3#显然是写错了，是f(1,x,1/x),而不是f(1,x,x)。
5#中并不是将S,T当成常数，而是对于最值处可以计算出S和T,此后构造出所有这些变量满足的同一方程
本帖最后由 数学星空 于 2010-6-15 17:01 编辑
根据mathe的分析与思路：
我们可以猜测：
F(2n+1,k)=(n*(((N-1-sqrt((N-1)^2-4n^2))/{2n})^k+((N-1+sqrt((N-1)^2-4n^2))/{2n})^k)+1)^2
F(2n,k)=n^2(((N-sqrt(N^2-4n^2))/{2n})^k+((N+sqrt(N^2-4n^2))/{2n})^k)^2
现在可以改题目为：求
$u,v,w,a,b,c$,其中$u,v,w$为非负整数,$a,b,c$为正数，满足
${(u+v+w=n),(ua+vb+wc=N),(u/a+v/b+w/c=N):}$
使得
$(ua^k+vb^k+wc^k)(u/{a^k}+v/{b^k}+w/{c^k})$
最大
而为了方便讨论，我们可以先扩充u,v,w到非负实数范围，从而我们也可以对u,v,w求偏导。
我还没有开始计算，但是我猜测有可能采用这个方法可以得出极值条件是a,b,c三个数只能取两个不同的值或者是边界条件（即u,v,w中一个数为0）。而实际上这两者是一回事。
而对于v=0的情况，可以将目标值看成关于单变量u的一个隐函数，（只要确定u,根据约束条件，其他变量全部唯一确定），由此，我们可以算出函数关于u的导数，如果能够算出导数只有一个零点$u=n/2$而且单调减
我们可以马上解决n为偶数时候的情况,这时$u=w=n/2,ac=1$。
而对于n为奇数的情况，我们于是可以知道对于边界情况v=0,只能在取$u={n-1}/2$或$u={n+1}/2$时取到最大值，此外，我们需要讨论$u>=1,v>=1,w>=1$的情况（因为我们实际上只需要考虑整数情况，去掉0，那么所有都不小于1），根据前面分析，极大值点已经不需要分析，我们只需要分析边界条件，比如$v=1$,由此再次分析余下情况，如果还能得出取最大值情况为$u=w={n-1}/2,ac=1$,那么也能解决这个问题
对于13#的问题，我们采用带约束条件的拉格朗日极值法，
同样记$S=u/{a^k}+v/{b^k}+w/{c^k},T=ua^k+vb^k+wc^k$
分别对a,b,c,u,v,w求偏导得到，存在参数s,t,h使得
${(kS*a^k-kT*1/{a^k}+sa-t/a=0),(kS*b^k-kT*1/{b^k}+sb-t/b=0),(kS*c^k-kT*1/{c^k}+sc-t/c=0),(S*a^k+T/{a^k}+sa+t/a+h=0),(S*b^k+T/{b^k}+sb+t/b+h=0),(S*b^k+T/{b^k}+sb+t/b+h=0):}$
将前面三条方程分别乘上u,v,w并且相加，得到s=t.
我们并且得出对于极值情况的a,b,c,计算出对应的S,T后，a,b,c必然同时满足方程
${(S*x^k-T/{x^k}+s/k(x-1/x)=0),(S*x^k+T/{x^k}+s(x+1/x)+h=0):}$
两者相加和相减得出
${(2S*x^k=-s/k(x-1/x)-s(x+1/x)-h),({2T}/{x^k}=s/k(x-1/x)-s(x+1/x)-h):}$
两者再相乘，得到一个关于x的4次方程，而且对于这个4次方程的每个根，其倒数也必然是这个方程的根。
而我们知道对于原先的第一条方程，它最多三个不同的正根。如果它存在三个不同的正根，这三个正根也必然是这个4次方程的根，所以要么它们中间存在1,要么存在两个解互为倒数。
方程$S*x^k-T/{x^k}+s/k(x-1/x)=0$如果存在两个解互为倒数，我们可以得出S=T,由此得出1也是解。同样反之，如果1是解，那么必然S=T,方程另外两个正跟互为倒数。
于是我们知道对于极值情况，要么a,b,c最多只有两个不同的取值，要么其中一个数值为1，另外两个互为倒数.
当然对于最大值，还有一种可能是取在边界上，也就是u,v,w中一个为0，这个同a,b,c最多只有两个不同的取值的情况相同
现在余下的工作应该相对比较容易了，而且根据已知的结论，也应该比较容易用计算机编程验证12#的猜想是否成立了。
不过发现我的猜测错了，对于只取两个不同值的情况，应该是一个数据只取一个，另外一个数据取n-1个，而不是全部各自一半
如果所有$a_i$只取两个不同的值，分别是u个a和w个c,那么我们有
$(ua+wc)(u/a+w/c)=N^2$或$u^2+w^2+wu(a/c+c/a)=N^2$,即$wu(a/c+c/a-2)=N^2-n^2$
而同样，目标函数可以变化为$wu((a/c)^k+(c/a)^k-2)+n^2$
不妨设$a>=c,t=sqrt(a/c)$,于是目标函数可以变为$({t^k+t^{-k}}/{t+1/t})^2+n^2$
而这个函数可以证明在$t>=1$时为t的单调增函数，于是我们要让$a/c$尽量大，也就是$a/c+c/a-2$尽量大，也就是wu尽量小，所以w和u一个取1另外一个取n-1
另外一种情况是a,b,c三个数都不相同，那么其中一个为1，另外两个互为倒数，不妨设$c=1/a,b=1$那么我们可以容易得出这时$u=w$.
同样代入原方程后得出
${(2u+v=n),(u(a+1/a-2)=N-n):}$
而目标函数可以化为$(u(a^k+1/a^k-2)+n)^2$
同样应该在u=1时取到最大值，也就是n-2个数取1，余下两个数互为倒数
而最终我们还需要比较两种情况，取结果更大的一种
本帖最后由 数学星空 于 2010-6-15 23:00 编辑
经检验：
mathe在17#和18#分析的答案更准确：
F(2n+1,k)=(2n-1+((b_1+sqrt(b_1^2-4))/2)^k+((b_1-sqrt(b_1^2-4))/2)^k)^2
F(2n,k)=(1+(2n-1)*((b_2+sqrt(b_2^2-4))/2)^k)*(1+(2n-1)*((b_2-sqrt(b_2^2-4))/2)^k)其中b_1=N+1-2n,b_2=(N^2-1)/(2n-1)-(2n-1)
最终取值不应该以n的奇偶来区分选择哪种情况。
另外，边界条件的分析还不齐全。还需要分析$u=1,v>=1,w>=1$这种边界条件情况，好像还有点复杂