悬赏挑战：求2025的两两之差乘积最大的堆磊数组

mathe

mathe 发表于 2025-3-23 17:20
上面代码里面还有一个极值问题没有完全介绍，也就是使用63#中放缩方案，
我们会得到一个形如\((\frac{\sum_ ...

由于实际计算结果表明，对于部分数，使用这种不等式放缩方案并不能证明必须使用最大数目的n,我们至少还要检查次大的n, 而搜索次大的n需要花费极大的搜索时间。我们可以对于次大的n, 依次将某一个\(x_{i+1}\ge x_i+1\)的约束条件改为\(x_{i+1} \ge x_i+2\),查看在此修改后的约束下是否上界不超过已知最优解。而比较有意思的是，在不改变所有\(c_i\)的前提下，我们计算修改后问题的极值和修改前的非常类似，只需要做很少的局部计算调整。
而对某个i验证上面放缩过程给出上界不超过已知最优解，就可以表明对于这个次大n，我们不需要再搜索\(x_{i+1} \ge x_i+2\)的情况，而只需要搜索\(x_{i+1}=x_i+1\), 这也可以极大减少搜索空间，提升搜索速度。
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2025-3-25 22:20 上传

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王守恩

立根杆子——三角数——A000178。

又: 9有2组解{{9,3,{6,2,1},240}, {9,3,{5,3,1},240}}，除了9，2组解的还会有吗？

northwolves

王守恩 发表于 2025-3-26 12:34
立根杆子——三角数——A000178。

又: 9有2组解{{9,3,{6,2,1},240}, {9,3,{5,3,1},240}}，除了9，2组解的 ...

3#已经列明的还有71和88，71有3组解。
{71,11, 3192672690764260065093126979584000000000, {15,11,9,8,7,6,5,4,3,2,1}, {14,12,9,8,7,6,5,4,3,2,1}, {14,11,10,8,7,6,5,4,3,2,1}}
{88,12, 3548729806657111234967049631545567687475200000000000, {18,14,11,9,8,7,6,5,4,3,2,1},  {17,14,11,10,8,7,6,5,4,3,2,1}}
按加法定理的形式，可以写作
{71, {11,10,...,1}+{{4, 1}, {3, 2}, {3, 1, 1}}}
{88, {12,11,...,1}+{{6, 3, 1}, {5, 3, 1, 1}}}

northwolves

后续计算到702，发现还有2例：
{285, {23,22,..,1}+{{5, 3, 1}, {4, 3, 1, 1}}}
{574, {33,32,...,1}+{{6, 4, 2, 1}, {6, 3, 2, 1, 1}}}

mathe

838*2: {0-40}+{1,1,2,3,4,7} {0-40}+{1,2,3,5,7}
1011*2: {0-44}+{1,2,2,4,5,7} {0-44}+{1,1,2,4,5,8}
1152*2: {0-47}+{1,1,2,3,4,5,8} {0-47}+{1,2,3,4,6,8}
1516*2: {0-54}+{1,1,2,3,4,5,6,9} {0-54}+{1,2,3,4,5,7,9}
1930*2: {0-61}+{1,1,2,3,4,5,6,7,10} {0-61}+{1,2,3,4,5,6,8,10}
看来具有一定的固定比例

王守恩

立根杆子——三角数——A000178。再扩大一下。

Table[Floor[BarnesG[(3 + Sqrt[1 + 8 n])/2]], {n, 91}]

还是没有通项公式。

hujunhua

记 `t_n=C_{n+1}^2`(第 n 个三角数), 更多的计算数据显示 MaxPartition(`t_n`)单调收敛至 Range(n)，即
【性质1】n充分大时, MaxPartition(`t_n`)=Range(n).
      实际数据显示这里充分大并不需要多大，n≥9 足矣。

对于`t_n` ~ `t_{n+1}`之间的数（不含两端），记 MaxPartition(`t_n`+r)=Range(n)+Rest(r).  r=1~n.
加法定理说“r 远离三角数时，Rest(r)=MaxPartition(r), r 接近三角数时Rest(r)需要微调”。
观察表明，对于给定的 r, 当 n 充分大时，Rest(r)是单调收敛的。现有数据能够确定的精确结果包括
【性质2】n充分大时，Rest(`t_k`)=Range(`k`)。
              @mathe 在49#给出的数据中，n≥28时 Rest(15)已收敛至{1,2,3,4,5}, 但n=53时 Rest(21)还没收敛至{1,2,3,4,5,6}，只到了{1,2,2,4,5,7}。
               观察 Rest(`t_k`)=Range(`k`)的最小n，序列为1, 3(4), 8, 15, 28, ..., 估计下一项是54， 49#刚好止于53.
【性质3】n充分大时，Rest(`t_k`+1)=Range(`k`) +{1}. （*实际上，n≥1足够，即对所有的 n 成立*）
【性质4】n充分大时，Rest(`t_k`+3)=Range(`k`) +{2,1}. （*实际上，n≥1足够，即对所有的 n 成立*）
加法定理说 “r 远离三角数时，Rest(r)=MaxPartition(r)”，最远的就是 `\D r≈\frac{t_k+t_{k-1}}2=\frac{k^2}2`，
  但Rest$(k^2/2)$=MaxPartition$(k^2/2)$观察下来并不成立。毕竟MaxPartition(r)是不容重复元素的，但Rest(r)却可容。

