D是△ABC的BC中点,延长AD交外接圆于E.延长CB交A点切线于P.在AE上取F点使DF=DE,证PA=PF
D是△ABC的BC边中点，延长AD交外接圆于E。延长CB交A点切线于P。在AE上取一点 F 使 DF=DE。证明 PA=PF
可以用蝴蝶定理来证明
如左图，把圆弧BEC绕D旋转180°至红色虚线位置，PF实际上是它的切线，可以通过它的旋转镜像GE是圆的切线得证。如右图，按蝴蝶定理， PD=DG. 当A'E'逼近AE并重合时，AA'和EE'变成切线，就是左图，保持PD=DG。
当然，也可以用射影几何的方法直接证明.\[
(BCPD){A\atop\doublebarwedge}(BCAE){E\atop\doublebarwedge}(BCDG)→交比(BC,PD)=交比(BC,DG)→BP=-CG
\]式中`\D{A\atop\doublebarwedge}`表示透视关系，A为透视中心。上式为二次点列与一次点列的透视。
下面这个证明是 悠闲娱乐数学网站 的 战巡 给出的。
过E作圆的切线交AP于G，交BC于Q。由于O点对AGPQ的三边的射影A、E、D 共线，由西摩松逆定理知O点在AGPO的外接圆上。
又 D是BC的中点，∠ODQ=∠OEQ=90°，故ODEQ以OQ为直径共圆。于是
∠OED =∠OQD(都是粉圆 OD 弧上的圆周角)--------------------(1)
(∠OGQ=)∠EGO=∠QPO(都是红圆OQ弧上的圆周角)-----------(2)
在四边形 GAOE 中，因为 GA=GE(都是切线长)，OA=OE(都是半径)，所以AE⊥GO，GE⊥OE，GA⊥OA,所以
∠OEA =∠EGO(因为两角对应边互相垂直)-----------------------(3)
而 ∠OEA =∠OED (因为EDA共线)，结合(3)式可知(1)(2)两式中的四个角都是相等的。即∠QPO=∠OQD，故△OPQ是等腰三角形，OP=OQ.
又因 OD⊥PQ，故 PD=DQ。然后由梅涅劳斯定理有
QE/EG·GA/AP·PD/DQ=1，因为切线长EG=GA 以及PD=DQ，故QE/AP=1，即
QE=AP ------------------------------------------------------(4)
因为DE=DF，PD=DQ，∠PDF=∠ODE，故 △PFD≌△QED，于是 OE=PF，由(4)式知AP=PF.
本帖最后由 TSC999 于 2025-4-3 19:06 编辑
下面是以 mathematica 为计算平台，用复斜率几何方法做此题。
程序代码：
Clear["Global`*"]; (*设B在坐标原点，C在1点， kAB=u^2，kAC=1/v^2 *)
\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1; a = (u^2 (v^2 - 1))/( u^2 v^2 - 1);
\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = (v^2 - 1)/(u^2 v^2 - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = d = 1/2;
(*\ABC 的外心坐标*)o = (u^2 v^2)/(u^2 v^2 - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = 1/(1 - u^2 v^2);
(*求E点坐标：*)
W = {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (o - e) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)), (a - d)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (a - e)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))}, {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)}] // Flatten;
e = Part; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Part; Print["E = ", e];
(*求F点坐标：*)
Jx2 := (\!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) (b1 + m1 - p1) - \!\(\*OverscriptBox[\(b1\), \(_\)]\) (a1 + m1 - p1) + \!\(\*OverscriptBox[\(m1\), \(_\)]\) (a1 - b1))/(\!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b1\), \(_\)]\));
\!\(\*OverscriptBox[\(Jx2\), \(_\)]\) := ((a1 - b1) (\!\(\*OverscriptBox[\(m1\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p1\), \(_\)]\)) + \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) (m1 - b1) + \!\(\*OverscriptBox[\(b1\), \(_\)]\) (a1 - m1))/(a1 - b1);
(*上面两行：P1点关于M1点的中心对称镜像点，镜像线是A1B1 *)
f = Simplify@Jx2; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jx2\), \(_\)]\); Print["F = ", f];
(*求P点坐标：*)
W1 = {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(a - p)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)) == -((o - a)/(\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\))), (p - c)/(\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) -
\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) == (b - c)/(\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))}, {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)}] // Flatten;
p = Part; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Part; Print["P = ", p];
Print["PA^2 等于 PF^\!\(\*SuperscriptBox[\(2\), \(\\\ \)]\)吗？"]
Simplify[(p - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (p - f) (\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\))]
另一种纯几何证明如下，这是【数学中国】网站的 数学小白新 网友做出的：
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