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[讨论] 一个不等式证明

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发表于 2009-12-13 12:31:57 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知a,b,c是互不相同的三个实数,证明:
$({a-b}/{b-c})^2+({b-c}/{c-a})^2+({c-a}/{a-b})^2>=5$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2009-12-13 12:34:10 | 显示全部楼层
游客,如果您要查看本帖隐藏内容请回复
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-12-14 12:06:29 | 显示全部楼层
what's up?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-12-14 17:08:10 | 显示全部楼层
左边具有对称性,由均值不等式只能得到下界为3. 结果说啥也想不到是5.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-12-14 20:45:10 | 显示全部楼层
根据对称性,由于a,b,c两两不等,不妨假设a>b>c,令x=a-b,y=b-c,则c-a=-x-y。
原式成为:
$(x/y)^2+(y/{x+y})^2+({x+y}/x)^2>=5$
其中x,y>0
再假设x=m*y,则原始成为:
$m^2+(1/{m+1})^2+({m+1}/m)^2>=5$
其中m>0,成了个一元的不等式了。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-12-15 09:20:01 | 显示全部楼层
楼上表达式用计算机算了一下,
相当于证明
$m^4(m+1)^2+m^2+(m+1)^4-5m^2(m+1)^2>=0$

$(m^3+m^2-2m-1)^2>=0$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-12-15 11:07:58 | 显示全部楼层
楼上强啊,有没过程。即如何因式分解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-12-15 11:20:19 | 显示全部楼层
说明了呀,是用计算机因子分解的
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-12-15 11:36:51 | 显示全部楼层
呵呵

raa你下载PARI/GP
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2009-12-16 17:01:15 | 显示全部楼层
请给个衔接,谢谢。
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