和循环小数有关的趣题

gxqcn

原帖由 liangbch 于 2008-2-27 11:36 发表 　　并非所有的奇素数都有此性质。对于x/p形式的真分数（p为奇素数），有的p其循环节长度为p-1(如7，17）,而另一些则不是（如3,5，11,13),只有前者具有#7楼上提到的性质。 　　到底素数p符合什么条件，可使得真分数x/p,其循环节长度为p-1,我不得而知，看看大家是否能够给出答案。

这取决于：进制数（10）关于该素数p为模的“指数”是否为(p-1) 关于“指数”，引用 Mathematica 的一段帮助： 　　MultiplicativeOrder[$k, n$] gives the multiplicative order of $k$ modulo $n$, defined as the smallest integer $m$ such that $k^m -= 1 (mod n)$ HugeCalc 已提供该函数。

mathe

对的，如果要能够遍历所有1~p-1的数，应该10是p的原根才可以。

liangbch

我明白了，是不是 　　当 m 取遍1- (p-1)之间的所有整数，$10^m mod p$ 也取遍1- (p-1)之间的所有整数。 你们这些搞数学的人说的太专业了，对于不懂数论的人，很难理解。

mathe

呵呵，就是如此。

gxqcn

原帖由 liangbch 于 2008-2-27 12:43 发表 我明白了，是不是 　　当 m 取遍1- (p-1)之间的所有整数，$10^m mod p$ 也取遍1- (p-1)之间的所有整数。 你们这些搞数学的人说的太专业了，对于不懂数论的人，很难理解。

其中不包含我，若是按学历专业划分的话，哈哈

mathe

呵呵，我也不能算，现在工作可以说同数学没什么关系

liangbch

呵呵，在这个论坛上，mathe是最有资格算作搞数学的了

guetsxjm

同意楼上！ mathe是数学工作两不误

guetsxjm

对于分数$x/p$产生的循环小数，若循环节为p-1，则称其有最大循环周期；对于此类循环数数具有很多美妙的性质： 如对于$1/7$=0.142857： 除了上面提到的循环移位可以得到7的其他真分数外，有： 1）从最低位起，三个分一组，有 142+857 =999；两个分一组：57+28+14=99；单个分组就有：7+5+8+2+4+1=27； 2+7=9 2）可以通过级数列构造142857：如可用14，28，56，.... 14 28 56 112 224 448 996 ......... ------------------------------------------------ 142857142857 还可以通过7，35，175由后往前加获得： 7 35 175 875 4375 21875 109375 --- -------------------------------------------- ...875142857142857 另外，对于任何数，若从各位起3位3位的若干组相加得999的话， 它必是999的倍数 142857 = 999*143 由于7*142857=7*999*143，而7*143=1001，那么142857143*7=1000000001； 这样我们就可以迅速算出任一9位数与142857143的乘积：即把这个任意数连续写2遍，然后除以7； 这个速算法是著名娱乐数学家马丁.加德纳(Martin Gardner)发现的；

大白菜

原帖由 liangbch 于 2008-2-27 11:36 发表 并非所有的奇素数都有此性质。对于x/p形式的真分数（p为奇素数），有的p其循环节长度为p-1(如7,17），而另一些则不是（如3,5,11,13)，只有前者具有#7楼上提到的性质。 到底素数p符合什么条件，可使得真分数x/ ...

回答 1、首先从循环小数的本质谈起： 以循环小数0.1428571428571428...为例，1/7是142857/999999 的真分数。 1/7=142857/999999=0.142857142857142857...。其实循环小数的本质就是： M（循环节，N位）/999...9（N位）=0.（M-循环节），产生了N位循环小数； 2、分母999...9（N位）的位数，决定循环节M的位数（长度）；即“99”数字塔的 层数等于该层循环节M的长度； 3、当作为质因数的素数p，首次在“99”数字塔中现身，并且首次现身层数恰好为 p-1层时，可使得真分数x/p的循环节长度为p-1。 图：“99”数字塔 9=3*3 1层 99=3*3*11 2层 999=3*3*3*37 3层 9999=3*3*11*101 4层 99999=3*3*41*271 5层 999999=3*3*3*37*11*13*7 6层 9999999=3*3*239*4649 7层 99999999=3*3*11*101*73*137 8层 999999999=3*3*3*3*37*333667 9层 ...... ...... ...