mathe 发表于 2025-3-23 17:20
上面代码里面还有一个极值问题没有完全介绍，也就是使用63#中放缩方案，
我们会得到一个形如\((\frac{\sum_ ...
由于实际计算结果表明，对于部分数，使用这种不等式放缩方案并不能证明必须使用最大数目的n,我们至少还要检查次大的n, 而搜索次大的n需要花费极大的搜索时间。我们可以对于次大的n, 依次将某一个\(x_{i+1}\ge x_i+1\)的约束条件改为\(x_{i+1} \ge x_i+2\),查看在此修改后的约束下是否上界不超过已知最优解。而比较有意思的是，在不改变所有\(c_i\)的前提下，我们计算修改后问题的极值和修改前的非常类似，只需要做很少的局部计算调整。
而对某个i验证上面放缩过程给出上界不超过已知最优解，就可以表明对于这个次大n，我们不需要再搜索\(x_{i+1} \ge x_i+2\)的情况，而只需要搜索\(x_{i+1}=x_i+1\), 这也可以极大减少搜索空间，提升搜索速度。
立根杆子——三角数——A000178。
又: 9有2组解{{9,3,{6,2,1},240}, {9,3,{5,3,1},240}}，除了9，2组解的还会有吗？
王守恩 发表于 2025-3-26 12:34
立根杆子——三角数——A000178。
又: 9有2组解{{9,3,{6,2,1},240}, {9,3,{5,3,1},240}}，除了9，2组解的 ...
3#已经列明的还有71和88，71有3组解。
{71,11, 3192672690764260065093126979584000000000, {15,11,9,8,7,6,5,4,3,2,1}, {14,12,9,8,7,6,5,4,3,2,1}, {14,11,10,8,7,6,5,4,3,2,1}}
{88,12, 3548729806657111234967049631545567687475200000000000, {18,14,11,9,8,7,6,5,4,3,2,1},{17,14,11,10,8,7,6,5,4,3,2,1}}
按加法定理的形式，可以写作
{71, {11,10,...,1}+{{4, 1}, {3, 2}, {3, 1, 1}}}
{88, {12,11,...,1}+{{6, 3, 1}, {5, 3, 1, 1}}}
后续计算到702，发现还有2例：
{285, {23,22,..,1}+{{5, 3, 1}, {4, 3, 1, 1}}}
{574, {33,32,...,1}+{{6, 4, 2, 1}, {6, 3, 2, 1, 1}}}
838*2: {0-40}+{1,1,2,3,4,7} {0-40}+{1,2,3,5,7}
1011*2: {0-44}+{1,2,2,4,5,7} {0-44}+{1,1,2,4,5,8}
1152*2: {0-47}+{1,1,2,3,4,5,8} {0-47}+{1,2,3,4,6,8}
1516*2: {0-54}+{1,1,2,3,4,5,6,9} {0-54}+{1,2,3,4,5,7,9}
1930*2: {0-61}+{1,1,2,3,4,5,6,7,10} {0-61}+{1,2,3,4,5,6,8,10}
看来具有一定的固定比例
立根杆子——三角数——A000178。再扩大一下。
Table)/2]], {n, 91}]
还是没有通项公式。
记 `t_n=C_{n+1}^2`(第 n 个三角数), 更多的计算数据显示 MaxPartition(`t_n`)单调收敛至 Range(n)，即
【性质1】n充分大时, MaxPartition(`t_n`)=Range(n).
实际数据显示这里充分大并不需要多大，n≥9 足矣。
对于`t_n` ~ `t_{n+1}`之间的数（不含两端），记 MaxPartition(`t_n`+r)=Range(n)+Rest(r).r=1~n.
加法定理说“r 处于远离三角数时，Rest(r)=MaxPartition(r), r 接近三角数时Rest(r)需要微调”。
观察表明，对于给定的 r, 当 n 充分大时，Rest(r)是单调收敛的。现有数据能够确定的精确结果包括
【性质2】n充分大时，Rest(`t_k`)=Range(`k`)。
@mathe 在49#给出的数据中，n≥28时 Rest(15)已收敛至{1,2,3,4,5}, 但n=53时 Rest(21)还没收敛至{1,2,3,4,5,6}，只到了{1,2,2,4,5,7}。
观察 Rest(`t_k`)=Range(`k`)的最小n，序列为1, 3(4), 8, 15, 28, ..., 估计下一项是54， 49#刚好止于53.
【性质3】n充分大时，Rest(`t_k`+1)=Range(`k`) +{1}. （*实际上，n≥1足够，即对所有的 n 成立*）
【性质4】n充分大时，Rest(`t_k`+3)=Range(`k`) +{2,1}. （*实际上，n≥1足够，即对所有的 n 成立*）
加法定理说 “r 处于远离三角数时，Rest(r)=MaxPartition(r)”，最远的就是 `\D r≈\frac{t_k+t_{k-1}}2=\frac{k^2}2`，
但Rest$(k^2/2)$=MaxPartition$(k^2/2)$观察下来并不成立。毕竟MaxPartition(r)是不容重复元素的，但Rest(r)却可容。