悬赏挑战：求2025的两两之差乘积最大的堆磊数组

yuange1975

Plot[n(n+1)*ln2025+(n+1)*ln(n+1)-n(n+1)*ln(n(n+1))+2*ln(Hyperfactorial(n))
,{n,748,749}]

应该是n=748取到最大值。

yuange1975

如果没有算错，那么最大值就是

2025^280126*749^(749/2)/560252^280126*Hyperfactorial(748)=9.76*10^61327

wayne

wayne 发表于 2025-3-19 12:36
粗略拼凑了下，跟mathe的若干项数据都对上了，那应该就是 $c_n^2=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n (n+1))^{n (n+1)} ...

计算了一下，确实如同yigo的猜想，接近于$\frac{1}{e}=0.36787944117144232160$的比例。
其实，是可以证明的，令导函数为0。得$log S =\frac{-2 \text{LogGamma}(n+1)-\log (n+1)+2 n \log (n (n+1))+\log (n (n+1))-1+\log (2 \pi )}{2 n+1}$
再设$S=kn$,代入得求极限，$logk = lim_{n->+\infty}\frac{-2 \text{logGamma}(n+1)-\log (n+1)+2 n \log (n (n+1))+\log (n (n+1))-1+\log (2 \pi )}{2 n+1}-\log (n) =1$
其实这里，应该是令$n=kS$，对S取极限更恰当。但涉及到表达式的逆解，无法解析表达。
LogGamma函数的定义： https://mathworld.wolfram.com/LogGammaFunction.html
这里，给出数据{{S,n},1/e-n/S}

