一个不等式证明

mathematica

hejoseph 发表于 2020-5-26 10:21
你这种想法不对，令 $x=(a-b)/(b-c)$，$y=(b-c)/(c-a)$，$z=(c-a)/(a-b)$，则会得到 $y=-1/(1+x)$，$z=-( ...

你的y=-1/(1+x)是怎么得到的呢？

mathematica

hejoseph 发表于 2020-5-26 10:21
你这种想法不对，令 $x=(a-b)/(b-c)$，$y=(b-c)/(c-a)$，$z=(c-a)/(a-b)$，则会得到 $y=-1/(1+x)$，$z=-( ...

或者你觉得应该再添加什么约数条件，然后就能够使得等价呢？

hejoseph

mathematica 发表于 2020-5-26 10:28
你的y=-1/(1+x)是怎么得到的呢？

第一式子求出 $c$ 再代入第二式子就能得到了

hejoseph

这个问题相当于求
\[
f(x)=x^2+\left(\frac{1}{1+x}\right)^2+\left(\frac{1+x}{x}\right)^2=\frac{x^6+2 x^5+2 x^4+4 x^3+7 x^2+4 x+1}{x^2(x+1)^2}
\]
的最小值。
\[
f'(x)=\frac{2(x^2+x+1)^2(x^3+x^2-2 x-1)}{x^3(x+1)^3}
\]
由此可得
\[
x^3+x^2-2 x-1=0
\]
此时
\begin{align*}
&x^2(x+1)^2=(x+1)(x^3+x^2-2 x-1)+2x^2+3x+1=2x^2+3x+1\\
&x^6+2 x^5+2 x^4+4 x^3+7 x^2+4 x+1=(x^3+x^2+3 x+4)(x^3+x^2-2 x-1)+5(2x^2+3x+1)=5(2x^2+3x+1)
\end{align*}
也就是说此时有 $f(x)=5$。

dlpg070

dingjifen 发表于 2020-1-8 15:16
由2楼的简单形式变成你这个复杂的形式很容易，但由你这个复杂的形式变成2楼的简单形式就比较难了。

zeroiemi是对的,那不只是复杂形式,那分子,分母都是表达式的平方,大于等于0,是完美的证明

1. In[48]:= (*
   
2. [讨论]
   
3. 数学星空 1#
   
4. 发表于 2009-12-13 12:31:57
   
5. 已知a,b,c是互不相同的三个实数,证明:
   
6. ((a-b)/(b-c))^2+((b-c)/(c-a))^2+((c-a)/(a-b))^2\[GreaterEqual]5
   
7. 
   
8. *)
   
9. Clear["Global`*"]
   
10. f[a_,b_,c_]:=f[a,b,c]=((a-b)/(b-c))^2+((b-c)/(c-a))^2+((c-a)/(a-b))^2-5;
    
11. 
    
12. ret=f[a,b,c]// Factor
    
13. Out[50]= (a^3-2 a^2 b-a b^2+b^3-a^2 c+6 a b c-2 b^2 c-2 a c^2-b c^2+c^3)^2/((a-b)^2 (a-c)^2 (b-c)^2)

复制代码

显然 -5的表达式>=0 不等式得证
      

hejoseph

dlpg070 发表于 2020-5-26 11:58
zeroiemi是对的,那不只是复杂形式,那分子,分母都是表达式的平方,大于等于0,是完美的证明

那个证明并不完美，里面没说明 $a^3-2 a^2 b-a^2 c-a b^2+6 a b c-2 a c^2+b^3-2 b^2 c-b c^2+c^3$ 能否等于 $0$，如果不能，最小值就不正确了。

zeroieme

hejoseph 发表于 2020-5-27 14:17
那个证明并不完美，里面没说明 $a^3-2 a^2 b-a^2 c-a b^2+6 a b c-2 a c^2+b^3-2 b^2 c-b c^2+c^3$ 能否 ...

