原帖由 liangbch 于 2008-2-27 11:36 发表
并非所有的奇素数都有此性质。对于x/p形式的真分数（p为奇素数），有的p其循环节长度为p-1(如7，17）,而另一些则不是（如3,5，11,13),只有前者具有#7楼上提到的性质。
到底素数p符合什么条件，可使得真分数x/p,其循环节长度为p-1,我不得而知，看看大家是否能够给出答案。
这取决于：进制数（10）关于该素数p为模的“指数”是否为(p-1)
关于“指数”，引用 Mathematica 的一段帮助：
MultiplicativeOrder[k, n] gives the multiplicative order of k modulo n, defined as the smallest integer m such that k^m -= 1 (mod n)
HugeCalc 已提供该函数。
对的，如果要能够遍历所有1~p-1的数，应该10是p的原根才可以。
我明白了，是不是
当 m 取遍1- (p-1)之间的所有整数，$10^m mod p$ 也取遍1- (p-1)之间的所有整数。
你们这些搞数学的人说的太专业了，对于不懂数论的人，很难理解。
呵呵，就是如此。
原帖由 liangbch 于 2008-2-27 12:43 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
我明白了，是不是
当 m 取遍1- (p-1)之间的所有整数，$10^m mod p$ 也取遍1- (p-1)之间的所有整数。
你们这些搞数学的人说的太专业了，对于不懂数论的人，很难理解。
其中不包含我，若是按学历专业划分的话，哈哈:lol
呵呵，我也不能算，现在工作可以说同数学没什么关系:lol
呵呵，在这个论坛上，mathe是最有资格算作搞数学的了:loveliness:
同意楼上！
mathe是数学工作两不误:lol
对于分数$x/p$产生的循环小数，若循环节为p-1，则称其有最大循环周期；对于此类循环数数具有很多美妙的性质：
如对于$1/7$=0.142857：
除了上面提到的循环移位可以得到7的其他真分数外，有：
1）从最低位起，三个分一组，有 142+857 =999；两个分一组：57+28+14=99；单个分组就有：7+5+8+2+4+1=27； 2+7=9
2）可以通过级数列构造142857：如可用14，28，56，....
14
28
56
112
224
448
996
.........
------------------------------------------------
142857142857
还可以通过7，35，175由后往前加获得：
7
35
175
875
4375
21875
109375
---
--------------------------------------------
...875142857142857
另外，对于任何数，若从各位起3位3位的若干组相加得999的话，它必是999的倍数
142857 = 999*143
由于7*142857=7*999*143，而7*143=1001，那么142857143*7=1000000001；
这样我们就可以迅速算出任一9位数与142857143的乘积：即把这个任意数连续写2遍，然后除以7；
这个速算法是著名娱乐数学家马丁.加德纳(Martin Gardner)发现的；
原帖由 liangbch 于 2008-2-27 11:36 发表 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
并非所有的奇素数都有此性质。对于x/p形式的真分数（p为奇素数），有的p其循环节长度为p-1(如7,17），而另一些则不是（如3,5,11,13)，只有前者具有#7楼上提到的性质。
到底素数p符合什么条件，可使得真分数x/ ...
回答
1、首先从循环小数的本质谈起：
以循环小数0.1428571428571428...为例，1/7是142857/999999 的真分数。
1/7=142857/999999=0.142857142857142857...。其实循环小数的本质就是：
M（循环节，N位）/999...9（N位）=0.（M-循环节），产生了N位循环小数；
2、分母999...9（N位）的位数，决定循环节M的位数（长度）；即“99”数字塔的
层数等于该层循环节M的长度；
3、当作为质因数的素数p，首次在“99”数字塔中现身，并且首次现身层数恰好为
p-1层时，可使得真分数x/p的循环节长度为p-1。
图：“99”数字塔
9=3*3 1层
99=3*3*11 2层
999=3*3*3*37 3层
9999=3*3*11*101 4层
99999=3*3*41*271 5层
999999=3*3*3*37*11*13*7 6层
9999999=3*3*239*4649 7层
99999999=3*3*11*101*73*137 8层
999999999=3*3*3*3*37*333667 9层
...... ...... ...