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[分享] 和循环小数有关的趣题

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发表于 2008-2-27 09:26:51 | 显示全部楼层 |阅读模式

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求一最小正整数,使其最高位左移到最低位得到的新数是原数的1.5倍?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2008-2-27 09:43:10 | 显示全部楼层
答案可是:1176470588235294 ?
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 楼主| 发表于 2008-2-27 10:04:45 | 显示全部楼层
楼上正确!
不知是用什么方法求解?
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发表于 2008-2-27 10:11:40 | 显示全部楼层
世界上最神奇的数字是:0588235294117647

我们把它从1乘到16看看。  
0588235294117647*1 = 0588235294117647
0588235294117647*2 = 1176470588235294
0588235294117647*3 = 1764705882352941
0588235294117647*4 = 2352941176470588
0588235294117647*5 = 2941176470588235
0588235294117647*6 = 3529411764705882
0588235294117647*7 = 4117647058823529
0588235294117647*8 = 4705882352941176
0588235294117647*9 = 5294117647058823
0588235294117647*10 = 5882352941176470
0588235294117647*11 = 6470588235294117
0588235294117647*12 = 7058823529411764
0588235294117647*13 = 7647058823529411
0588235294117647*14 = 8235294117647058
0588235294117647*15 = 8823529411764705
0588235294117647*16 = 9411764705882352

1/17=0.058823529411764705882352941176470588235294117647...

0588235294117647*17 = 9999999999999999   

期待 gxqcn的解法!

点评

精辟!!!!!!!!  发表于 2013-10-28 19:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2008-2-27 10:18:09 | 显示全部楼层

回复 3# 的帖子

设该数为 $bar{ab}, 0<a<10, 0<b<10^x (a,b,x in NN)$,
则 $bar{ba}=b*10 + a=1.5(a*10^x + b)$
$=> b=(a(3*10^x-2))/17$
∵ $0<a<10$
∴ $17|(3*10^x-2)$
$=> 3*10^x -= 2 (mod 17)$
$=> 10^x -= 2//3 -= 2*3^15 -= 12 (mod 17)$
得 $x -= 15 (mod 16)$
取其最小值 x=15,令 a=1,即得结果,经验证满足要求。
(比之位数更长的数可如:11764705882352941176470588235294 (32位))

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 楼主| 发表于 2008-2-27 10:48:11 | 显示全部楼层
郭老大的解法果然很漂亮;
我把标题取为“和循环小数有关的趣题”是因为用循环小数也可以有一种美妙的解法;
kofeffect 的工作或许可以给我们一些提示
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发表于 2008-2-27 11:10:14 | 显示全部楼层
我们知道以奇素数为分母的分数中,如果两个分数分母相同,那么它们的循环节长度相同,而且相互之间可以通过循环移位来得到。
比如对于$k/p, k<p$
我们知道循环节最高位为$[{k*10}/p]$,而除掉最高位后余数位$(k*10)%p$
而后面每一位都可以通过同样方法计算出来(决定于前一位的余数)
所以我们知道,如果通过上面方法计算$2/p$,得出的第一个余数是3,也就是$20%p=3$,那么
必然有循环节中最高位移到最低位后结果位$3/p$
也就是得出$2/17$的循环节最高位移到最低位结果为$3/17$
而显然它们循环节中对应数的比例也是2:3,结果就得到了

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发表于 2008-2-27 11:12:43 | 显示全部楼层
kofeffect的结果也可以类似
我们取任何奇素数p
计算出$1/p$的循环节
那么这个循环节乘上k=1到p-1的数就分别可以得到$k/p$的循环节。
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发表于 2008-2-27 11:36:27 | 显示全部楼层
我们知道以奇素数为分母的分数中,如果两个分数分母相同,那么它们的循环节长度相同,而且相互之间可以通过循环移位来得到。


  并非所有的奇素数都有此性质。对于x/p形式的真分数(p为奇素数),有的p其循环节长度为p-1(如7,17),而另一些则不是(如3,5,11,13),只有前者具有#7楼上提到的性质。

  到底素数p符合什么条件,可使得真分数x/p,其循环节长度为p-1,我不得而知,看看大家是否能够给出答案。
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 楼主| 发表于 2008-2-27 11:39:21 | 显示全部楼层
另外也可以看出$4/17$与$6/17$正好也满足这种关系,比列也是2:3;
通过mathe介绍的循环移位,我们就很容易求出类似的2倍或k倍关系的整数;
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