mathe

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2025-4-4 20:04 上传

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验证到2400多项都确认总是使用最大数目，看来这个应该不会错了，然后计算到3800多项，发现后面出现新的模式了，比如
3816:n={0-86}+{1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,10,12,15}
3817:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,7,8,10,12,15}
3818:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,7,8,10,12,16}
3819:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,7,8,10,13,16}
3820:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,7,9,10,13,16}
3821:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,7,9,11,13,16}
3822:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,7,9,11,13,17}
3823:n={0-86}+{1,1,2,2,3,4,5,6,8,9,11,13,17}
3824:n={0-86}+{1,1,2,2,3,3,4,5,6,7,9,11,13,16}
3825:n={0-86}+{1,1,2,2,3,3,4,5,6,8,9,11,13,16}

王守恩

大胆的往前走——还是在往“好”的方向发展——2个解的只是更“好”一些。
2——2——0,
5——3——1,
9——4——2——3,
14——5——2——1,3,
20——6——3,
27——7——4——2,4,
35——8——4——1,2,4,
44——9——5,
54——10——6,
65——11——7——1,3,6,
77——12——7——1,2,3,5,
90——13——8,
104——14——9,
119——15——10——1,2,4,7,
135——16——10——1,1,2,4,7,
152——17——11,
170——18——12,
189——19——13,
209——20——14——1,2,3,5,8,
230——21——14——1,1,2,3,5,8,
252——22——15,
275——23——16,
299——24——17,
324——25——18,
350——26——19——1,2,3,4,6,9,
377——27——19——1,1,2,3,4,6,9,
405——28——20,
434——29——21,
464——30——22,
495——31——23,  
527——32——24,  
560——33——25——1,2,3,4,5,7,10,
594——34——25——1,1,2,3,4,5,7,10,  
629——35——26,
665——36——27,
702——37——28,
740——38——29,
779——39——30,
819——40——31,
860——41——32——1,2,3,4,5,6,8,11,
902——42——32——1,1,1,3,4,5,6,8,11,
945——43——33,
989——44——34,
1034——45——35,
1080——46——36,
1127——47——37,
1175——48——38,
1224——49——39,
1274——50——40——1,2,3,4,5,6,7,9,12,
1325——51——40——1,1,2,3,4,5,6,7,9,12,
1377——52——41,
1430——53——42,
1484——54——43,
1539——55——44,
1595——56——45,
1652——57——46,
1710——58——47,
1769——59——48,
1829——60——49——1,2,3,4,5,6,7,8,10,13,
1890——61——49——1,1,2,3,4,5,6,7,8,10,13,
1952——62——50,
2015——63——51,
2079——64——52,
2144——65——53,
2210——66——54,
2277——67——55,
2345——68——56,
2414——69——57,
2484——70——58,
2555——71——59——1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,14,
2627——72——59——1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,14,
2700——73——60,
2774——74——61,
2849——75——62,
2925——76——63,
3002——77——64,
3080——78——65,
3159——79——66,
3239——80——67,
3320——81——68,
3402——82——69,
3485——83——70——1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,
3569——84——70——1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,
3654——85——71,
3740——86——72,
3827——87——73,
3915——88——74,
4004——89——75,
4094——90——76,
4185——91——77,
4277——92——78,
4370——93——79,
4464——94——80,
4559——95——81,
4655——97——82——1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,16,
4752——98——82——1,1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,16,
4850——99——83,

说明。譬如
2015——63——51
2015: 共63个数, 2015是使用0-51连续数的最后一个。

3828——可以出来——Table[BarnesG[n + 2], {n, 87, 87}]——太大了！
{347206568705214066288561086615213285959256287958414176988503494649771......0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000}

mathe

mathe 发表于 2025-3-18 13:19
我们假设n+1个数情况各数分别为\(0=x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdots \lt x_n\),而且\(\sum_{h=1}^nx_h=1\)
...

我们能查看前面定义的函数
\(f(x_0,x_1,...,x_n)=\ln(\prod_{0\le i\lt j\le n} (x_j-x_i))\)
于是计算可以得到
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i^2}=-\sum_{j=0,j\neq i}^n\frac1{(x_i-x_j)^2}\)
\(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}=\frac 1{(x_i-x_j)^2}\)
由此我们得到f的Hessian矩阵的是非严格主角占优矩阵，而且每行元素之和为0。
根据严格主对角占优矩阵的正定性稍微调整一下，就可以得到这个Hessian矩阵是半负定的。
于是根据多元凸函数及其性质,可以知道f是一个多元凹函数。
而根据上面链接中多元凸函数的定义，可以得到它在某个线性子空间中必然还是凸的，所以函数f在任意线性约束下还是保持凹函数性质。
这个说明了一个重要的性质，也就是在实数空间，带上任意线性边界条件，这个函数的极大值必然是唯一的。
另外由于是凹函数，浮点极值应该可以通过牛顿迭代法快速逼近，这样就应该可以得到比上面放缩法更加好的结果。