mathe 发表于 2025-3-23 17:20
上面代码里面还有一个极值问题没有完全介绍，也就是使用63#中放缩方案，
我们会得到一个形如\((\frac{\sum_ ...
由于实际计算结果表明，对于部分数，使用这种不等式放缩方案并不能证明必须使用最大数目的n,我们至少还要检查次大的n, 而搜索次大的n需要花费极大的搜索时间。我们可以对于次大的n, 依次将某一个\(x_{i+1}\ge x_i+1\)的约束条件改为\(x_{i+1} \ge x_i+2\),查看在此修改后的约束下是否上界不超过已知最优解。而比较有意思的是，在不改变所有\(c_i\)的前提下，我们计算修改后问题的极值和修改前的非常类似，只需要做很少的局部计算调整。
而对某个i验证上面放缩过程给出上界不超过已知最优解，就可以表明对于这个次大n，我们不需要再搜索\(x_{i+1} \ge x_i+2\)的情况，而只需要搜索\(x_{i+1}=x_i+1\), 这也可以极大减少搜索空间，提升搜索速度。
立根杆子——三角数——A000178。
又: 9有2组解{{9,3,{6,2,1},240}, {9,3,{5,3,1},240}}，除了9，2组解的还会有吗？
王守恩 发表于 2025-3-26 12:34
立根杆子——三角数——A000178。
又: 9有2组解{{9,3,{6,2,1},240}, {9,3,{5,3,1},240}}，除了9，2组解的 ...
3#已经列明的还有71和88，71有3组解。
{71,11, 3192672690764260065093126979584000000000, {15,11,9,8,7,6,5,4,3,2,1}, {14,12,9,8,7,6,5,4,3,2,1}, {14,11,10,8,7,6,5,4,3,2,1}}
{88,12, 3548729806657111234967049631545567687475200000000000, {18,14,11,9,8,7,6,5,4,3,2,1},{17,14,11,10,8,7,6,5,4,3,2,1}}
按加法定理的形式，可以写作
{71, {11,10,...,1}+{{4, 1}, {3, 2}, {3, 1, 1}}}
{88, {12,11,...,1}+{{6, 3, 1}, {5, 3, 1, 1}}}
后续计算到702，发现还有2例：
{285, {23,22,..,1}+{{5, 3, 1}, {4, 3, 1, 1}}}
{574, {33,32,...,1}+{{6, 4, 2, 1}, {6, 3, 2, 1, 1}}}
838*2: {0-40}+{1,1,2,3,4,7} {0-40}+{1,2,3,5,7}
1011*2: {0-44}+{1,2,2,4,5,7} {0-44}+{1,1,2,4,5,8}
1152*2: {0-47}+{1,1,2,3,4,5,8} {0-47}+{1,2,3,4,6,8}
1516*2: {0-54}+{1,1,2,3,4,5,6,9} {0-54}+{1,2,3,4,5,7,9}
1930*2: {0-61}+{1,1,2,3,4,5,6,7,10} {0-61}+{1,2,3,4,5,6,8,10}
看来具有一定的固定比例
立根杆子——三角数——A000178。再扩大一下。
Table)/2]], {n, 91}]
还是没有通项公式。
记 `t_n=C_{n+1}^2`(第 n 个三角数), 更多的计算数据显示 MaxPartition(`t_n`)单调收敛至 Range(n)，即
【性质1】n充分大时, MaxPartition(`t_n`)=Range(n).
实际数据显示这里充分大并不需要多大，n≥9 足矣。
对于`t_n` ~ `t_{n+1}`之间的数（不含两端），记 MaxPartition(`t_n`+r)=Range(n)+Rest(r).r=1~n.
加法定理说“r 远离三角数时，Rest(r)=MaxPartition(r), r 接近三角数时Rest(r)需要微调”。
观察表明，对于给定的 r, 当 n 充分大时，Rest(r)是单调收敛的。现有数据能够确定的精确结果包括
【性质2】n充分大时，Rest(`t_k`)=Range(`k`)。
@mathe 在49#给出的数据中，n≥28时 Rest(15)已收敛至{1,2,3,4,5}, 但n=53时 Rest(21)还没收敛至{1,2,3,4,5,6}，只到了{1,2,2,4,5,7}。
观察 Rest(`t_k`)=Range(`k`)的最小n，序列为1, 3(4), 8, 15, 28, ..., 估计下一项是54， 49#刚好止于53.
