另类极值
已知x_1,x_2,x_3,x_4为正数,求下列函数的最大值(1)x_1/{1+x_1^2}+x_2/{1+x_1^2+x_2^2}
(2) x_1/{1+x_1^2}+x_2/{1+x_1^2+x_2^2}+x_3/{1+x_1^2+x_2^2+x_3^2}
(3) x_1/{1+x_1^2}+x_2/{1+x_1^2+x_2^2}+x_3/{1+x_1^2+x_2^2+x_3^2}+x_4/ {1+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2} 对各个参数的偏导等于零，得出的值与在边界点的值作比较，就是要找的答案。 呵,这个原理谁都知道,现在的问题的最终答案是什么 ?? 用数学软件解吧，高手来结贴。 这个极值之所以称为另类是,取极值时,各变量并不相等 ...
对于五元以上的问题,现在依靠软件也非常吃力... 本帖最后由 wiley 于 2009-12-13 17:16 编辑
(1) x都是正数.对任意的x1,
x_2/{1+x_1^2+x_2^2} \le 1/{2\sqrt{1+x_1^2}}
然后作代换 x1=tan(t), 角度的取值范围是(0,pi/2).所以需要
1/2(\sin(2t)+\cos(t))
的最大值.
求导得到的结果是{(3+\sqrt{33})(\sqrt{30+2\sqrt{33}})}/64 ~ 0.88
(2) x_3/{1+x_1^2+x_2^2+x_3^2} \le 1/{2\sqrt{1+x_1^2+x_2^2}}
类似地作代换 x_2=\sqrt{1+x_1^2}\tan(t), 得到和(1)一样的关于t的函数.
所以需要
x_1/{1+x_1^2}+{(3+\sqrt{33})(\sqrt{30+2\sqrt{33}})}/{64\sqrt{1+x_1^2}}
的最大值.
再作一次代换x1=tan(t), 结果 ~ 1.196
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普遍的情况是反复求
\sin(2t)/2+M\cos(t)
的最大值. 所以可以对n作递归, M就是(n-1)个变量时的最大值.
若定义函数
f(x)={(3x+\sqrt{x^2+8})\sqrt{8-2x^2+2x\sqrt{x^2+8}}}/16
对于n个变量, 最大值是
f^{(n)}(0)=f(f(...f(0))) 呵呵，用Mathematica编了一个程序
{{0.5,{x1->1.}},
{0.880086,{x1->0.736595,x2->1.242}},
{1.19591,{x1->0.609624,x2->0.862679,x3->1.4546}},
{1.47044,{x1->0.530646,x2->0.690138,x3->0.976614,x4->1.64671}},
{1.71578,{x1->0.47539,x2->0.587556,x3->0.764153,x4->1.08135,x5->1.82331}},
{1.93915,{x1->0.433964,x2->0.518225,x3->0.640496,x4->0.833005,x5->1.17879,x6->1.9876}},
{2.14528,{x1->0.401444,x2->0.467627,x3->0.558423,x4->0.69018,x5->0.897622,x6->1.27022,x7->2.14178}},
{2.33746,{x1->0.375057,x2->0.42875,x3->0.499435,x4->0.596408,x5->0.737126,x6->0.958678,x7->1.35663,x8->2.28746}},
{2.51805,{x1->0.353106,x2->0.397752,x3->0.454694,x4->0.529657,x5->0.632497,x6->0.78173,x7->1.01669,x8->1.43872,x9->2.42588}},
{2.68883,{x1->0.334486,x2->0.372336,x3->0.419413,x4->0.479456,x5->0.5585,x6->0.666941,x7->0.824302,x8->1.07206,x9->1.51707,x10->2.55799}}}
代码：Table &, ii]; Last/(1. + Total), {ii, n}], Greater[#, 0] & /@ a /. List -> And, a], {kk, 1, 10}] 本帖最后由 数学星空 于 2009-12-14 08:35 编辑
呵,不知道,mathematica 的编程功能如此简洁而强大...
不知,wayne 有没有关于mathematica 软件编程的资料,上传上来学习一下(或者给一个电子书的链接地址) 本帖最后由 wayne 于 2009-12-14 17:03 编辑
附件是变量个数为1----50时，对应的函数取得最大值的解，这在我的机子上运行花了93秒钟。
{0.5,0.880086,1.19591,1.47044,1.71578,1.93915,2.14528,2.33746,2.51805,2.68883,
2.85119,3.0062,3.15475,3.29756,3.43522,3.56823,3.69702,3.82195,3.94334,4.06148,
4.17659,4.2889,4.39859,4.50584,4.6108,4.7136,4.81437,4.91323,5.01027,5.10559,
5.19929,5.29142,5.38208,5.47133,5.55923,5.64583,5.7312,5.81539,5.89843,5.98038,
6.06128,6.14117,6.22007,6.29804,6.37509,6.45127,6.52659,6.60109,6.6748,6.74773}
当变量个数n一直增大，这个最值似乎在收敛。。。
不知道能否从理论上澄清一下