hejoseph 发表于 2020-5-26 10:21
你这种想法不对，令 $x=(a-b)/(b-c)$，$y=(b-c)/(c-a)$，$z=(c-a)/(a-b)$，则会得到 $y=-1/(1+x)$，$z=-( ...
你的y=-1/(1+x)是怎么得到的呢？
hejoseph 发表于 2020-5-26 10:21
你这种想法不对，令 $x=(a-b)/(b-c)$，$y=(b-c)/(c-a)$，$z=(c-a)/(a-b)$，则会得到 $y=-1/(1+x)$，$z=-( ...
或者你觉得应该再添加什么约数条件，然后就能够使得等价呢？
mathematica 发表于 2020-5-26 10:28
你的y=-1/(1+x)是怎么得到的呢？
第一式子求出 $c$ 再代入第二式子就能得到了
这个问题相当于求
\[
f(x)=x^2+\left(\frac{1}{1+x}\right)^2+\left(\frac{1+x}{x}\right)^2=\frac{x^6+2 x^5+2 x^4+4 x^3+7 x^2+4 x+1}{x^2(x+1)^2}
\]
的最小值。
\[
f'(x)=\frac{2(x^2+x+1)^2(x^3+x^2-2 x-1)}{x^3(x+1)^3}
\]
由此可得
\[
x^3+x^2-2 x-1=0
\]
此时
\begin{align*}
&x^2(x+1)^2=(x+1)(x^3+x^2-2 x-1)+2x^2+3x+1=2x^2+3x+1\\
&x^6+2 x^5+2 x^4+4 x^3+7 x^2+4 x+1=(x^3+x^2+3 x+4)(x^3+x^2-2 x-1)+5(2x^2+3x+1)=5(2x^2+3x+1)
\end{align*}
也就是说此时有 $f(x)=5$。
本帖最后由 dlpg070 于 2020-5-26 12:38 编辑
dingjifen 发表于 2020-1-8 15:16
由2楼的简单形式变成你这个复杂的形式很容易，但由你这个复杂的形式变成2楼的简单形式就比较难了。
zeroiemi是对的,那不只是复杂形式,那分子,分母都是表达式的平方,大于等于0,是完美的证明
In:= (*
[讨论]
数学星空 1#
发表于 2009-12-13 12:31:57
已知a,b,c是互不相同的三个实数,证明:
((a-b)/(b-c))^2+((b-c)/(c-a))^2+((c-a)/(a-b))^2\5
*)
Clear["Global`*"]
f:=f=((a-b)/(b-c))^2+((b-c)/(c-a))^2+((c-a)/(a-b))^2-5;
ret=f// Factor
Out= (a^3-2 a^2 b-a b^2+b^3-a^2 c+6 a b c-2 b^2 c-2 a c^2-b c^2+c^3)^2/((a-b)^2 (a-c)^2 (b-c)^2)
显然 -5的表达式>=0 不等式得证
dlpg070 发表于 2020-5-26 11:58
zeroiemi是对的,那不只是复杂形式,那分子,分母都是表达式的平方,大于等于0,是完美的证明
那个证明并不完美，里面没说明 $a^3-2 a^2 b-a^2 c-a b^2+6 a b c-2 a c^2+b^3-2 b^2 c-b c^2+c^3$ 能否等于 $0$，如果不能，最小值就不正确了。
本帖最后由 zeroieme 于 2020-5-27 18:39 编辑
hejoseph 发表于 2020-5-27 14:17
那个证明并不完美，里面没说明 $a^3-2 a^2 b-a^2 c-a b^2+6 a b c-2 a c^2+b^3-2 b^2 c-b c^2+c^3$ 能否 ...
谢谢提醒，补充证明如下：
进行如下替代\(\{b= (1+u)a,c= (1+u+v)a\}\)
\(\left(\frac{b-c}{c-a}\right)^2+\left(\frac{c-a}{a-b}\right)^2+\left(\frac{a-b}{b-c}\right)^2-5=\frac{\left(u^3+u^2 v-2 u v^2-v^3\right)^2}{u^2 v^2 (u+v)^2}\)
其中分子核心部分（非规范表达，见谅） \(u^3+u^2 v-2 u v^2-v^3\)可在实数域内继续分解为\(\left(u+\frac{1}{3} \left(1-2 \sqrt{7} \cos \left(\frac{1}{3} \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{7}}\right)\right)\right) v\right) \left(u+\frac{1}{3}\left(1-2 \sqrt{7} \cos \left(\frac{1}{3} \left(2 \pi +\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{7}}\right)\right)\right)\right)v\right) \left(u+\frac{1}{3}\left(1-2 \sqrt{7} \cos \left(\frac{1}{3} \left(4 \pi +\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{7}}\right)\right)\right)\right)v\right)\)
存在三对实数解
故\(\left(\frac{b-c}{c-a}\right)^2+\left(\frac{c-a}{a-b}\right)^2+\left(\frac{a-b}{b-c}\right)^2\geq 5\) 成立
挖的好坟。如果用计算机来做的话， 太水了，直接一个Factor函数就行：
Factor[((a - b)/(b - c))^2 + ((b - c)/(c - a))^2 + ((c - a)/( a - b))^2 - 5]
\[\left(\frac{b-c}{c-a}\right)^2+\left(\frac{c-a}{a-b}\right)^2+\left(\frac{a-b}{b-c}\right)^2-5 = \frac{\left(-2 a^2 b-a^2 c+a^3-a b^2+6 a b c-2 a c^2-2 b^2 c+b^3-b c^2+c^3\right)^2}{(a-b)^2 (a-c)^2 (b-c)^2}\]
问题是用计算机虽然能给出一个庞杂的平方表达式，但并没有揭示这里面更深的规律。
于是有必要推广一下，三个数变成n个数，这个最小值会是多少/
/
写了点代码。发现规律竟然并不显然。
Table[{n, param = f /@Range;
NMinValue[
Sum[((t[] - t[])/(t[] - t[]))^2, {t,
Partition]], 3, 1]}], param]}, {n, 2,
20}]
随着参数个数的增加，最小值是这样的：
{2,2.}
{3,5.}
{4,4.}
{5,6.20628}
{6,6.}
{7,7.8747}
{8,8.}
{9,9.40373}
{10,10.}
{11,11.2991}
{12,13.4525}
{13,13.1551}
{14,14.}
{15,15.1812}
{16,16.8075}
{17,17.0953}
{18,20.3504}
{19,19.1869}
{20,20.}
{21,21.1541}
{22,22.8538}
{23,23.1405}
{24,24.4395}
{25,25.7435}
{26,26.3675}
{27,27.8595}
{28,28.4508}
{29,29.0785}
{30,30.4013}
{31,32.3583}
{32,32.}
{33,33.7748}
{34,34.}
{35,35.0353}
{36,36.}
{37,37.0445}
{38,38.6864}
{39,42.3489}
{40,40.2749}
{41,41.0396}
{42,42.162}
{43,43.0186}
{44,44.0917}
{45,45.2612}
{46,46.1224}
{47,47.3832}
{48,48.1572}
{49,50.5962}
{50,50.3666}
wayne 发表于 2020-5-27 19:52
写了点代码。发现规律竟然并不显然。
参数个数增加，轮换是否充分
3个参数，差只有a-b、b-c、c-a三组。
4个参数，差有6个，怎么分配才是整齐合理的？