谢谢提醒，补充证明如下：

进行如下替代\(\{b= (1+u)a,c= (1+u+v)a\}\)

\(\left(\frac{b-c}{c-a}\right)^2+\left(\frac{c-a}{a-b}\right)^2+\left(\frac{a-b}{b-c}\right)^2-5=\frac{\left(u^3+u^2 v-2 u v^2-v^3\right)^2}{u^2 v^2 (u+v)^2}\)


其中分子核心部分（非规范表达，见谅）   \(u^3+u^2 v-2 u v^2-v^3\)  可在实数域内继续分解为\(\left(u+\frac{1}{3} \left(1-2 \sqrt{7} \cos \left(\frac{1}{3} \cos ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{7}}\right)\right)\right) v\right) \left(u+\frac{1}{3}  \left(1-2 \sqrt{7} \cos \left(\frac{1}{3} \left(2 \pi +\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{7}}\right)\right)\right)\right)v\right) \left(u+\frac{1}{3}  \left(1-2 \sqrt{7} \cos \left(\frac{1}{3} \left(4 \pi +\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2 \sqrt{7}}\right)\right)\right)\right)v\right)\)
存在三对实数解
故\(\left(\frac{b-c}{c-a}\right)^2+\left(\frac{c-a}{a-b}\right)^2+\left(\frac{a-b}{b-c}\right)^2\geq 5\) 成立

wayne

挖的好坟。如果用计算机来做的话， 太水了，直接一个Factor函数就行：

1. Factor[((a - b)/(b - c))^2 + ((b - c)/(c - a))^2 + ((c - a)/(   a - b))^2 - 5]

复制代码

\[\left(\frac{b-c}{c-a}\right)^2+\left(\frac{c-a}{a-b}\right)^2+\left(\frac{a-b}{b-c}\right)^2-5 = \frac{\left(-2 a^2 b-a^2 c+a^3-a b^2+6 a b c-2 a c^2-2 b^2 c+b^3-b c^2+c^3\right)^2}{(a-b)^2 (a-c)^2 (b-c)^2}\]

问题是用计算机虽然能给出一个庞杂的平方表达式，但并没有揭示这里面更深的规律。
于是有必要推广一下，三个数变成n个数，这个最小值会是多少/

/

wayne

写了点代码。发现规律竟然并不显然。

1. Table[{n, param = f /@Range[n];
   
2.   NMinValue[
   
3.    Sum[((t[[1]] - t[[2]])/(t[[2]] - t[[3]]))^2, {t,
   
4.      Partition[Join[param, param[[1 ;; 2]]], 3, 1]}], param]}, {n, 2,
   
5.   20}]

复制代码

随着参数个数的增加，最小值是这样的：

1. {2,2.}
   
2. {3,5.}
   
3. {4,4.}
   
4. {5,6.20628}
   
5. {6,6.}
   
6. {7,7.8747}
   
7. {8,8.}
   
8. {9,9.40373}
   
9. {10,10.}
   
10. {11,11.2991}
    
11. {12,13.4525}
    
12. {13,13.1551}
    
13. {14,14.}
    
14. {15,15.1812}
    
15. {16,16.8075}
    
16. {17,17.0953}
    
17. {18,20.3504}
    
18. {19,19.1869}
    
19. {20,20.}
    
20. {21,21.1541}
    
21. {22,22.8538}
    
22. {23,23.1405}
    
23. {24,24.4395}
    
24. {25,25.7435}
    
25. {26,26.3675}
    
26. {27,27.8595}
    
27. {28,28.4508}
    
28. {29,29.0785}
    
29. {30,30.4013}
    
30. {31,32.3583}
    
31. {32,32.}
    
32. {33,33.7748}
    
33. {34,34.}
    
34. {35,35.0353}
    
35. {36,36.}
    
36. {37,37.0445}
    
37. {38,38.6864}
    
38. {39,42.3489}
    
39. {40,40.2749}
    
40. {41,41.0396}
    
41. {42,42.162}
    
42. {43,43.0186}
    
43. {44,44.0917}
    
44. {45,45.2612}
    
45. {46,46.1224}
    
46. {47,47.3832}
    
47. {48,48.1572}
    
48. {49,50.5962}
    
49. {50,50.3666}

复制代码

zeroieme

wayne 发表于 2020-5-27 19:52
写了点代码。发现规律竟然并不显然。

参数个数增加，轮换是否充分
3个参数，差只有a-b、b-c、c-a三组。
4个参数，差有6个，怎么分配才是整齐合理的？