悬赏挑战：求2025的两两之差乘积最大的堆磊数组

wayne

mathe 发表于 2025-3-19 17:21
和为S时，我们需要查看\(c_n^2 S^{n(n+1)}\)什么时候达到最大，我们只需要查看\(\frac{c_{n+1}^2 S^{(n+1)( ...

好像是这个表达式$\frac{n^{n (n+1)} S^{2 n+2}}{(n+1)^{n+1} (n+2)^{n (n+2)}}\leq 1$ . 这个时候取对数，就是求根$(2 n+2) \log (S)-((n+1) \log (n+1))-(n+2) n \log (n+2)+n (n+1) \log (n)=0$,然后对结果 向上取整。
有意思的是，我那个是求导后的表达式，求根后取圆整。表达式不同，但是数据都一致。

yuange1975

这个结果没想到还挺好的。

大家可以继续研究研究那个方程的根的性质。

python代码

1. #数拆分成非负数之和，两两差值乘积最大
   
2. #0<=a0<a1<a2<a3…<an
   
3. #∑ai=S
   
4. #求s=∏（aj-ai） （j>i)的最大值？
   
5. #yuange 2025.3.19
   
6. 
   
7. from sympy import *
   
8. from math  import *
   
9. from mpmath import *
   
10. 
    
11. mp.dps=40
    
12. mpf1=mpf(1.0)
    
13. 
    
14. x= symbols('x')
    
15. 
    
16. def fx(n,ss):
    
17.     f=0
    
18.     for i in range(0,n+1):
    
19.         f=f+(-1)**i*ss**i*comb(n+1,i)*comb(n,i)*factorial(i)*(n**2+n)**(n-i)*x**(n+1-i)
    
20.     f=f/factor_list(f)[0]
    
21.     return f
    
22.    
    
23. def fcm(n,S):  
    
24.     f=fx(n,S)
    
25.     print("f(x)=",factor(f),"=0")
    
26.     xn=solve(f*1.0)
    
27.     print("xn=",xn)
    
28.     L=len(xn)
    
29.     s=1
    
30.     for i in range(0,L):
    
31.        for j in range(i+1,L):
    
32.           s=s*abs(xn[j]-xn[i])
    
33.    
    
34.     print("ok! s=",s)
    
35. 
    
36. def H(n):
    
37.     s=1
    
38.     for i in range(1,n+1):
    
39.         s=s*i**i
    
40.     return s
    
41. def fns(n,S):
    
42.     L=n*(n+1)
    
43.     l=L/2
    
44.     s=mpf1*H(n)
    
45.     s=s*(mpf1*S/L)**l
    
46.     s=s*(mpf1*(n+1))**((n+1)/2)
    
47.     return s
    
48. n=8
    
49. S=20
    
50. fcm(n,S)
    
51. print("fns=",fns(n,S))
    
52. 
    
53. S=2025
    
54. n=747
    
55. print("fns=",fns(n,S))
    
56. n=748
    
57. print("fns=",fns(n,S))
    
58. n=749
    
59. print("fns=",fns(n,S))
    

复制代码

mathe

wayne 发表于 2025-3-19 18:33
好像是这个表达式$\frac{n^{n (n+1)} S^{2 n+2}}{(n+1)^{n+1} (n+2)^{n (n+2)}}\leq 1$ . 这个时候取对数 ...

那可以写成\(S\le \sqrt{(n+1)(n+2)^{\frac n{n+1}}}(1+\frac 2 n)^{\frac n2}\)

yuange1975

对于每个n求根直接用方程：
HypergeometricU[-n, 2, x]=0，
不管形式还是最终方程表达式，显得更简洁。
方程系数都直接是不可约的整数，首项系数为1，第二项-n(n+1)。

每个根的比例保持不变，实际结果每个根乘以S/(n(n+1))就可以了，所以根的性质也保持。

wayne

yuange1975 发表于 2025-3-19 18:47
这个结果没想到还挺好的。

大家可以继续研究研究那个方程的根的性质。

啥意思，不是已经有结论了吗，就是一元2025次多项式的求根,只是没人贴答案而已。

1. 0.0018116944393142642
   
2. 0.0060733549625997555
   
3. 0.012771410200491174
   
4. 0.021905346342780813
   
5. 0.03347507746790526
   
6. 0.04748058447329943
   
7. 0.06392186611723125
   
8. 0.08279892804111412
   
9. 0.10411177949499133
   
10. 0.12786043215777707
    
11. 0.15404489965045004
    
12. 0.18266519731345024
    
13. ..............................(可以给出全部根的任意精度，限于阅读体验，特此省略)
    
