpha )+y^2=9 x^2-6 x y \cos (2 \alpha )+y^2+1,13 x^2-12 x^2 \cos (4 \alpha )=1,\sin ^2(\alpha ) \left(4 x^2-4 x y \cos (2 \alpha )+y^2\right)=1\right\}\]
这三个方程很好消元 先消去$x,y$: 消元之前,先设$k=\cos(2\alpha)$,简化表达,就是${-4 k x y+4 x^2+y^2=-6 k x y+9 x^2+y^2+1,13 x^2-12 \left(2 k^2-1\right) x^2=1,\frac{1}{2} (1-k) \left(-4 k x y+4 x^2+y^2\right)=1}$,
解得,$k=\frac{3}{4}$,余略.
  1. f[x_,y_,a_]:=x^2+y^2-2 x y Cos[a];
  2. FullSimplify[Sqrt[f[2 x,y,2 \[Alpha]]]/.   Solve[{f[2 x,y,2 \[Alpha]]==f[3 x,y,2 \[Alpha]]+1,f[2 x,3 x,4 \[Alpha]]==1,f[2 x,y,2 \[Alpha]] Sin[\[Alpha]]^2==1},{x,y,\[Alpha]},Reals]]
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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-3-13 01:07:13 | 显示全部楼层
令AC交BD于E,那么DE=4,BE=6。然后不会了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-3-13 13:46:13 | 显示全部楼层
∠BAC=b, ∠BAD=a,
  1. Solve[{Cot[a]/Cot[b] == 6/10, Cos[2 a + b]/Cos[2 a - b] == 2/3, 10/Sin[a] == AD/Sin[Pi/2], 1 > a > b > 0}, {a, b, AD}] // FullSimplify
复制代码

{{a -> ArcCot[Sqrt[7]], AD -> 20 Sqrt[2]}}

点评

你这三个方程可能是最简单的!最后那个方程直接写成 Sin[a] ==10/AD 即正弦定义即可,不必写成正弦定理。  发表于 3 天前
哈哈,老兄对角度和正弦定理的运用那是炉火钝青!  发表于 3 天前
∠CBD=90-2a-b, ∠CDB=90-2a+b,  发表于 3 天前
Cos[2 a + b]/Cos[2 a - b] == 2/3 这个方程是怎样来的?  发表于 4 天前
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2025-3-13 20:20:05 | 显示全部楼层
很简单啊
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 5 天前 | 显示全部楼层
需要初中解法
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 前天 17:43 | 显示全部楼层
本帖最后由 TSC999 于 2025-3-20 17:46 编辑


初中解法来了:
初中解法算AD.png
上面这个做法是【数学中国】的 ataorj 网友给出的。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 前天 21:02 | 显示全部楼层
如果楼上的正切的 二倍角公式 属于 初中做法的话,那么 正余弦的二倍角也可以接受, 那么2#的代数方法也算初中方法。
一定要评论。 2#是纯代数方法,简洁清晰,只需要无脑的消元就行。8#是 几何与代数方法的混杂,突兀,杂乱无章。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 昨天 11:05 | 显示全部楼层
TSC999 发表于 2025-3-20 17:43
初中解法来了:

上面这个做法是【数学中国】的 ataorj 网友给出的。

有这个图,可以这样。

Solve[{5/Cos[2 a] == JG/Sin[2 a], 10/Sin[a] == 6*JG/Cos[a] == AD/Sin[Pi/2], 1 > a > 0}, {a, JG, AD}] // FullSimplify

{{a -> ArcCot[Sqrt[7]], JG -> (5 Sqrt[7])/3, AD -> 20 Sqrt[2]}}
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