【性质3】n充分大时，Rest(`t_k`+1)=Range(`k`) +{1}. （*实际上，n≥1足够，即对所有的 n 成立*）
【性质4】n充分大时，Rest(`t_k`+3)=Range(`k`) +{2,1}. （*实际上，n≥1足够，即对所有的 n 成立*）
加法定理说 “r 远离三角数时，Rest(r)=MaxPartition(r)”，最远的就是 `\D r≈\frac{t_k+t_{k-1}}2=\frac{k^2}2`，
但Rest$(k^2/2)$=MaxPartition$(k^2/2)$观察下来并不成立。毕竟MaxPartition(r)是不容重复元素的，但Rest(r)却可容。
验证到2400多项都确认总是使用最大数目，看来这个应该不会错了，然后计算到3800多项，发现后面出现新的模式了，比如
3816:n={0-86}+{1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,15}
3817:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,7,8,10,12,15}
3818:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,7,8,10,12,16}
3819:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,7,8,10,13,16}
3820:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,7,9,10,13,16}
3821:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,7,9,11,13,16}
3822:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,7,9,11,13,17}
3823:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,8,9,11,13,17}
3824:n={0-86}+{1,1,2,2,3,3,4,5,6,7,9,11,13,16}
3825:n={0-86}+{1,1,2,2,3,3,4,5,6,8,9,11,13,16}
大胆的往前走——还是在往“好”的方向发展——2个解的只是更“好”一些。
2——2——0,
5——3——1,
9——4——2——3,
14——5——2——1,3,
20——6——3,
27——7——4——2,4,
35——8——4——1,2,4,
44——9——5,
54——10——6,
65——11——7——1,3,6,
77——12——7——1,2,3,5,
90——13——8,
104——14——9,
119——15——10——1,2,4,7,
135——16——10——1,1,2,4,7,
152——17——11,
170——18——12,
189——19——13,
209——20——14——1,2,3,5,8,
230——21——14——1,1,2,3,5,8,
252——22——15,
275——23——16,
299——24——17,
324——25——18,
350——26——19——1,2,3,4,6,9,
377——27——19——1,1,2,3,4,6,9,
405——28——20,
434——29——21,
464——30——22,
495——31——23,
527——32——24,
560——33——25——1,2,3,4,5,7,10,
594——34——25——1,1,2,3,4,5,7,10,
629——35——26,
665——36——27,
702——37——28,
740——38——29,
779——39——30,
819——40——31,
860——41——32——1,2,3,4,5,6,8,11,
902——42——32——1,1,1,3,4,5,6,8,11,
945——43——33,
989——44——34,
1034——45——35,
1080——46——36,
1127——47——37,
1175——48——38,
1224——49——39,
1274——50——40——1,2,3,4,5,6,7,9,12,
1325——51——40——1,1,2,3,4,5,6,7,9,12,
1377——52——41,
1430——53——42,
1484——54——43,
1539——55——44,
1595——56——45,
1652——57——46,
1710——58——47,
1769——59——48,
1829——60——49——1,2,3,4,5,6,7,8,10,13,
1890——61——49——1,1,2,3,4,5,6,7,8,10,13,
1952——62——50,
2015——63——51,
2079——64——52,
2144——65——53,
2210——66——54,
2277——67——55,
2345——68——56,
2414——69——57,
2484——70——58,
2555——71——59——1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,14,
2627——72——59——1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,14,
2700——73——60,
2774——74——61,
2849——75——62,
2925——76——63,
3002——77——64,
3080——78——65,
3159——79——66,
3239——80——67,
3320——81——68,
3402——82——69,
3485——83——70——1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,
3569——84——70——1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,
3654——85——71,
3740——86——72,
3827——87——73,
3915——88——74,
4004——89——75,
4094——90——76,
4185——91——77,
4277——92——78,
4370——93——79,
4464——94——80,
4559——95——81,
4655——97——82——1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,16,
4752——98——82——1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,16,
4850——99——83,
说明。譬如
2015——63——51
2015: 共63个数, 2015是使用0-51连续数的最后一个。
3828——可以出来——Table, {n, 87, 87}]——太大了！
{347206568705214066288561086615213285959256287958414176988503494649771......0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000}
mathe 发表于 2025-3-18 13:19
我们假设n+1个数情况各数分别为\(0=x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n\),而且\(\sum_{h=1}^nx_h=1\)
...
我们能查看前面定义的函数
\(f(x_0,x_1,...,x_n)=\ln(\prod_{0\le i\lt j\le n} (x_j-x_i))\)
于是计算可以得到
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}=-\sum_{j=0,j\neq i}^n\frac1{(x_i-x_j)^2}\)
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}=\frac 1{(x_i-x_j)^2}\)
由此我们得到f的Hessian矩阵的是非严格主角占优矩阵，而且每行元素之和为0。
根据严格主对角占优矩阵的正定性稍微调整一下，就可以得到这个Hessian矩阵是半负定的。
于是根据多元凸函数及其性质,可以知道f是一个多元凹函数。
而根据上面链接中多元凸函数的定义，可以得到它在某个线性子空间中必然还是凸的，所以函数f在任意线性约束下还是保持凹函数性质。
这个说明了一个重要的性质，也就是在实数空间，带上任意线性边界条件，这个函数的极大值必然是唯一的。
另外由于是凹函数，浮点极值应该可以通过牛顿迭代法快速逼近，这样就应该可以得到比上面放缩法更加好的结果。