一个不等式证明

数学星空 · 发表于 2009-12-13 12:31:57

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已知a,b,c是互不相同的三个实数,证明:
$({a-b}/{b-c})^2+({b-c}/{c-a})^2+({c-a}/{a-b})^2>=5$

数学星空 · 发表于 2009-12-13 12:34:10

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raa · 发表于 2009-12-14 12:06:29

what's up?

mathabc · 发表于 2009-12-14 17:08:10

左边具有对称性，由均值不等式只能得到下界为3. 结果说啥也想不到是5.

geslon · 发表于 2009-12-14 20:45:10

根据对称性，由于a,b,c两两不等，不妨假设a>b>c，令x=a-b,y=b-c,则c-a=-x-y。
原式成为：
$(x/y)^2+(y/{x+y})^2+({x+y}/x)^2>=5$
其中x,y>0
再假设x=m*y，则原始成为：
$m^2+(1/{m+1})^2+({m+1}/m)^2>=5$
其中m>0,成了个一元的不等式了。

mathe · 发表于 2009-12-15 09:20:01

楼上表达式用计算机算了一下，
相当于证明
$m^4(m+1)^2+m^2+(m+1)^4-5m^2(m+1)^2>=0$
既
$(m^3+m^2-2m-1)^2>=0$

raa · 发表于 2009-12-15 11:07:58

楼上强啊，有没过程。即如何因式分解。

mathe · 发表于 2009-12-15 11:20:19

说明了呀，是用计算机因子分解的

无心人 · 发表于 2009-12-15 11:36:51

呵呵

raa你下载PARI/GP

raa · 发表于 2009-12-16 17:01:15

请给个衔接，谢谢。

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