求微分方程的解

倪举鹏

曲线上任意一点到（0，1）（0，-1）两点的连线的角，被过曲线上这点的切线平分，求此曲线，初值用y(0)=1/2,  图上方程怎么解

wayne

$\frac{x^2}{3}-y^2=-\frac{1}{4}$, https://www.geogebra.org/classic/h7qc3mbz

倪举鹏

验证容易，解出来难的方程

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设$(x0,y0)$的切线方程是$y=k(x-x0)+y0$, 根据角平分线定理,得到微分方程$k^2 \text{x0} \text{y0}+k \text{x0}^2-k \text{y0}^2+k-\text{x0} \text{y0}=0$,也就是微分方程$\frac{1+x^2-y^2}{xy}=\frac{1-k^2}{k}, k=\frac{dy}{dx}$, 解关于$k$的一元二次方程,然后分别求解,软件就能给出答案.

1. p0={x0,y0};p1={x1,y1};p2={x2,y2};
   
2. cross=First@SolveValues[{Det[PadRight[{p1,p2,{x,y}},{3,3},1]]==0,y==k(x-x0)+y0},{x,y}]
   
3. Factor[Total[(p1-cross)^2]/Total[(p2-cross)^2]-Total[(p1-p0)^2]/Total[(p2-p0)^2]]
   

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四来

曲线上任意一点到（0，1）（0，-1）两点的连线的角，被过曲线上这点的切线平分，求此曲线；

根据双曲线的光学性质，所求曲线必为以（0，1）（0，-1）为焦点的双曲线 \(-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) , 并由此得焦点距 \(2c=2\)

曲线过 (0,1/2)，代入方程解得 \(b=\frac{1}{2}\)

将 c , b 代入 \(a^2+b^2=c^2\) 解得 \(a=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

所以曲线为 \(-\frac{x^2}{\frac{3}{4}}+\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)