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楼主: guetsxjm

[分享] 和循环小数有关的趣题

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发表于 2008-2-27 11:47:27 | 显示全部楼层
原帖由 liangbch 于 2008-2-27 11:36 发表
  并非所有的奇素数都有此性质。对于x/p形式的真分数(p为奇素数),有的p其循环节长度为p-1(如7,17),而另一些则不是(如3,5,11,13),只有前者具有#7楼上提到的性质。

  到底素数p符合什么条件,可使得真分数x/p,其循环节长度为p-1,我不得而知,看看大家是否能够给出答案。


这取决于:进制数(10)关于该素数p为模的“指数”是否为(p-1)

关于“指数”,引用 Mathematica 的一段帮助:
  MultiplicativeOrder[$k, n$] gives the multiplicative order of $k$ modulo $n$, defined as the smallest integer $m$ such that $k^m -= 1 (mod n)$

HugeCalc 已提供该函数。

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nyy
HugeCalc 已提供该函数。hugecalc有这么牛吗?  发表于 2023-12-20 09:31

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发表于 2008-2-27 12:01:05 | 显示全部楼层
对的,如果要能够遍历所有1~p-1的数,应该10是p的原根才可以。

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发表于 2008-2-27 12:43:43 | 显示全部楼层
我明白了,是不是
  当 m 取遍1- (p-1)之间的所有整数,$10^m mod p$ 也取遍1- (p-1)之间的所有整数。
你们这些搞数学的人说的太专业了,对于不懂数论的人,很难理解。
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发表于 2008-2-27 12:50:23 | 显示全部楼层
呵呵,就是如此。
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发表于 2008-2-27 12:59:29 | 显示全部楼层
原帖由 liangbch 于 2008-2-27 12:43 发表
我明白了,是不是
  当 m 取遍1- (p-1)之间的所有整数,$10^m mod p$ 也取遍1- (p-1)之间的所有整数。
你们这些搞数学的人说的太专业了,对于不懂数论的人,很难理解。


其中不包含我,若是按学历专业划分的话,哈哈
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发表于 2008-2-27 16:57:04 | 显示全部楼层
呵呵,我也不能算,现在工作可以说同数学没什么关系
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发表于 2008-2-27 18:08:25 | 显示全部楼层
呵呵,在这个论坛上,mathe是最有资格算作搞数学的了
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 楼主| 发表于 2008-2-27 18:46:17 | 显示全部楼层
同意楼上!
mathe是数学工作两不误
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 楼主| 发表于 2008-2-27 19:00:30 | 显示全部楼层
对于分数$x/p$产生的循环小数,若循环节为p-1,则称其有最大循环周期;对于此类循环数数具有很多美妙的性质:

如对于$1/7$=0.142857:

除了上面提到的循环移位可以得到7的其他真分数外,有:

1)从最低位起,三个分一组,有 142+857 =999;两个分一组:57+28+14=99;单个分组就有:7+5+8+2+4+1=27; 2+7=9

2)可以通过级数列构造142857:如可用14,28,56,....

                               14
                                  28
                                      56
                                         112
                                              224
                                                   448
                                                        996
                                                         .........
                          ------------------------------------------------
                                 142857142857
还可以通过7,35,175由后往前加获得:
                                                                             7                        
                                                                        35
                                                                   175
                                                                875
                                                          4375
                                                    21875
                                               109375
                                                     ---
                               --------------------------------------------
                                          ...875142857142857                              

另外,对于任何数,若从各位起3位3位的若干组相加得999的话,  它必是999的倍数
  142857 = 999*143
由于7*142857=7*999*143,而7*143=1001,那么142857143*7=1000000001;
这样我们就可以迅速算出任一9位数与142857143的乘积:即把这个任意数连续写2遍,然后除以7;
这个速算法是著名娱乐数学家马丁.加德纳(Martin Gardner)发现的;

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发表于 2008-8-6 00:12:01 | 显示全部楼层
原帖由 liangbch 于 2008-2-27 11:36 发表


并非所有的奇素数都有此性质。对于x/p形式的真分数(p为奇素数),有的p其循环节长度为p-1(如7,17),而另一些则不是(如3,5,11,13),只有前者具有#7楼上提到的性质。

到底素数p符合什么条件,可使得真分数x/ ...

回答
  1、首先从循环小数的本质谈起:
     以循环小数0.1428571428571428...为例,1/7是142857/999999 的真分数。
1/7=142857/999999=0.142857142857142857...。其实循环小数的本质就是:
M(循环节,N位)/999...9(N位)=0.(M-循环节),产生了N位循环小数;
  2、分母999...9(N位)的位数,决定循环节M的位数(长度);即“99”数字塔的
层数等于该层循环节M的长度;
  3、当作为质因数的素数p,首次在“99”数字塔中现身,并且首次现身层数恰好为
p-1层时,可使得真分数x/p的循环节长度为p-1。

          图:“99”数字塔
                  9=3*3                           1层
                 99=3*3*11                      2层
                999=3*3*3*37                  3层  
               9999=3*3*11*101              4层
              99999=3*3*41*271              5层
             999999=3*3*3*37*11*13*7    6层
            9999999=3*3*239*4649          7层
           99999999=3*3*11*101*73*137 8层
          999999999=3*3*3*3*37*333667 9层      
                ......        ......                     ...
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