求解一个方程

〇〇

$x^(x+1)=(x+1)^x$

〇〇

一个无理数，怎么表达

KeyTo9_Fans

$f(x)=x^(x+1)-(x+1)^x$的函数图像如下：



从图中可以看出，$f(x)=0$只有唯一一个实数解，在$2$~$2.5$之间。

然后打开Windows自带的计算器，从$x=2.3$开始，使用牛顿迭代法迭代了$6$次，得到了$40$个有效数字。

但Windows计算器只能显示前$32$个有效数字。

结果如下：

$x=2.2931662874118610315080282912508$

然后把上述实数google一下，

http://www.google.cn/search?hl=z ... A2&aq=f&oq=

得到两条搜索结果。

其中一条

http://mathworld.wolfram.com/FoiasConstant.html

说这是方程

$x=(1+1/x)^x$

的解。

经检验，这个方程与楼主的方程等价。

但我硬是没推出来是怎么等价的。

KeyTo9_Fans

楼主你太牛了！

随便写了一个方程就涉及到一个著名的数学难题！

你的方程确实与

$x=(1+1/x)^x$

等价。

$x^(x+1)=(x+1)^x$

方程两边同除以$x^x$即可得到

$x=(1+1/x)^x$

所以两个方程等价。

刚才试了别的变换方式，没有想到这一步。

根据搜索结果中的内容，猜测这大概是一个超越数，没法表示。

wayne

推广一下：
对于给定的是s,s>0,方程    $x^{\frac{1}{x}}=(x+s)^{\frac{1}{x+s}}$  的正数解为f(s)

那么f(1)=2.293166287411861031508028291250805864372257290327121248537710396168506488009157743629042013804828257

该函数f(s)的图像为：

===================================================

貌似，f(0)=2.71828182845904523536028747135266.....................

〇〇

$(x+2)^x=x^(x+2)$的解就很好算,2

gxqcn

5# wayne

这个推广蛮有意义的，f(s)似乎是个递减函数，可有下限？是不是等于1？

mathe

推广一下：
对于给定的是s,s>0,方程    x^{\frac{1}{x}}=(x+s)^{\frac{1}{x+s}}  的正数解为f(s)

那么f(1)=2.293166287411861031508028291250805864372257290327121248537710396168506488009157743629042013804 ...
wayne 发表于 2010-3-10 09:52

两边取对数就是
${log(x)}/x={log(x+s)}/{x+s}$
也就是x和x+s关于函数$f(t)={log(t)}/t$的取值相等。
作出这个函数在$t>1$部分的图像后就非常容易理解x和s的关系了。
下然s=0时x取e,而s趋向无穷时x趋向1