倪举鹏 发表于 2025-3-14 10:11:00

求微分方程的解

曲线上任意一点到(0,1)(0,-1)两点的连线的角,被过曲线上这点的切线平分,求此曲线,初值用y(0)=1/2,图上方程怎么解

wayne 发表于 2025-3-14 10:25:03

$\frac{x^2}{3}-y^2=-\frac{1}{4}$, https://www.geogebra.org/classic/h7qc3mbz

倪举鹏 发表于 2025-3-14 10:50:11

本帖最后由 倪举鹏 于 2025-3-14 13:30 编辑

验证容易,解出来难的方程

wayne 发表于 2025-3-14 14:31:27

设$(x0,y0)$的切线方程是$y=k(x-x0)+y0$, 根据角平分线定理,得到微分方程$k^2 \text{x0} \text{y0}+k \text{x0}^2-k \text{y0}^2+k-\text{x0} \text{y0}=0$,也就是微分方程$\frac{1+x^2-y^2}{xy}=\frac{1-k^2}{k}, k=\frac{dy}{dx}$, 解关于$k$的一元二次方程,然后分别求解,软件就能给出答案.
p0={x0,y0};p1={x1,y1};p2={x2,y2};
cross=First@SolveValues[{Det]==0,y==k(x-x0)+y0},{x,y}]
Factor/Total[(p2-cross)^2]-Total[(p1-p0)^2]/Total[(p2-p0)^2]]

四来 发表于 2025-3-14 16:16:39

本帖最后由 四来 于 2025-3-14 16:26 编辑

曲线上任意一点到(0,1)(0,-1)两点的连线的角,被过曲线上这点的切线平分,求此曲线;

根据双曲线的光学性质,所求曲线必为以(0,1)(0,-1)为焦点的双曲线 \(-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) , 并由此得焦点距 \(2c=2\)

曲线过 (0,1/2),代入方程解得 \(b=\frac{1}{2}\)

将 c , b 代入 \(a^2+b^2=c^2\) 解得 \(a=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

所以曲线为 \(-\frac{x^2}{\frac{3}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)
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