1. {{10^1,4},-0.03212055883}
   
2. {{10^2,39},-0.02212055883}
   
3. {{10^3,371},-0.003120558829}
   
4. {{10^4,3683},-0.0004205588286}
   
5. {{10^5,36793},-0.00005055882856}
   
6. {{10^6,367886},-6.558828558*10^-6}
   
7. {{10^7,3678802},-7.588285577*10^-7}
   
8. {{10^8,36787953},-8.882855768*10^-8}
   
9. {{10^9,367879451},-9.828557678*10^-9}
   
10. {{10^10,3678794423},-1.128557678*10^-9}
    
11. {{10^11,36787944129},-1.185576784*10^-10}
    
12. {{10^12,367879441185},-1.355767840*10^-11}
    
13. {{10^13,3678794411729},-1.457678404*10^-12}
    
14. {{10^14,36787944117160},-1.576784045*10^-13}
    
15. {{10^15,367879441171459},-1.667840448*10^-14}
    
16. {{10^16,3678794411714441},-1.778404476*10^-15}
    
17. {{10^17,36787944117144251},-1.884044762*10^-16}
    
18. {{10^18,367879441171442342},-2.040447623*10^-17}
    
19. {{10^19,3678794411714423237},-2.104476230*10^-18}
    
20. {{10^20,36787944117144232182},-2.244762298*10^-19}
    
21. {{10^21,367879441171442321619},-2.347622984*10^-20}
    
22. {{10^22,3678794411714423215980},-2.476229839*10^-21}
    
23. {{10^23,36787944117144232159578},-2.562298385*10^-22}
    
24. {{10^24,367879441171442321595551},-2.722983854*10^-23}
    
25. {{10^25,3678794411714423215955266},-2.829838539*10^-24}
    
26. {{10^26,36787944117144232159552406},-2.898385391*10^-25}
    
27. {{10^27,367879441171442321595523801},-3.083853913*10^-26}
    
28. {{10^28,3678794411714423215955237733},-3.138539133*10^-27}
    
29. {{10^29,36787944117144232159552377049},-3.285391326*10^-28}
    
30. {{10^30,367879441171442321595523770195},-3.353913255*10^-29}
    
31. {{10^31,3678794411714423215955237701650},-3.539132554*10^-30}
    
32. {{10^32,36787944117144232159552377016182},-3.591325542*10^-31}
    
33. {{10^33,367879441171442321595523770161498},-3.713255419*10^-32}
    
34. {{10^34,3678794411714423215955237701614647},-3.832554189*10^-33}
    
35. {{10^35,36787944117144232159552377016146127},-4.025541889*10^-34}
    
36. {{10^36,367879441171442321595523770161460908},-4.055418887*10^-35}
    
37. {{10^37,3678794411714423215955237701614608717},-4.254188869*10^-36}
    
38. {{10^38,36787944117144232159552377016146086788},-4.341888690*10^-37}
    
39. {{10^39,367879441171442321595523770161460867490},-4.418886897*10^-38}
    
40. {{10^40,3678794411714423215955237701614608674504},-4.588868968*10^-39}
    
41. {{10^41,36787944117144232159552377016146086744628},-4.688689682*10^-40}
    
42. {{10^42,367879441171442321595523770161460867445859},-4.786896823*10^-41}
    
43. {{10^43,3678794411714423215955237701614608674458160},-4.868968232*10^-42}
    
44. {{10^44,36787944117144232159552377016146086744581163},-4.989682322*10^-43}
    
45. {{10^45,367879441171442321595523770161460867445811182},-5.096823217*10^-44}
    
46. {{10^46,3678794411714423215955237701614608674458111363},-5.268232165*10^-45}
    
47. {{10^47,36787944117144232159552377016146086744581113157},-5.382321655*10^-46}
    
48. {{10^48,367879441171442321595523770161460867445811131087},-5.523216549*10^-47}
    
49. {{10^49,3678794411714423215955237701614608674458111310374},-5.632165492*10^-48}
    
50. {{10^50,36787944117144232159552377016146086744581113103234},-5.721654922*10^-49}
    

复制代码

S=10^100的时候，n=3678794411714423215955237701614608674458111274356742252026138246134833618107261680792454171386183680, $|\frac{1}{e}-\frac{n}{S}| = 3.596093609*10^-45$

mathe

和为S时，我们需要查看\(c_n^2 S^{n(n+1)}\)什么时候达到最大，我们只需要查看\(\frac{c_{n+1}^2 S^{(n+1)(n+2)}}{c_n^2 S^{n(n+1)}}\)什么时候小于1即可。
消去重复表达式可以表示为
\(\left(\frac{S^{1+\frac1n}}{(n+2)(1+\frac2n)^{\frac n2}}\right)^{2n}\)
我们需要找到第一个让上述表达式不超过1的n即可。
很显然，对于充分大的n,S逼近(n+2)e,或者说逼近ne

wayne

mathe 发表于 2025-3-19 17:21
和为S时，我们需要查看\(c_n^2 S^{n(n+1)}\)什么时候达到最大，我们只需要查看\(\frac{c_{n+1}^2 S^{(n+1)( ...

好像是这个表达式$\frac{n^{n (n+1)} S^{2 n+2}}{(n+1)^{n+1} (n+2)^{n (n+2)}}\leq 1$ . 这个时候取对数，就是求根$(2 n+2) \log (S)-((n+1) \log (n+1))-(n+2) n \log (n+2)+n (n+1) \log (n)=0$,然后对结果 向上取整。
有意思的是，我那个是求导后的表达式，求根后取圆整。表达式不同，但是数据都一致。

yuange1975

这个结果没想到还挺好的。

大家可以继续研究研究那个方程的根的性质。

python代码

1. #数拆分成非负数之和，两两差值乘积最大
   
2. #0<=a0<a1<a2<a3…<an
   
3. #∑ai=S
   
4. #求s=∏（aj-ai） （j>i)的最大值？
   
5. #yuange 2025.3.19
   
6. 
   
7. from sympy import *
   
8. from math  import *
   
9. from mpmath import *
   
10. 
    
11. mp.dps=40
    
12. mpf1=mpf(1.0)
    
13. 
    
14. x= symbols('x')
    
15. 
    
16. def fx(n,ss):
    
17.     f=0
    
18.     for i in range(0,n+1):
    
19.         f=f+(-1)**i*ss**i*comb(n+1,i)*comb(n,i)*factorial(i)*(n**2+n)**(n-i)*x**(n+1-i)
    
20.     f=f/factor_list(f)[0]
    
21.     return f
    
22.    
    