14. 7596.175157783348
    
15. 7620.7954326251465
    
16. 7646.101676894295
    
17. 7672.1719761457025
    
18. 7699.101615483928
    
19. 7727.009074760203
    
20. 7756.045064353445
    
21. 7786.406755742824
    
22. 7818.361456426355
    
23. 7852.288871426354
    
24. 7888.76399654959
    
25. 7928.742935004312
    
26. 7974.075501032858
    
27. 8029.586621339711

复制代码

mathe

根据https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDiscriminant.html的说明，可以转化为f和f'之间的Resultant计算, 而这个最终可以转化为SylvesterMatrix的行列式计算。
也就是在本题中，结果变化为
\((-1)^{\frac{n(n+1)}2}\left|\begin{matrix}a_0&a_1&\cdots&a_n&0&0&\cdots&0&0\\
0&a_0&\cdots&a_{n-1}&a_n&0&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&a_1&a_2&a_3&\cdots&a_n&0\\
(n+1)a_0&na_1&\cdots&a_n&0&0&\cdots&0&0\\
0&(n+1)a_0&\cdots&2a_{n-1}&a_n&0&\cdots&0&0\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\
0&0&\cdots&(n+1)a_0&na_1&(n-1)a_2&\cdots&2a_{n-1}&a_n
\end{matrix}\right|\)

yuange1975

wayne 发表于 2025-3-20 08:06
啥意思，不是已经有结论了吗，就是一元2025次多项式的求根,只是没人贴答案而已。
...

显然不是要求某一个方程的根呀，是说研究这类方程的根有哪些性质。

wayne

还有，我们通常情况下比较反感 贴出低质量的截图，占据论坛的空间。 这让人感觉 很随意，不礼貌。 虽然 咱们论坛的管理很宽松，不会明确警告这种行为，但是这样 势必会影响 交流体验，参与讨论的兴致的。

hujunhua

northwolves 发表于 2025-3-17 23:25
规律还是很明显的：
1、若m=(n+(n-1)+...+3+2+1), n≥9, 则 MaxPartition(m)={n,n-1, ..., 3, 2, 1}.
2、若m=1+(n+(n-1)+...+3+2+1), 则MaxPartition(m)={n+1,n-1, ..., 3, 2, 1}.
3、若m=k+(n+(n-1)+...+3+2+1), k<n+1, 则MaxPartition(m)=MaxPartition(k)+{n, n-1, ..., 3, 2, 1}. 表左对齐相加。
      第3条在 k 远离三角数时一般成立，接近三角数时有例外，补差表要基于MaxPartition(k)进行微调。...

不扯皮了，一点小误会，不至于影响论坛友谊。
但是3#~5#的小误会值得探讨一下。就是限于整数范围时，4#所探寻的规律\[
\text{MaxPartition}(C_{n+1}^2+r)=\text{Range}(n)+\text{MaxPartition}(r)\\
(0≤r≤n, 9≤n)
\]其中`\text{Range}(n)=(n,n-1,...,3,2,1)`，按4#的格式，MaxPartition()按降序排列，表左对齐按位相加。
4#说这个公式对于 r 远离三角数时一般成立，接近三角数时需要微调。

由于n≥9时` \text{MaxPartition}(C_{n+1}^2)=\text{Range}(n)`, 所以上述公式可以写成一种加法定理:
【加法定理】设m=t+r, 其中 t 是不大于 m 的最大三角数，那么\[
\text{MaxPartition}(t+r)=\text{MaxPartition}(t)+\text{MaxPartition}(r)\]可以计算更多的数据，将这个加法定理的成立范围和调整方向搞得更仔细。

mathe

浮点情况只有一个极值点，这个使得我们猜测限定非负整数情况的解和浮点情况差别不会太远。而northwolves给出的结果说明浮点靠近0附近的数据会比较密集，这导致整数情况这部分只能用较少的数字，这导致正常情况整数形式会使用较少的数，比如和为20时，浮点最值使用9个数(n=8),而northwolves给出的结果是n=6.

技术不相关内容我删除了，就此为止吧