一个不等式证明

dingjifen

看看内容是啥？

mathematica

mathe 发表于 2009-12-15 09:20
楼上表达式用计算机算了一下，
相当于证明
$m^4(m+1)^2+m^2+(m+1)^4-5m^2(m+1)^2>=0$

你的回答很棒

mathematica

这个问题的本质就是求在
x*y*z=1的条件下，
求x^2+y^2+z^2的最小值
用拉格朗日乘子法就能解决了！

mathematica

1. Clear["Global`*"];
   
2. ff=x^2+y^2+z^2+d*(x*y*z-1)
   
3. ffx=D[ff,x]
   
4. ffy=D[ff,y]
   
5. ffz=D[ff,z]
   
6. ffd=D[ff,d]
   
7. Grid@FullSimplify@Solve[ffx==0&&ffy==0&&ffz==0&&ffd==0,{x,y,z,d}]
   

复制代码

求解结果：
\[
\begin{array}{cccc}
x\to -1 & y\to -1 & z\to 1 & d\to -2 \\
x\to -1 & y\to 1 & z\to -1 & d\to -2 \\
x\to 1 & y\to -1 & z\to -1 & d\to -2 \\
x\to 1 & y\to 1 & z\to 1 & d\to -2 \\
x\to -\frac{1}{2} i \left(\sqrt{3}-i\right) & y\to -\sqrt[3]{-1} & z\to -\sqrt[3]{-1} & d\to 1-i \sqrt{3} \\
x\to -\frac{1}{2} i \left(\sqrt{3}-i\right) & y\to \sqrt[3]{-1} & z\to \sqrt[3]{-1} & d\to 1-i \sqrt{3} \\
x\to \frac{1}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) & y\to (-1)^{2/3} & z\to -(-1)^{2/3} & d\to 1+i \sqrt{3} \\
x\to \frac{1}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right) & y\to -(-1)^{2/3} & z\to (-1)^{2/3} & d\to 1+i \sqrt{3} \\
x\to \frac{1}{2} i \left(\sqrt{3}+i\right) & y\to (-1)^{2/3} & z\to (-1)^{2/3} & d\to 1+i \sqrt{3} \\
x\to \frac{1}{2} i \left(\sqrt{3}+i\right) & y\to -(-1)^{2/3} & z\to -(-1)^{2/3} & d\to 1+i \sqrt{3} \\
x\to \frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) & y\to -\sqrt[3]{-1} & z\to \sqrt[3]{-1} & d\to 1-i \sqrt{3} \\
x\to \frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right) & y\to \sqrt[3]{-1} & z\to -\sqrt[3]{-1} & d\to 1-i \sqrt{3} \\
\end{array}
\]

mathematica

mathematica 发表于 2020-1-3 14:15
求解结果：
\[
\begin{array}{cccc}

根据拉格朗日乘子法，最小值应该是3，
但是前面的最小值是5
应该在某一处不等价！
啥地方有问题呢？

dingjifen

数学星空 发表于 2009-12-13 12:34
**** 本内容被作者隐藏 ****

这个代数等式太美了，不知管理员是如何发现的？

zeroieme

向mathe大师学习

\(\left(\frac{b-c}{c-a}\right)^2+\left(\frac{c-a}{a-b}\right)^2+\left(\frac{a-b}{b-c}\right)^2-5=\frac{\left(a^3-2 a^2 b-a^2 c-a b^2+6 a b c-2 a c^2+b^3-2 b^2 c-b c^2+c^3\right)^2}{(a-b)^2 (a-c)^2 (b-c)^2}\geq 0\)
证明完毕

dingjifen

zeroieme 发表于 2020-1-4 20:54
向mathe大师学习

\(\left(\frac{b-c}{c-a}\right)^2+\left(\frac{c-a}{a-b}\right)^2+\left(\frac{a-b}{ ...

由2楼的简单形式变成你这个复杂的形式很容易，但由你这个复杂的形式变成2楼的简单形式就比较难了。

mathematica

这个问题的本质就是求在
x*y*z=1的条件下，
求x^2+y^2+z^2的最小值
用拉格朗日乘子法就能解决了！
按照这个办法证明的最小值是3，但是题目的最小值是5，
究竟什么地方不等价了呢？
@hujunhua @mathe @.·.·.

hejoseph

mathematica 发表于 2020-5-26 09:23
这个问题的本质就是求在
x*y*z=1的条件下，
求x^2+y^2+z^2的最小值

xyz=1，3个变量，1个约束，自由度=2
但令 $x=(a-b)/(b-c)$，$y=(b-c)/(c-a)$，$z=(c-a)/(a-b)$，则会得到 $y=-1/(1+x)$，$z=-(1+x)/x$，实为3个变量，2个约束，自由度=1。
所以你说的本质并不等价。