23. def fcm(n,S):  
    
24.     f=fx(n,S)
    
25.     print("f(x)=",factor(f),"=0")
    
26.     xn=solve(f*1.0)
    
27.     print("xn=",xn)
    
28.     L=len(xn)
    
29.     s=1
    
30.     for i in range(0,L):
    
31.        for j in range(i+1,L):
    
32.           s=s*abs(xn[j]-xn[i])
    
33.    
    
34.     print("ok! s=",s)
    
35. 
    
36. def H(n):
    
37.     s=1
    
38.     for i in range(1,n+1):
    
39.         s=s*i**i
    
40.     return s
    
41. def fns(n,S):
    
42.     L=n*(n+1)
    
43.     l=L/2
    
44.     s=mpf1*H(n)
    
45.     s=s*(mpf1*S/L)**l
    
46.     s=s*(mpf1*(n+1))**((n+1)/2)
    
47.     return s
    
48. n=8
    
49. S=20
    
50. fcm(n,S)
    
51. print("fns=",fns(n,S))
    
52. 
    
53. S=2025
    
54. n=747
    
55. print("fns=",fns(n,S))
    
56. n=748
    
57. print("fns=",fns(n,S))
    
58. n=749
    
59. print("fns=",fns(n,S))
    

复制代码

mathe

wayne 发表于 2025-3-19 18:33
好像是这个表达式$\frac{n^{n (n+1)} S^{2 n+2}}{(n+1)^{n+1} (n+2)^{n (n+2)}}\leq 1$ . 这个时候取对数 ...

那可以写成\(S\le \sqrt{(n+1)(n+2)^{\frac n{n+1}}}(1+\frac 2 n)^{\frac n2}\)

yuange1975

对于每个n求根直接用方程：
HypergeometricU[-n, 2, x]=0，
不管形式还是最终方程表达式，显得更简洁。
方程系数都直接是不可约的整数，首项系数为1，第二项-n(n+1)。

每个根的比例保持不变，实际结果每个根乘以S/(n(n+1))就可以了，所以根的性质也保持。

wayne

yuange1975 发表于 2025-3-19 18:47
这个结果没想到还挺好的。

大家可以继续研究研究那个方程的根的性质。

啥意思，不是已经有结论了吗，就是一元2025次多项式的求根,只是没人贴答案而已。

1. 0.0018116944393142642
   
2. 0.0060733549625997555
   
3. 0.012771410200491174
   
4. 0.021905346342780813
   
5. 0.03347507746790526
   
6. 0.04748058447329943
   
7. 0.06392186611723125
   
8. 0.08279892804111412
   
9. 0.10411177949499133
   
10. 0.12786043215777707
    
11. 0.15404489965045004
    
12. 0.18266519731345024
    
13. ..............................(可以给出全部根的任意精度，限于阅读体验，特此省略)
    
14. 7596.175157783348
    
15. 7620.7954326251465
    
16. 7646.101676894295
    
17. 7672.1719761457025
    
18. 7699.101615483928
    
19. 7727.009074760203
    
20. 7756.045064353445
    
21. 7786.406755742824
    
22. 7818.361456426355
    
23. 7852.288871426354
    
24. 7888.76399654959
    
25. 7928.742935004312
    
26. 7974.075501032858
    
27. 8029.586621339711

复制代码

mathe

根据https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html的说明，可以转化为f和f'之间的Resultant计算, 而这个最终可以转化为SylvesterMatrix的行列式计算。
也就是在本题中，结果变化为
\((-1)^{\frac{n(n+1)}2}\left|\begin{matrix}a_0&a_1&\cdots&a_n&0&0&\cdots&0&0\\
0&a_0&\cdots&a_{n-1}&a_n&0&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n&0\\
(n+1)a_0&na_1&\cdots&a_n&0&0&\cdots&0&0\\
0&(n+1)a_0&\cdots&2a_{n-1}&a_n&0&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&(n+1)a_0&na_1&(n-1)a_2&\cdots&2a_{n-1}&a_n
\end{matrix}\right|\)