求解一个方程
x^(x+1)=(x+1)^x 一个无理数，怎么表达 $f(x)=x^(x+1)-(x+1)^x$的函数图像如下：从图中可以看出，$f(x)=0$只有唯一一个实数解，在$2$~$2.5$之间。
然后打开Windows自带的计算器，从$x=2.3$开始，使用牛顿迭代法迭代了$6$次，得到了$40$个有效数字。
但Windows计算器只能显示前$32$个有效数字。
结果如下：
$x=2.2931662874118610315080282912508$
然后把上述实数google一下，
http://www.google.cn/search?hl=zh-CN&source=hp&q=2.2931662874118610315080282912508&btnG=Google+%E6%90%9C%E7%B4%A2&aq=f&oq=
得到两条搜索结果。
其中一条
http://mathworld.wolfram.com/FoiasConstant.html
说这是方程
$x=(1+1/x)^x$
的解。
经检验，这个方程与楼主的方程等价。
但我硬是没推出来是怎么等价的。 楼主你太牛了！
随便写了一个方程就涉及到一个著名的数学难题！
你的方程确实与
$x=(1+1/x)^x$
等价。
$x^(x+1)=(x+1)^x$
方程两边同除以$x^x$即可得到
$x=(1+1/x)^x$
所以两个方程等价。
刚才试了别的变换方式，没有想到这一步。
根据搜索结果中的内容，猜测这大概是一个超越数，没法表示。 推广一下：
对于给定的是s,s>0,方程 x^{\frac{1}{x}}=(x+s)^{\frac{1}{x+s}}的正数解为f(s)
那么f(1)=2.293166287411861031508028291250805864372257290327121248537710396168506488009157743629042013804828257
该函数f(s)的图像为：
===================================================
貌似，f(0)=2.71828182845904523536028747135266..................... (x+2)^x=x^(x+2)的解就很好算,2 5# wayne
这个推广蛮有意义的，f(s)似乎是个递减函数，可有下限？是不是等于1？ 推广一下：
对于给定的是s,s>0,方程 x^{\frac{1}{x}}=(x+s)^{\frac{1}{x+s}}的正数解为f(s)
那么f(1)=2.293166287411861031508028291250805864372257290327121248537710396168506488009157743629042013804 ...
wayne 发表于 2010-3-10 09:52 http://bbs.emath.ac.cn/images/common/back.gif
两边取对数就是
${log(x)}/x={log(x+s)}/{x+s}$
也就是x和x+s关于函数$f(t)={log(t)}/t$的取值相等。
作出这个函数在$t>1$部分的图像后就非常容易理解x和s的关系了。
下然s=0时x取e,而s趋向无穷时x趋向1
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