D是△ABC的BC中点,延长AD交外接圆于E.延长CB交A点切线于P.在AE上取F点使DF=DE,证PA=PF

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D是△ABC的BC边中点，延长AD交外接圆于E。延长CB交A点切线于P。
在AE上取一点 F 使 DF=DE。证明 PA=PF

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如左图，把圆弧BEC绕D旋转180°至红色虚线位置，PF实际上是它的切线，可以通过它的旋转镜像GE是圆的切线得证。
如右图，按蝴蝶定理， PD=DG. 当A'E'逼近AE并重合时，AA'和EE'变成切线，就是左图，保持PD=DG。

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下面这个证明是 悠闲娱乐数学网站 的 战巡 给出的。

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下面是以 mathematica 为计算平台，用复斜率几何方法做此题。

1. Clear["Global`*"]; (*设B在坐标原点，C在1点， kAB=u^2，kAC=1/v^2 *)
   
2. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 0; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = c = 1; a = (u^2 (v^2 - 1))/( u^2 v^2 - 1);
   
3. \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = (v^2 - 1)/(u^2 v^2 - 1);   \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = d = 1/2;
   
4. (*\[EmptyUpTriangle]ABC 的外心坐标*)  o = (u^2 v^2)/(u^2 v^2 - 1); \!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) = 1/(1 - u^2 v^2);
   
5. (*求E点坐标：*)
   
6. W = {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(o - b) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)) == (o - e) (\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) -
   
7. \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)), (a - d)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\)) == (a - e)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\))}, {e, \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\)}] // Flatten;
   
8. e = Part[W, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Part[W, 2]; Print["E = ", e];
   
9. (*求F点坐标：*)
   
10. Jx2[p1_, a1_, b1_, m1_] := (\!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) (b1 + m1 - p1) - \!\(\*OverscriptBox[\(b1\), \(_\)]\) (a1 + m1 - p1) + \!\(\*OverscriptBox[\(m1\), \(_\)]\) (a1 - b1))/(\!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b1\), \(_\)]\));
    
11. \!\(\*OverscriptBox[\(Jx2\), \(_\)]\)[p1_, a1_, b1_, m1_] := ((a1 - b1) (\!\(\*OverscriptBox[\(m1\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p1\), \(_\)]\)) + \!\(\*OverscriptBox[\(a1\), \(_\)]\) (m1 - b1) + \!\(\*OverscriptBox[\(b1\), \(_\)]\) (a1 - m1))/(a1 - b1);
    
12. (*上面两行：P1点关于M1点的中心对称镜像点，镜像线是A1B1 *)
    
13. f = Simplify@Jx2[e, b, c, d]; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = Simplify@\!\(\*OverscriptBox[\(Jx2\), \(_\)]\)[e, b, c, d]; Print["F = ", f];
    
14. (*求P点坐标：*)
    
15. W1 = {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(a - p)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)) == -((o - a)/(\!\(\*OverscriptBox[\(o\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\))), (p - c)/(\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) -
    
16. \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\)) == (b - c)/(\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\))}, {p, \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\)}] // Flatten;
    
17. p = Part[W1, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) = Part[W1, 2]; Print["P = ", p];
    
18. Print["PA^2 等于 PF^\!\(\*SuperscriptBox[\(2\), \(\\\ \)]\)吗？"]
    
19. Simplify[(p - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (p - f) (\!\(\*OverscriptBox[\(p\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\))]

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